1、1第八章第八章 函數函數主要內容主要內容函數的定義與性質函數的定義與性質l 函數定義函數定義l 函數性質函數性質函數運算函數運算l 函數的逆函數的逆l 函數的合成函數的合成雙射函數與集合的基數雙射函數與集合的基數28.1 函數的定義與性質函數的定義與性質主要內容主要內容函數定義與相關概念函數定義與相關概念l 函數定義函數定義l 函數相等函數相等l 從從A到到B的函數的函數f:ABl BAl 函數的像與完全原像函數的像與完全原像函數的性質函數的性質l 單射、滿射、雙射函數的定義與實例單射、滿射、雙射函數的定義與實例l 構造雙射函數構造雙射函數某些重要的函數某些重要的函數3函數定義函數定義定義定義

2、8.1 設設 F 為二元關系為二元關系, 若若 xdomF 都存在唯一的都存在唯一的yranF 使使 xFy 成立成立, 則稱則稱 F 為為函數函數 對于函數對于函數F, 如果有如果有 xFy, 則記作則記作 y=F(x), 并稱并稱 y 為為F 在在 x 的的值值. 例例 F1=, F2=, F1是函數是函數, F2不是函數不是函數 定義定義8.2 設設F, G 為函數為函數, 則則 F=G F GG F 如果兩個函數如果兩個函數F 和和 G 相等相等, 一定滿足下面兩個條件：一定滿足下面兩個條件： (1) domF=domG (2) xdomF=domG 都有都有F(x)=G(x) 函數函

3、數F(x)=(x2 1)/(x+1), G(x)=x 1不相等不相等, 因為因為 domF domG.4從從A到到B的函數的函數定義定義8.3 設設A, B為集合為集合, 如果如果 f 為函數為函數, domf=A, ranf B, 則稱則稱 f 為為從從A到到B的函數的函數, 記作記作 f：AB.例例 f：NN, f(x)=2x 是從是從N到到N的函數的函數, g：NN, g(x)=2 也是從也是從N到到N的函數的函數. 定義定義8.4 所有從所有從A到到B的函數的集合記作的函數的集合記作BA, 符號化表示為符號化表示為 BA = f | f：AB |A|=m, |B|=n, 且且m, n0

4、, |BA|=nmA=, 則則BA=B=A且且B=, 則則BA=A= 5實例實例例例1 設設A=1,2,3, B=a,b, 求求BA.解解BA= f0, f1, , f7, 其中其中 f0 = , f1 = , f2 = , f3 = , f4 = , f5 = , f6 = , f7 = ,6函數的像和完全原像函數的像和完全原像定義定義8.5 設函數設函數 f：AB, A1 A, B1 B(1) A1在在 f 下的像下的像 f(A1) = f(x) | xA1, 函數的像函數的像 f(A) (2) B1在在 f 下的完全原像下的完全原像 f 1(B1)=x|xAf(x)B1注意：注意：l 函

5、數值與像的區別：函數值函數值與像的區別：函數值 f(x)B, 像像f(A1) Bl 一般說來一般說來 f 1(f(A1)A1, 但是但是A1 f 1(f(A1)例例 設設 f：NN, 且且令令A=0,1, B=2, 那么有那么有 f(A) = f( 0,1) = f(0), f(1)=0,2 f 1(B) = f 1(2)=1,4 為奇數為奇數若若為偶數為偶數若若xxxxxf12/)(7函數的性質函數的性質定義定義8.6 設設 f：AB,(1) 若若 ranf=B, 則稱則稱 f:AB是是滿射滿射的的(2) 若若 yranf 都存在唯一的都存在唯一的 xA 使得使得 f(x)=y, 則稱則稱

6、f:AB 是是單射單射的的(3) 若若 f:AB 既是滿射又是單射的既是滿射又是單射的, 則稱則稱 f:AB是是雙射雙射的的例例2 判斷下面函數是否為單射判斷下面函數是否為單射, 滿射滿射, 雙射的雙射的, 為什么為什么?(1) f:RR, f(x) = x2+2x 1(2) f:Z+R, f(x) = lnx, Z+為正整數集為正整數集(3) f:RZ, f(x) = x (4) f:RR, f(x)=2x+1(5) f:R+R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中其中R+為正實數集為正實數集. 8例題解答例題解答解解(1) f:RR, f(x)= x2+2x 1 在在x=1取得極大值取得

