1、全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題分類匯編數(shù)論（1981年2019年）2019A 5、在 中隨機選出一個數(shù)，在 中隨機選出一個數(shù)，則被整除的概率為 答案： 解析：首先數(shù)組有 種等概率的選法 考慮其中使被整除的選法數(shù)N若被 3 整除，則也被 3 整除此時各有3種選法，這樣的有 組若不被 3 整除，則，從而此時有7 種選法，有4種選法，這樣的有組 因此于是所求概率為。2019A三、（本題滿分 50 分）設為整數(shù)，整數(shù)數(shù)列滿足：不全為零，且對任意正整數(shù)，均有證明：若存在整數(shù), ( )使得，則解析：證明：不妨設互素（否則，若，則互素，并且用代替，條件與結(jié)論均不改變） 由數(shù)列遞推關系知 以下證明：對任意整數(shù)，有 10

2、 分 事實上，當時顯然成立假設時成立（其中為某個大于2的整數(shù)），注意到，有，結(jié)合歸納假設知，即時也成立因此對任意整數(shù)均成立 20 分 注意，當時，對也成立 設整數(shù), ( )，滿足若，由對均成立，可知即，即 若，則故此時由于對均成立，故類似可知仍成立 30 分 我們證明互素 事實上，假如與存在一個公共素因子 ，則由得為的公因子，而互素，故，這與矛盾 因此，由得又，所以 50分2018A四、（本題滿分50分）數(shù)列定義如下：是任意正整數(shù)，對整數(shù)，與互素，且不等于的最小正整數(shù)，證明：每個正整數(shù)均在數(shù)列中出現(xiàn)。證明：顯然或者.下面考慮整數(shù)，設有個不同的素因子，我們對歸納證明在中出現(xiàn).記，.時，是素數(shù)方冪

3、，記，其中，是素數(shù).假設不在中出現(xiàn).由于各項互不相同，因此存在正整數(shù)，當時，都有.若對某個，那么與互素，又中無一項是，故有數(shù)列定義知，但是，矛盾！因此對每個，都有.又，可得，從而與不互素，這與的定義矛盾！假設，且結(jié)論對成立.設的標準分解為.假設不在中出現(xiàn)，于是存在正整數(shù)，當時，都有.取充分大的正整數(shù)，使得.我們證明，對，有.對于任意，若與互素，則與互素，又在中均未出現(xiàn)，而，這與數(shù)列的定義矛盾，因此我們得到：對于任意，與不互素，若存在（），使得，則，故，從而（因為）。若對每個（），均有，則由知，必有.于是，進而，即.故由知：存在（），使得，再由及前面的假設，可知，故。因此，對，均有，而，故不在中

4、出現(xiàn)，這與假設矛盾！因此，若有個不同的素因子，則一定在數(shù)列中出現(xiàn).由數(shù)學歸納法知，所以正整數(shù)均在數(shù)列中出現(xiàn)。2018B四、（本題滿分50分）給定整數(shù)。證明：對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得連續(xù)個數(shù)，均是合數(shù)。證明:設是中與互素的全體整數(shù)，則，無論正整數(shù)如何取值，均與不互素且大于，故為合數(shù)。對任意，因，故有素因子.我們有（否則，因是素數(shù)，故，但，從而，即與不互素，與的取法矛盾）.因此，由費馬小定理知，現(xiàn)取，對任意，注意到，故有.又，故為合數(shù)。綜上所述，當時，均是合數(shù)。2017A 4、若一個三位數(shù)中任意兩個相鄰數(shù)碼的差均不超過，則稱其為“平穩(wěn)數(shù)”，則平穩(wěn)數(shù)的個數(shù)是 答案： 解析：考慮平穩(wěn)數(shù)。若，則，

5、有個平穩(wěn)數(shù)；若，則，有個平穩(wěn)數(shù)；若，則，有個平穩(wěn)數(shù)；若，則，有個平穩(wěn)數(shù)；綜上可知，平穩(wěn)數(shù)的個數(shù)為。2017B 8、若正整數(shù)滿足，則數(shù)組的個數(shù)為 答案：解析：由條件知，當時，有，對于每個這樣的正整數(shù)，由知，相應的的個數(shù)為，從而這樣的正整數(shù)組的個數(shù)為，當時，由，知，進而，故，此時共有2組.綜上所述，滿足條件的正整數(shù)組的個數(shù)為.2016A 8、設是中的個互不相同的數(shù)，滿足，則這樣的有序數(shù)組的個數(shù)為 答案：40解析：由柯西不等式知，等號成立的充分必要條件是，即成等比數(shù)列于是問題等價于計算滿足的等比數(shù)列的個數(shù)設等比數(shù)列的公比，且為有理數(shù)記，其中為互素的正整數(shù)，且先考慮的情況此時，注意到互素，故為正整數(shù)