7、極大值0. 既不是單射也不是滿射的既不是單射也不是滿射的(2) f:Z+R, f(x)=lnx 是單調上升的是單調上升的, 是單射的是單射的. 但不滿射但不滿射, ranf=ln1, ln2, .(3) f:RZ, f(x)= x 是滿射的是滿射的, 但不是單射的但不是單射的, 例如例如f(1.5)=f(1.2)=1(4) f:RR, f(x)=2x+1 是滿射、單射、雙射的是滿射、單射、雙射的, 因為它是單調函數并且因為它是單調函數并且ranf=R(5) f:R+R+, f(x)=(x2+1)/x 有極小值有極小值 f(1)=2. 該函數既不是單射的也不是滿射的該函數既不是單射的也不是滿射的

8、9實例實例例例3 對于給定的集合對于給定的集合A和和B構造雙射函數構造雙射函數 f:AB(1) A=P(1,2,3), B=0,11,2,3(2) A=0,1, B=1/4,1/2(3) A=Z, B=N(4) , B= 1,123,2 A10解答解答(1) A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3. B=f0, f1, , f7, 其中其中 f0=, f1=, f2=, f3=,f4=, f5=,f6=, f7=,. 令令 f:AB, f()=f0, f(1)=f1, f(2)=f2, f(3)=f3, f(1,2)=f4, f(1,3)=f5, f(2,3)=f6, f(1,2

9、,3)=f711(2) 令令 f:0,11/4,1/2, f(x)=(x+1)/4 01202)(,NZxxxxff：(4) 令令 f: :/2,3/2 1,1 f(x) = sinx 解答解答(3) 將將Z中元素以下列順序排列并與中元素以下列順序排列并與N中元素對應：中元素對應：Z： 0 11 2 2 3 3 N： 0 1 2 3 4 5 6 這種對應所表示的函數是：這種對應所表示的函數是：12某些重要函數某些重要函數定義定義8.7 (1)設設 f:AB, 如果存在如果存在cB使得對所有的使得對所有的 xA都有都有 f(x)=c, 則稱則稱 f:AB是是常函數常函數.(2) 稱稱 A上的恒等

10、關系上的恒等關系IA為為A上的上的恒等函數恒等函數, 對所有的對所有的xA都都 有有IA(x)=x.(3) 設設, 為偏序集，為偏序集，f:AB，如果對任意的，如果對任意的 x1, x2A, x1 x2, 就有就有 f(x1) f(x2), 則稱則稱 f 為為單調遞增單調遞增的；的；如如 果對任意的果對任意的x1, x2A, x1 x2, 就有就有f(x1) f(x2), 則稱則稱 f 為為嚴嚴 格單調遞增格單調遞增的的. 類似的也可以定義單調遞減和嚴格單調遞類似的也可以定義單調遞減和嚴格單調遞 減的函數減的函數13(4) 設設A為集合為集合, 對于任意的對于任意的A A, A的的特征函數特征

11、函數 A :A0,1定義為定義為 A(a)=1, aA A(a)=0, aA A(5) 設設R是是A上的等價關系上的等價關系, 令令 g:AA/R g(a)=a, aA稱稱 g 是從是從 A 到商集到商集 A/R 的的自然映射自然映射某些重要函數某些重要函數14實例實例例例4 (1) 偏序集偏序集, , R 為包含關系為包含關系, 為為一般的小于等于關系一般的小于等于關系, 令令 f:P(a,b)0,1, f()=f(a)=f(b)=0, f(a,b)=1, f 是單調遞增的是單調遞增的, 但不是嚴格單調遞增的但不是嚴格單調遞增的(3) 不同的等價關系確定不同的自然映射不同的等價關系確定不同的

12、自然映射, 恒等關系確定的自恒等關系確定的自然映射是雙射然映射是雙射, 其他自然映射一般來說只是滿射其他自然映射一般來說只是滿射. 例如例如 A=1,2,3, R=,IA g: AA/R, g(1)=g(2)=1,2, g(3)=3(2) A的每一個子集的每一個子集 A都對應于一個特征函數都對應于一個特征函數, 不同的子集對不同的子集對 應于不同的特征函數應于不同的特征函數. 例如例如A=a,b,c, 則有則有 =,， a,b=,158.2 函數的復合與反函數函數的復合與反函數 主要內容主要內容l 復合函數基本定理復合函數基本定理l 函數的復合運算與函數性質函數的復合運算與函數性質l 反函數的

13、存在條件反函數的存在條件l 反函數的性質反函數的性質16復合函數基本定理復合函數基本定理定理定理8.1 設設F, G是函數是函數, 則則F G也是函數也是函數, 且滿足且滿足(1) dom(F G)=x|xdomFF(x)domG(2) xdom(F G)有有F G(x)=G(F(x)證證 先證明先證明F G是函數是函數. 因為因為F, G是關系是關系, 所以所以F G也是關系也是關系. 若對某個若對某個xdom(F G)有有xF Gy1和和 xF Gy2, 則則 F GF G t1(FG) t2(FG) t1 t2(t1=t2GG （F為函數）為函數） y1=y2 （G為函數）為函數）所以所

14、以 F G 為函數為函數17證明證明任取任取x, xdom(F G) t y(FG) t (xdomFt=F(x)tdomG) x x | xdomFF(x)domG 任取任取x, xdomFF(x)domG FG F G xdom(F G)F G(x)G(F(x)所以所以(1) 和和(2) 得證得證18推論推論推論推論1 設設F, G, H為函數為函數, 則則(F G) H和和F (G H)都是函數都是函數, 且且 (F G) H=F (G H)證證 由上述定理和運算滿足結合律得證由上述定理和運算滿足結合律得證.推論推論2 設設 f:AB, g:BC, 則則 f g:AC, 且且 xA都有都

15、有 f g(x)=g(f(x)證證 由上述定理知由上述定理知 f g是函數是函數, 且且 dom(f g)=x|xdomff(x)domg =x|xAf(x)B=A ran(f g) rang C因此因此 f g:AC, 且且 xA有有 f g(x)=g(f(x)19函數復合與函數性質函數復合與函數性質定理定理8.2 設設f:AB, g:BC (1) 如果如果 f:AB, g:BC是滿射的是滿射的, 則則 f g:AC也是滿射的也是滿射的(2) 如果如果 f:AB, g:BC是單射的是單射的, 則則 f g:AC也是單射的也是單射的 (3) 如果如果 f:AB, g:BC是雙射的是雙射的, 則

16、則 f g:AC也是雙射的也是雙射的 證證 (1) 任取任取cC, 由由g:BC的滿射性的滿射性, bB使得使得 g(b)=c. 對于這個對于這個b, 由由 f:AB的滿射性，的滿射性， aA使得使得 f(a)=b. 由合成定理有由合成定理有 f g(a) = g(f(a) = g(b) = c從而證明了從而證明了f g:AC是滿射的是滿射的20證明證明(2) 假設存在假設存在x1, x2A使得使得 f g(x1)=f g(x2)由合成定理有由合成定理有 g(f(x1)=g(f(x2)因為因為g:BC是單射的是單射的, 故故 f(x1)=f(x2). 又由于又由于f:AB是單射的是單射的, 所

17、所以以x1=x2. 從而證明從而證明f g:AC是單射的是單射的.(3)由由(1)和和(2)得證得證.注意：定理逆命題不為真注意：定理逆命題不為真, 即如果即如果f g:AC是單射是單射(或滿射、雙或滿射、雙射射)的的, 不一定有不一定有 f:AB 和和 g:BC都是單射都是單射(或滿射、雙射或滿射、雙射)的的.定理定理8.3 設設 f:AB, 則則 f = f IB = IA f （證明略）（證明略） 21實例實例考慮集合考慮集合A=a1,a2,a3, B=b1,b2,b3,b4, C=c1,c2,c3. 令令 f=, g=, f g=,那么那么 f:AB和和f g:AC是單射的是單射的,