6、相應地，分別等于，它們均為正整數(shù)這表明，對任意給定的，滿足條件并以為公比的等比數(shù)列的個數(shù)，即為滿足不等式的正整數(shù)的個數(shù)，即由于，故僅需考慮這些情況，相應的等比數(shù)列的個數(shù)為當時，由對稱性可知，亦有20個滿足條件的等比數(shù)列綜上可知，共有40個滿足條件的有序數(shù)組2016A四、（本題滿分50分）設與均是素數(shù)，數(shù)列定義為，這里表示不小于實數(shù)的最小整數(shù)。證明：對，均有成立。證明：首先注意到，數(shù)列是整數(shù)數(shù)列。對用數(shù)學歸納法。當時，由條件知，故，又與均是素數(shù)，且，故必須，因此，即時，結(jié)論成立。對，設時結(jié)論成立，即，此時，故故對時，有，顯然，因為，是素數(shù)，故，又是大于的自然數(shù)，故，從而與互素，故由可知。由數(shù)學歸

7、納法知，對，均有成立。2016B 8、設正整數(shù)滿足，且這樣的的個數(shù)為 這里，其中表示不超過的最大整數(shù)答案：解析：由于對任意整數(shù)，有等號成立的充分必要條件是，結(jié)合知，滿足條件的所有正整數(shù)為共有個解析：首先注意到，若為正整數(shù)，則對任意整數(shù)，若，則這是因為，當時，這里是一個整數(shù)，故因此，當整數(shù)滿足時，容易驗證，當正整數(shù)滿足時，只有當時，等式才成立而，故當時，滿足正整數(shù)的個數(shù)為2016B一、（本題滿分40分）非負實數(shù)和實數(shù)滿足：（1）,；（2）是奇數(shù)求的最小值解析：由已知條件（1）可得：于是（注意） 不妨設則若，并且令 則于是由條件（2）知，是奇數(shù)，所以是奇數(shù)，這與矛盾因此必有，或者則 于是結(jié)合得又當

8、時滿足題設條件，且使得不等式等號成立，所以的最小值為12016B二、（本題滿分40分）設是正整數(shù)，且是奇數(shù)已知的不超過的正約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)，證明：有一個約數(shù)，滿足證明：記,是奇數(shù)，,是偶數(shù)，則,的不超過的正約數(shù)的集合是證明：記，則的不超過的正約數(shù)的集合是若結(jié)論不成立，我們證明對，因為是奇數(shù)，故，又，而沒有在區(qū)間中的約數(shù)，故，即，故反過來，對，設，則，是奇數(shù)，又，故從而所以故的不超過的正約數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)，與已知矛盾從而結(jié)論成立2015A 8、對四位數(shù)，若，則稱為類數(shù)；若，則稱為類數(shù).用分別表示類數(shù)和類數(shù)的個數(shù)，則的值為 答案：解析：分別記P類數(shù)、Q類數(shù)的全體為A、B，再將個位數(shù)為零的P類數(shù)全體記

9、為，個位數(shù)不等于零的尸類數(shù)全體記為對任一四位數(shù)，將其對應到四位數(shù)，注意到，故 反之，每個唯一對應于從中的元素這建立了與B之間的一一對應，因此有下面計算對任一四位數(shù), 可取0, 1，9，對其中每個，由及知，和分別有種取法，從而因此，2015A四、（本題滿分50分）求具有下述性質(zhì)得所有整數(shù)：對任意正整數(shù)，不整除。解析：對正整數(shù)，設表示正整數(shù)的標準分解中素因子2的方冪，則熟知， 這里表示正整數(shù)在二進制表示下的數(shù)碼之和由于不整除，等價于，即，進而由知，本題等價于求所有正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)成立 10分我們證明，所有符合條件的為一方面，由于對任意正整數(shù)成立，故符合條件 20 分另一方面，若不是2的方冪