18、但但g:BC不是單射的不是單射的. 考慮集合考慮集合A=a1,a2,a3, B=b1,b2,b3, C=c1,c2. 令令f=,g=,f g=,那么那么g:BC 和和 f g:AC是滿射的是滿射的, 但但 f:AB不是滿射的不是滿射的.22反函數反函數反函數存在的條件反函數存在的條件(1) 任給函數任給函數F, 它的逆它的逆F 1不一定是函數不一定是函數, 只是一個二元關系只是一個二元關系.(2) 任給單射函數任給單射函數 f:AB, 則則f 1是函數是函數, 且是從且是從ranf 到到A的雙的雙 射函數射函數, 但不一定是從但不一定是從B到到A的雙射函數的雙射函數(3) 對于雙射函數對于雙射

19、函數 f:AB, f 1:BA是從是從B到到A的雙射函數的雙射函數. 定理定理8.4 設設 f:AB是雙射的是雙射的, 則則f 1:BA也是雙射的也是雙射的.證明思路：證明思路：先證明先證明 f 1:BA，即，即f 1是函數，且是函數，且domf 1=B, ranf 1=A. 再證明再證明f 1:BA的雙射性質的雙射性質. 23證明證明證證 因為因為 f 是函數是函數, 所以所以 f 1是關系是關系, 且且 dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A對于任意的對于任意的 xB = dom f 1, 假設有假設有y1, y2A使得使得 f 1f 1成立成立,

20、則由逆的定義有則由逆的定義有 ff根據根據 f 的單射性可得的單射性可得y1=y2, 從而證明了從而證明了f 1是函數，且是滿射的是函數，且是滿射的. 若存在若存在x1, x2B使得使得f 1 (x1)= f 1 (x2)=y, 從而有從而有 f 1f 1 ff x1=x2 對于雙射函數對于雙射函數f:AB, 稱稱 f 1:BA是它的是它的反函數反函數. 24反函數的性質反函數的性質定理定理8.5 (1) 設設 f:AB是雙射的是雙射的, 則則 f 1 f = IB, f f 1 = IA(2) 對于雙射函數對于雙射函數 f:AA, 有有 f 1 f = f f 1 = IA 證明思路：證明思

21、路：根據定理可知根據定理可知 f 1:BA也是雙射的也是雙射的, 由合成基本定理可知由合成基本定理可知 f 1 f:BB, f f 1:AA，且它們都是恒等函數，且它們都是恒等函數. 例例5 設設 求求 f g, g f. 如果如果f 和和 g 存在反函數存在反函數, 求出它們的反函數求出它們的反函數.2)(323)(RR:,RR:2 xxgxxxxfgf25解解 121)2()(RR:3032)(RR:22xxxxfgfgxxxxgfgff:RR不是雙射的不是雙射的, 不存在反函數不存在反函數. g:RR是雙射的是雙射的, 它的反函數是它的反函數是g 1:RR, g 1(x)=x 2求解求解

22、268.3 雙射函數與集合的基數雙射函數與集合的基數主要內容主要內容l 集合的等勢及其性質集合的等勢及其性質l 重要的等勢或不等勢的結果重要的等勢或不等勢的結果l 集合的優勢及其性質集合的優勢及其性質l 集合的基數集合的基數l 可數集可數集27 01202)(,NZ:xxxxxff則則 f 是是Z到到N的雙射函數的雙射函數. 從而證明了從而證明了ZN.集合的等勢集合的等勢集合等勢的實例集合等勢的實例例例6 (1) ZN. 定義定義8.8 設設A, B是集合是集合, 如果存在著從如果存在著從A到到B的雙射函數的雙射函數, 就稱就稱A和和B是是等勢等勢的的, 記作記作AB. 如果如果A不與不與B

23、等勢等勢, 則記作則記作A B.28mnmnmnmff 2)(1(),(,NNN:集合等勢的實例集合等勢的實例: NNNNNN. NN中所有的元素排成有序圖形中所有的元素排成有序圖形29-2/1-2/155-1/1-1/144-3/1-3/118182/12/110103/13/111110/10/1001/11/111-2/2-2/2-1/2-1/233-3/2-3/217172/22/23/23/212120/20/21/21/222-2/3-2/366-1/3-1/377-3/3-3/32/32/3993/33/30/30/31/31/388-2/4-2/4-1/4-1/41515-3/

24、4-3/416162/42/43/43/413130/40/41/41/41414PLAYNQ. 雙射函數雙射函數 f:NQ, 其中其中f(n)是是n下方的有理數下方的有理數. 集合等勢的實例集合等勢的實例: NQ30212tan)(,R)1 , 0(: xxff xxnxxxxfnn其它,.2 ,1,2/12/112/102/1)(22(6) 對任何對任何a, bR, ab, 0,1a,b，雙射函數雙射函數 f:0,1a,b, f(x)=(b a)x+a類似地可以證明類似地可以證明, 對任何對任何a, bR, ab, 有有(0,1)(a,b).(4) (0,1)R. 其中實數區間其中實數區間

25、 (0,1)=x| xR0 x1. 令令(5) 0,1(0,1). 其中其中(0,1)和和0,1分別為實數開區間和閉區間分別為實數開區間和閉區間. 令令 f : 0,1(0,1)實數集合的等勢實數集合的等勢31實例實例例例7 設設A為任意集合為任意集合, 則則P(A)0,1A.證證 如下構造從如下構造從P(A) 到到 0,1A 的函數的函數 f:P(A)0,1A, f(A)= A, AP(A).其中其中 A是集合是集合A的特征函數的特征函數. 易證易證 f 是單射的是單射的. 對于任意的對于任意的 g0,1A, 那么有那么有 g:A0,1. 令令 B= x| xAg(x)=1則則B A, 且且

26、 B=g, 即即 BP(A), f(B)=g. 從而證明了從而證明了f 是滿射是滿射的的. 由等勢定義得由等勢定義得 P(A)0,1A.32等勢的性質等勢的性質定理定理8.6 設設A, B,C是任意集合，是任意集合，(1) AA(2) 若若AB，則，則BA(3) 若若AB，BC，則，則AC.證明思路：利用等勢的等義證明思路：利用等勢的等義. (1) IA是從是從A到到A的雙射的雙射(2) 若若 f:AB是雙射，則是雙射，則f 1:BA是從是從B到到A的雙射的雙射.(3) 若若 f:AB，g:BC是雙射，則是雙射，則f g:AC是從是從A到到C的雙射的雙射 33有關勢的重要結果有關勢的重要結果等

27、勢結果等勢結果l N Z Q NNl 任何實數區間都與實數集合任何實數區間都與實數集合R等勢等勢不等勢的結果不等勢的結果: 定理定理8.7 (康托定理康托定理)(1) N R； (2) 對任意集合對任意集合A都有都有A P(A)證明思路：證明思路：(1) 只需證明任何函數只需證明任何函數 f:N0,1都不是滿射的都不是滿射的. 任取函數任取函數 f:N0,1, 列出列出 f 的所有函數值，然后構造一個的所有函數值，然后構造一個0,1區間的小數區間的小數b，使得，使得b與所有的函數值都不相等與所有的函數值都不相等. (2) 任取函數任取函數 f:AP(A)，構造，構造B P(A)，使得，使得B與

28、與 f 的任何函的任何函 數值都不等數值都不等. 34Cantor定理的證明定理的證明證證 (1) 規定規定0,1中數的表示中數的表示. 對任意的對任意的x0,1, 令令 x = 0. x1 x2 , 0 xi 9規定在規定在 x 的表示式中不允許在某位后有無數個的表示式中不允許在某位后有無數個1的情況的情況. 設設 f: N0,1是任何函數，列出是任何函數，列出 f 的所有函數值：的所有函數值： f(0) = 0.a1(1)a2(1) f(1) = 0.a1(2)a2(2) f(n 1) = 0.a1(n)a2(n) 令令 y 的表示式為的表示式為0.b1b2, 并且滿足并且滿足bi ai(