10、，設是大于1的奇數(shù)下面構(gòu)造一個正整數(shù)，使得因為, 因此問題等價于我們選取的一個倍數(shù)，使得由（2，）=l，熟知存在正整數(shù)，使得（事實上，由歐拉定理知，可以取的) 設奇數(shù)的二進制表示為取，則，且我們有 由于，故正整數(shù)的二進制表示中的最高次冪小于，由此易知，對任意整數(shù)，數(shù)與的二進制表示中沒有相同的項又因為，故的二進制表示中均不包含1，故由可知,因此上述選取的滿足要求綜合上述的兩個方面可知，所求的為50分2015B三、（本題滿分50分）證明：存在無窮多個正整數(shù)組，滿足：證明：考慮的特殊情況，此時成立10 分由知，故由知，故為滿足、，取,此時40 分當正整數(shù)2015時，均符合條件，因此滿足條件的正整數(shù)組

11、有無窮多個 50 分2015B四、（本題滿分50分）給定正整數(shù)，設是中任取個互不相同的數(shù)構(gòu)成的一個排列，如果存在使得為奇數(shù)，或者存在整數(shù)，使得，則稱是一個“好排列”，試確定所有好排列的個數(shù)解析：首先注意，“存在，使得為奇數(shù)”是指存在一個數(shù)與它所在的位置序號的奇偶性不同；“存在整數(shù)，使得”意味著排列中存在逆序，換言之，此排列不具有單調(diào)遞增性將不是好排列的排列稱為“壞排列”，下面先求壞排列的個數(shù)，再用所有排列數(shù)減去壞排列數(shù)注意壞排列同時滿足：（1）奇數(shù)位必填奇數(shù)，偶數(shù)位必填偶數(shù)；（2）單調(diào)遞增10 分下面來求壞排列的個數(shù)設P是壞排列全體，Q是在中任取項組成的單調(diào)遞增數(shù)列的全體對于P中的任意一個排列

12、，定義 因為，故由條件（1）可知，所有的均屬于集合再由條件（2）可知，（）單調(diào)遞增故如上定義的給出了的一個映射顯然是一個單射 30 分下面證明是一個滿射事實上，對于Q中任一個數(shù)列，令（）因為整數(shù)，故，從而故單調(diào)遞增又，而，及為偶數(shù)，故為P中的一個排列顯然，故是一個滿射綜上可見，是的一個一映射，故40分又Q中的所有數(shù)列與集合的所有元子集一對應，故，從而最后，我們用總的排列數(shù)扣除壞排列的數(shù)目，得所有的排列的個數(shù)為 50 分2014A四、（本題滿分50分）設整數(shù)模互不同余，若整數(shù)模也互不同余，證明：可將重新排列為，使得：模互不同余。證明：記，不妨設，對每個整數(shù)，若，則令，；否則，令，。可知情形，都能

13、得到， 若不然，我們有，兩式相加得，于是，但模互不同余，特別地，矛盾。由上述構(gòu)造方法知，是的排列，記，。下面驗證模互不同余。這只需證明，對任意整數(shù)，模兩兩不同余。實際上前面的構(gòu)造方法中已經(jīng)保證了，情形一：，且時，由前面的構(gòu)造方法可知：，由于，易知與及模不同余，與及模不同余，從而模更不同余，在結(jié)合式可見式得證。情形二：，且時，由前面的構(gòu)造方法可知：，同樣有與及模不同余，與及模不同余，同情形一得證。情形三：，且（，且時也一樣）時，由前面的構(gòu)造方法可知：，由于是奇數(shù)，故，因此仍然有與及模不同余，與及模不同余，有情形一，從而式得證。綜上可知，本題得證。2014B三、（本題滿分50分）給定正整數(shù)，是非零

14、整數(shù)，且為奇數(shù)，假定方程有整數(shù)解其中.證明：是某個整數(shù)的次冪。證明：設，其中是和的最大公因素，則與互素。根據(jù)方程，我們得到，所以。又，且，所以，再我們假設，所以與互素，從而，即，注意到與互素，所以與也互素，從而，所以，也就是是的次冪，結(jié)論得證。2013A二、（本題滿分40分）給定正整數(shù)，數(shù)列的定義如下：，對整數(shù)，記（），證明：數(shù)列中有無窮多項完全平方數(shù)。證明：對正整數(shù)，有所以設，其中是非負整數(shù)，是奇數(shù)，取，其中是滿足的任意正整數(shù)，此時，注意到是奇數(shù)，故所以是完全平方數(shù)，由于的任意性，故數(shù)列中有無窮多項完全平方數(shù)。2013A四、（本題滿分50分）設為大于的整數(shù)，證明：存在個不被整除的整數(shù)，若將他

15、們?nèi)我夥殖蓛山M，則總有一組有若干個數(shù)的和被整除。證明：當為的冪的情形，設，。取個及個，顯然這些書均不被整除。將這個數(shù)任意分成兩組，則總有一組中含有個，它們的和為，被整除。當不是的冪的情形，取個數(shù)，因為不是的冪，故上述個數(shù)均不被整除。若可將這些數(shù)分成兩組，使得每一組中任意若干個數(shù)的和均不被整除。不妨設在第一組，由于被整除，故兩個應該在第二組；又被整除，故應該在第二組；進而在第二組。先歸納假設均在第一組，均在第二組，這里，由于被整除，故在第一組，從而在第二組。故由數(shù)學歸納法知，在第一組，在第二組。最后，由于被整除，故在第一組，因此均在第一組，由正整數(shù)的二進制表示，每一個不超過的整數(shù)均可以表示為中若

16、干個數(shù)之和，特別地，故第一組中的有若干個數(shù)之和為，被整除，矛盾。將前述的任意分成兩組，則總有一組有若干個數(shù)的和被整除。因此，將前述個整數(shù)任意分成兩組，則總有一組中有若干個數(shù)的和，被整除。2013B一、（本題滿分40分）對任意的正整數(shù)，證明不存在三個奇數(shù)滿足如下的方程：證明：假定對于某一個，存在，滿足，那么整數(shù)就滿足方程又，所以也就是說，顯然矛盾，即我們假設是錯誤的，從而原命題成立。2012A二、（本題滿分40分）試證明：集合滿足（1）對每個，及，若，則一定不是的倍數(shù)；（2）對每個（其中表示在 中的補集），且，必存在，使是的倍數(shù)證明：對任意的,設則如果是任意一個小于的正整數(shù),則10分由于與中,一

17、個為奇數(shù),它不含素因子,另一個是偶數(shù),它含素因子的冪的次數(shù)最多為,因此一定不是的倍數(shù)；20分若,且設其中為非負整數(shù),為大于的奇數(shù),則30分下面給出(2)的三種證明方法:證法一:令消去得由于這方程必有整數(shù)解;其中為方程的特解.把最小的正整數(shù)解記為則,故使是的倍數(shù)40分證法二:由于由中國剩余定理知,同余方程組在區(qū)間上有解即存在使是的倍數(shù)40分證法三:由于總存在使取使則存在使此時因而是的倍數(shù)40分2012B四、（本題滿分50分）已知素數(shù)滿足下述條件：存在正整數(shù)使的正約數(shù)的個數(shù)等于，且這個正約數(shù)之和等于.求的一切可能值。解析：顯然，記為的素因數(shù)分解，則因為是素數(shù)，則由知，存在，使得，因此，由于上式最后

18、的兩個分式的值都是整數(shù)，是素數(shù)，由知，存在，使得，故，由費馬小定理得，設，則，當時， 均為的倍數(shù)，但不是的倍數(shù)，這使得右邊不可能為的冪，矛盾。所以，又是素數(shù)，所以。事實上，時，存在這樣的正整數(shù)，只要等于兩兩不同的（）型素數(shù)的成績，即可滿足條件，例如滿足。綜上所述，所求是滿足條件的唯一素數(shù)。2011A 8、已知（），則數(shù)列中整數(shù)項的個數(shù)為 答案： 解析：由題意 要使 為整數(shù)，必有均為整數(shù)，從而當2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80時，和均為非負整數(shù)，所以為整數(shù)，共有14個當時，在中，中因數(shù)2的個數(shù)為，同理可計算得中因數(shù)2的個數(shù)為82，中因數(shù)2的個數(shù)為11