29、i), i=1,2, 那么那么y 0,1, 且且y與上面列出的任何函數值都不相等與上面列出的任何函數值都不相等. 這就推出這就推出y ranf, 即即 f 不是滿射的不是滿射的.35(2) 我們將證明任何函數我們將證明任何函數 g:AP(A)都不是滿射的都不是滿射的. 設設 g:AP(A)是從是從A到到P(A)的函數的函數, 如下構造集合如下構造集合B： B=x| xAx g(x)則則BP(A), 但對任意但對任意xA都有都有 xB x g(x)從而證明了對任意的從而證明了對任意的 xA都有都有 Bg(x). 即即B rang. 注意：根據注意：根據Cantor定理可以知道定理可以知道N P(

30、N)，N 0,1N.Cantor定理的證明定理的證明36集合的優勢集合的優勢定義定義8.9 (1) 設設A, B是集合是集合, 如果存在從如果存在從A到到B的單射函數的單射函數, 就就稱稱B優勢于優勢于A, 記作記作A B. 如果如果B不是優勢于不是優勢于A, 則記作則記作A B.(2) 設設A, B是集合是集合, 若若A B 且且 A B, 則稱則稱 B 真優勢于真優勢于A, 記作記作 A B. 如果如果 B 不是真優勢于不是真優勢于A, 則記作則記作A B. 實例實例 N N, N R, A P(A), R N N R, A P(A), 但但N N定理定理8.8 設設 A, B, C是任意

31、的集合是任意的集合, 則則(1) A A(2) 若若A B且且B A, 則則AB(3) 若若A B且且B C, 則則A C 37應用：證明等勢應用：證明等勢證證 設設x 0,1), 0. x1x2 是是 x 的二進制表示的二進制表示. 規定表示式中不規定表示式中不允許出現連續無數個允許出現連續無數個1. 對于對于x，如下定義，如下定義 f:0,1)0,1N, f(x) = tx, 且且 tx:N0,1, tx(n) = xn+1, n = 0,1,2,例如例如 x = 0.1 0 1 1 0 1 0 0, 則對應于則對應于x 的函數的函數 tx是：是： n 0 1 2 3 4 5 6 7 tx

32、(n) 1 0 1 1 0 1 0 0 tx0,1N, 且對于且對于x,y0,1), xy, 必有必有txty, 即即 f(x)f(y). 這就證明了這就證明了f:0,1)0,1N是單射的是單射的.例例8 證明證明 0,1N0,1).38考慮考慮 t0,1N, 其中其中 t(0)=0, t(n)=1, n=1, 2, . 按照按照 f 的定義的定義, 只有只有 x = 0.011 才能滿足才能滿足 f(x)=t. 但根據規定但根據規定, 這個數這個數 x 記為記為0.100, 所以根本不存在所以根本不存在 x0,1), 滿足滿足 f(x)=t.定義函數定義函數 g:0,1N0,1). g的映射

33、法則恰好與的映射法則恰好與 f 相反相反. 即即 t0,1N, t：N0,1, g(t)=0. x1x2, 其中其中xn+1=t(n). 將將0. x1x2 看作數看作數 x 的十進制表示的十進制表示. 這樣就避免了形如這樣就避免了形如 0.0111和和0.1000.在二進制表示中對應了同一個數的情在二進制表示中對應了同一個數的情況，從而保證了況，從而保證了g的單射性的單射性.根據定理有根據定理有0,1N0,1). 再使用等勢的傳遞性得再使用等勢的傳遞性得0,1NR.構造另一個單射構造另一個單射39自然數的集合定義自然數的集合定義 定義定義8.10 設設a為集合為集合, 稱稱aa為為a的的后繼

34、后繼, 記作記作a+, 即即 a+=aa.如下定義自然數：如下定義自然數： 0= 1=0+=+ = =0 2=1+= + = =,=0,1 3=2+=,+= ,= 0,1,2 n=0, 1, , n 1 自然數的相等與大小，即對任何自然數自然數的相等與大小，即對任何自然數 n和和m，有有 m=n m n ， mn m n40有窮集和無窮集有窮集和無窮集定義定義8.11 (1) 一個集合是一個集合是有窮有窮的當且僅當它與某個自然數等勢；的當且僅當它與某個自然數等勢；(2) 如果一個集合不是有窮的如果一個集合不是有窮的, 就稱作就稱作無窮集無窮集.實例：實例：(1) a,b,c是有窮集是有窮集,