19、0，所以中因數(shù)2的個數(shù)為，故是整數(shù)當時，在中，同樣可求得中因數(shù)2的個數(shù)為88,中因數(shù)2的個數(shù)為105,故中因數(shù)2的個數(shù)為，故不是整數(shù)因此，整數(shù)項的個數(shù)為2011A二、（本題滿分40分）證明：對任意整數(shù)，存在一個次多項式具有如下性質(zhì)：（1）均為正整數(shù)；（2）對任意正整數(shù)，及任意個互不相同的正整數(shù)，均有證明：令， 將的右邊展開即知是一個首項系數(shù)為1的正整數(shù)系數(shù)的次多項式下面證明滿足性質(zhì)（2）對任意整數(shù)，由于，故連續(xù)的個整數(shù)中必有一個為4的倍數(shù)，從而由知 因此，對任意個正整數(shù)，有 但對任意正整數(shù)，有，故，從而所以符合題設要求 2010AB二、（本題滿分40分）設是給定的正整數(shù)，。記，。證明：存在正整

20、數(shù)，使得為一個整數(shù)。這里表示不小于實數(shù)的最小整數(shù)，例如，。證明：記表示正整數(shù)n所含的2的冪次則當時，為整數(shù)下面我們對用數(shù)學歸納法當時，k為奇數(shù)，為偶數(shù)，此時為整數(shù) 假設命題對成立對于，設k的二進制表示具有形式，這里，或者1， 于是 ， 這里. 顯然中所含的2的冪次為故由歸納假設知，經(jīng)過f的v次迭代得到整數(shù)，由知，是一個整數(shù)，這就完成了歸納證明2009*三、（本題滿分50分）設是給定的兩個正整數(shù)，證明：有無窮多個正整數(shù)，使得與互素。證明：法一：對任意正整數(shù)，令我們證明設p是l的任一素因子，只要證明： .若p，則由即p不整除上式，故p 若p | k!，設使，但k!.則.故由及| k!，且k!，知|

21、 k!且k!.從而p 50分證法二：對任意正整數(shù)，令我們證明設p是l的任一素因子，只要證明：.若p，則由即p不整除上式，故p若p | k!，設使，但k!.故由及| k!，且k!，知| k!且k!.從而50分2007*三、（本題滿分50分）設集合,對于任意和正整數(shù)，記，其中表示不大于的最大整數(shù)。求證：對于任意正整數(shù)，存在和正整數(shù)，使得。證明：定義集合，由于對任意且，是無理數(shù)，則對任意的和正整數(shù)，當且僅當，。由于是一個無窮集，現(xiàn)將A中的元素按從小到大的順序排成一個無窮數(shù)列。對于任意的正整數(shù)，設此數(shù)列中第項為。下面確定與的關系。若，則。由是正整數(shù)可知，對，滿足這個條件的的個數(shù)為。從而。因此對任意，存

22、在，使得。2006*6、數(shù)碼中有奇數(shù)個的位十進制數(shù)的個數(shù)為 A. B. C. D. 答案：B解析：出現(xiàn)奇數(shù)個9的十進制數(shù)個數(shù)有。又由于以及，從而得。2005*6、記集合，將中的元素從大到小的順序排列，則第個數(shù)為 A. B. C. D. 答案：C解析：用表示的進制數(shù)，將集合中的每個數(shù)乘以，得可知中最大的數(shù)為，在十進制中，從起從大到小順序排列的第個數(shù)是，而，將此數(shù)除以，便得到中的數(shù)。2005*13、（本題滿分20分）數(shù)列滿足：，.證明：對于，為正整數(shù)；對于，為完全平方數(shù)。證明：（1）由題設得且嚴格單調(diào)遞增.將條件式變形得兩邊平方整理得，-得 由式及可知，對任意為正整數(shù).將兩邊配方得，所以由知所以，

23、即為整數(shù)，故成立，所以對于，為完全平方數(shù)。2005*三、（本題滿分50分） 對每個正整數(shù)，定義函數(shù)（其中表示不超過的最大整數(shù)，），試求的值。解析：對任意，若，則，（）則，即，讓跑遍區(qū)間中的所有整數(shù)，則，于是下面計算，畫一張的表，第行中，凡是行中的位數(shù)處填寫“”，則這行的“”共有個，全表的“”共有個；另一方面，按列收集“”號數(shù)，第列中，若有個正因素，則該列有個“”，故全表的“”有，顯然。示例如下：ji1234561*2*3*4*56*則由此，記易得的取值情況如下：123456789101112131415356678698881071010因此，依據(jù)定義，又當時，設（）則，有，則，從而2004*