35、因為因為3=0,1,2, 且且 a,b,c0,1,2=3(2) N和和R都是無窮集都是無窮集, 因為沒有自然數與因為沒有自然數與N和和R等勢等勢利用自然數的性質可以證明：任何有窮集只與惟一的自然數利用自然數的性質可以證明：任何有窮集只與惟一的自然數等勢等勢. 41集合基數的定義集合基數的定義定義定義8.12(1) 對于有窮集合對于有窮集合A, 稱與稱與A等勢的那個惟一的自然數為等勢的那個惟一的自然數為A的的基基數數, 記作記作cardA (也可以記作也可以記作|A|) cardA = n A n (2) 自然數集合自然數集合N的基數記作的基數記作0, 即即 cardN =0(3) 實數集實數集

36、R的基數記作的基數記作, 即即 cardR =42基數的相等和大小基數的相等和大小定義定義8.13 設設A, B為集合為集合, 則則(1) cardA=cardB AB(2) cardAcardB A B(3) cardAcardB cardAcardBcardAcardB根據上一節關于勢的討論不難得到：根據上一節關于勢的討論不難得到： card Z = card Q = card NN =0 card P(N) = card 2N = card a,b = card (c,d) = 0 card Acard P(A)其中其中2N = 0,1N43基數的大小基數的大小不存在最大的基數不存在最大

37、的基數. 將已知的基數按從小到大的順序排列就將已知的基數按從小到大的順序排列就得到：得到： 0, 1, 2, , n, , 0, , 其中：其中： 0, 1, 2, n, 是全體自然數是全體自然數, 是有窮基數是有窮基數. 0, , 是無窮基數是無窮基數, 0是最小的無窮基數是最小的無窮基數, 后面還后面還有更大的基數有更大的基數, 如如cardP(R)等等. 44可數集可數集定義定義8.14 設設A為集合為集合, 若若cardA0, 則稱則稱A為為可數集可數集或或可列集可列集.實例：實例：a,b,c, 5, 整數集整數集Z, 有理數集有理數集Q, NN等都是可數集等都是可數集, 實數集實數集

38、 R不是可數集不是可數集, 與與R等勢的集合也不是可數集等勢的集合也不是可數集. 對于任何的可數集對于任何的可數集, 它的元素都可以排列成一個有序圖形它的元素都可以排列成一個有序圖形. 換換句話說句話說, 都可以找到一個都可以找到一個“數遍數遍”集合中全體元素的順序集合中全體元素的順序. 可數集的性質：可數集的性質：l 可數集的任何子集都是可數集可數集的任何子集都是可數集.l 兩個可數集的并是可數集兩個可數集的并是可數集.l 兩個可數集的笛卡兒積是可數集兩個可數集的笛卡兒積是可數集.l 可數個可數集的笛卡兒積仍是可數集可數個可數集的笛卡兒積仍是可數集.l 無窮集無窮集A的冪集的冪集P(A)不是

39、可數集不是可數集45實例實例解解 (1) 由由T=B, A, S, E, L知知 cardT=5(2) 由由B=, 可知可知 cardB=0.(3) 由由|A|=4 可知可知 cardC=cardP(A)=|P(A)|=24=16.例例9 求下列集合的基數求下列集合的基數(1) T=x | x是單詞是單詞“BASEBALL”中的字母中的字母(2) B=x | xRx2=92x=8(3) C=P(A), A=1, 3, 7, 1146例例10 設設A, B為集合為集合, 且且 cardA=0, cardB=n, n是自然數是自然數, n0. 求求card AB.實例實例解解 方法一方法一 構造雙