24、10、設是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù)使得也是一個正整數(shù)，則 答案：解析：記，則，即因為是給定的奇質(zhì)數(shù)，所以或者兩式相加得，兩式相減得顯然不是正整數(shù)，故舍去。綜上得: 2003*1、刪去正整數(shù)數(shù)列中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列這個新數(shù)列的第項是 A. B. C. D. 答案：C解析：，在至之間有完全平方數(shù)個，而至之間沒有完全平方數(shù)故至中共有新數(shù)列中的項還缺項由2003*12、設十進制位純小數(shù)只取或()，是中元素的個數(shù)， 是中所有元素的和，則 答案：解析：由于中的每一個都可以取與兩個數(shù)，在每一位(從第一位到第位)小數(shù)上，數(shù)字與各出現(xiàn)次第位則出現(xiàn)次所以，2003*二、（本題滿分50分）設三角形的三邊長

25、分別是正整數(shù)且 已知，其中，而表示不超過的最大整數(shù)求這種三角形周長的最小值。解析：當、的末四位數(shù)字相同時，即求滿足的、 ()但，故必有；同理下面先求滿足的最小正整數(shù)注意到又當時，而，知必須是的倍數(shù)；又當時，而，知必須是的倍數(shù)；又當時，而，知必須是的倍數(shù)；又當時，而，知必須是的倍數(shù)；即，使成立的最小正整數(shù)，從而、都是500的倍數(shù)，設、(，)由，即，得，故取，即為滿足題意的最小三個值 所求周長的最小值2000*三、（本題滿分50分）有個人，已知他們中的任意兩人至多通電話一次，他們中的任意個人之間通電話的次數(shù)相等，都是次，其中是自然數(shù)，求的所有可能值解析：由條件知，統(tǒng)計各人組的通話次數(shù)都是次，共有個

26、人組，若某兩人通話1次，而此二人共參加了個人組，即每次通話都被重復計算了次即總通話次數(shù)應為次由于，故若，故，易得，(舍去)此時由，(為自然數(shù)，且)，此時，即 當時，(舍去)，當時，又：時，每兩個人通話次數(shù)一樣，可為次(任何兩人都通話次)；當時，任何兩人都通話次均滿足要求的所有可能值為，1999*三、（本題滿分50分）給定正整數(shù)，已知用克數(shù)都是正整數(shù)的塊砝碼和一臺天平可以稱出質(zhì)量為克的所有物品。 （1）求的最小值； （2）當且僅當取什么值時，上述塊砝碼的組成方式是唯一確定的？并證明你的結(jié)論。 解析：(1)設這塊砝碼的質(zhì)量數(shù)分別為，且，因為天平兩端都可以放砝碼，故故可稱質(zhì)量為 其中若利用這塊砝碼可

27、以稱出質(zhì)量為的物品，則上述表示式中含有，由對稱性易知也含有，即，所以，,即，設 (,)，則且時，可取由數(shù)的三進制表示可知，對任意,都有，其中則令，則，故對一切的整數(shù)，都有,其中由于，因此，對一切的整數(shù)，也有上述表示綜上，可知k的最小值 () .(2).當時，由(1)可知就是一種砝碼的組成方式下面我們證明也是一種方式。若，由(1)可知，則；若 ，則(1)可知，易知(否則,矛盾)，則所以，當時，塊砝碼的組成方式不惟一.下面我們證明：當時，塊砝碼的組成方式是惟一的，即()若對每個,都有，即，注意左邊集合中至多有個元素故必有。從而，對每個的都可以惟一地表示為，因而，則，令,則由上可知，對每個，都可以惟

28、一地表示為，其中特別地，易知下面用歸納法證明：()當時，易知中最小的正整數(shù)是,故假設當時，由于,就是數(shù)的三進制表示，易知它們正好是，故應是除上述表示的集合中的元素之外最小的數(shù)，因此，。由歸納法可知， ()綜合，可知，當且僅當時，上述f(n)塊砝碼的組成方式是惟一確定的1998*三、（本題滿分50分） 對正整數(shù)，定義，其中為非負整數(shù)，且，求最大的正整數(shù),使得存在正整數(shù)，對于任意的正整數(shù),都有，證明你的結(jié)論。解析：將滿足條件“存在正整數(shù),對于任意的正整數(shù)，都有”的最大正整數(shù)記為顯然，本題所求的最大正整數(shù)即為。先證事實上，所以,又當時，而,所以，設已求出，且為偶數(shù)，顯然，易知滿足的必要條件是：存在，

29、使得只要,就有令，由可得若取，由，可知，由此可得，于是，因此故有由于為偶數(shù)，從而.,.所以總有.另一方面，若取，由于對于每個，令，那么或者,；或者,。兩種情況下均有,因此。此外，因為為偶數(shù)，若，由可得，若，由也可得因此也是偶數(shù)。于是完成了歸納證明由逐次遞推出,，即所求最大整數(shù)1996*3、存在在整數(shù)，使是整數(shù)的質(zhì)數(shù) A. 不存在 B. 只有一個 C. 多于一個，但為有限個 D.有無窮多個答案：D解析：若為奇質(zhì)數(shù)，則存在 ()，使故選D1994*二、（本題滿分25分） 將與互素的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，試求出這個數(shù)列的第項。解析：由；故不超過而與互質(zhì)的正整數(shù)有個。， .而在不超過而與互質(zhì)的數(shù)

30、中第個數(shù)是 所求數(shù)為。1991*3設是正整數(shù)，并且能被整除，那么，這樣的的個數(shù)為( )A B C D答案：B解析：即，而,則故若，則，即.選B1991*10除以，余數(shù)是 答案：解析：即余數(shù)為1991*三、設是下述自然數(shù)的個數(shù)：的各位數(shù)字之和為且每位數(shù)字只能取或求證：是完全平方數(shù)這里，證明：設，其中且假定刪去時，則當依次取時，分別等于，故當時， ，利用及初始值可以得到下表：可找到規(guī)律： 取，這是菲波拉契數(shù)列相應的項 ()可用數(shù)學歸納法證明、成立首先，時，時，即時、成立設時、成立則由及歸納假設得1故時、成立故對于一切正整數(shù)，、成立于是 ()是完全平方數(shù)證明2：(找規(guī)律)先用歸納法證明下式成立： 因

31、，故當時，成立設時成立，即則由，故式對成立，即對一切成立 再用歸納法證明下式成立： 因，故當時成立設時成立，即a則由、，有(由) (由) (本題由于與菲波拉契數(shù)列有關，故相關的規(guī)律有很多，都可以用于證明本題)1990*二(本題滿分35分)設，且具有下列兩條性質(zhì)： 對任何，恒有；試證明：中的奇數(shù)的個數(shù)是的倍數(shù)且中所有數(shù)字的平方和為一個定數(shù)證明：取個集合：， ()，于是每個集合中至多能取出個數(shù)于是至多可以選出個數(shù)現(xiàn)要求選出個數(shù)，故每個集合恰選出個數(shù)把這個集合分成兩類： ； 每類都有個集合設第類選出個奇數(shù)，個偶數(shù)，第類中選出個奇數(shù)，個偶數(shù)于是即，即。 中的奇數(shù)的個數(shù)是的倍數(shù) 設選出的個數(shù)為，于是未選

32、出的個數(shù)為故 為定值1989*10一個正數(shù)，若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身成等比數(shù)列，則該數(shù)為 答案：解析：設其小數(shù)部分為()，整數(shù)部分為()，則得， 解得，但，故，得， ，由，知， 原數(shù)為1989*三(本題滿分35分)有（)的一張空白方格表，在它的每一個方格內(nèi)任意的填入與這兩個數(shù)中的一個，現(xiàn)將表內(nèi)個兩兩既不同行(橫)又不同列(豎)的方格中的數(shù)的乘積稱為一個基本項試證明：按上述方式所填成的每一個方格表，它的全部基本項之和總能被整除（即總能表示成的形式，其中）證明：基本項共有個，則基本項的個數(shù)為的倍數(shù)，設共有項其中每個數(shù) ()都要在個基本項中出現(xiàn)，故把所有基本項乘起來后，每個都乘了次，而，故為偶數(shù)，于是該乘積等于這說明等于的基本項有偶數(shù)個，同樣，等于的基本項也有偶數(shù)個若等于的基本項有個，則等于的基本項有個，其和為為的倍數(shù)；若等于的基本項有個，則等