40、射函數構造雙射函數由由cardA=0, cardB=n, 可知可知 A, B都是可數集都是可數集. 令令 A=a0,a1,a2, B=b0,b1,b2,bn 1 對任意的對任意的, AB有有 = i=kj=l 定義函數定義函數 f :ABN f()=in+j, i=0,1, j=0,1,n 1易見易見f是是AB到到N的雙射函數的雙射函數, 所以所以 card AB=card N = 047方法二方法二 直接使用可數集的性質求解直接使用可數集的性質求解. 因為因為 card A=0, card B=n, 所以所以A, B都是可數集都是可數集.根據性質根據性質(3) 可知可知 AB也是可數集也是可

41、數集, 所以所以 card AB0 顯然當顯然當 B時時, card A card AB, 這就推出這就推出 0 card AB綜合上述得到綜合上述得到 card AB=0. 實例實例48第八章第八章 習題課習題課主要內容主要內容l 函數，函數，從從A到到B的函數的函數 f:AB，BA，函數的像與完全原像，函數的像與完全原像l 函數的性質：單射、滿射、雙射函數函數的性質：單射、滿射、雙射函數l 重要函數：恒等函數、常函數、單調函數、集合的特征函重要函數：恒等函數、常函數、單調函數、集合的特征函 數、自然映射數、自然映射l 集合等勢的定義與性質集合等勢的定義與性質l 集合優勢的定義與性質集合優勢

42、的定義與性質l 重要的集合等勢以及優勢的結果重要的集合等勢以及優勢的結果l 可數集與不可數集可數集與不可數集l 集合基數的定義集合基數的定義49基本要求基本要求l 給定給定 f, A, B, 判別判別 f 是否為從是否為從A到到B的函數的函數l 判別函數判別函數 f:AB的性質（單射、滿射、雙射）的性質（單射、滿射、雙射）l 熟練計算函數的值、像、復合以及反函數熟練計算函數的值、像、復合以及反函數l 證明函數證明函數 f:AB的性質（單射、滿射、雙射）的性質（單射、滿射、雙射）l 給定集合給定集合A, B，構造雙射函數，構造雙射函數 f:AB l 能夠證明兩個集合等勢能夠證明兩個集合等勢l 能

43、夠證明一個集合優勢于另一個集合能夠證明一個集合優勢于另一個集合l 知道什么是可數集與不可數集知道什么是可數集與不可數集l 會求一個簡單集合的基數會求一個簡單集合的基數50練習練習11給定給定A, B 和和 f, 判斷是否構成函數判斷是否構成函數 f:AB. 如果是如果是, 說明該說明該 函數是否為單射、滿射、雙射的函數是否為單射、滿射、雙射的. 并根據要求進行計算并根據要求進行計算.(1) A=1,2,3,4,5, B=6,7,8,9,10, f=,.(2) A,B同同(1), f=,.(3) A,B同同(1), f=,.(4) A=B=R, f(x)=x3(5) A=B=R+, f(x)=x

44、/(x2+1).(6) A=B=RR, f()=, 令令 L=|x,yRy=x+1, 計算計算 f(L).(7) A=NN, B=N, f()=|x2 y2|. 計算計算f(N0), f 1(0)51解解答解答(1) 能構成能構成 f:AB, f:AB既不是單射也不是滿射既不是單射也不是滿射, 因為因為 f(3)=f(5)=9, 且且7 ranf.(2) 不構成不構成 f:AB, 因為因為 f 不是函數不是函數. f 且且f, 與函與函 數定義矛盾數定義矛盾(3) 不構成不構成 f:AB, 因為因為dom f = 1,2,3,4 A(4) 能構成能構成 f:AB, 且且 f:AB是雙射的是雙射

45、的(5) 能構成能構成 f:AB, f:AB既不是單射的也不是滿射的既不是單射的也不是滿射的. 因為該因為該 函數在函數在 x=1取極大值取極大值 f(1)=1/2. 函數不是單調的函數不是單調的,且且ranfR+.(6) 能構成能構成 f:AB, 且且 f:AB是雙射的是雙射的. f(L) = |xR=R 1(7) 能構成能構成 f:AB, f:AB既不是單射的也不是滿射的既不是單射的也不是滿射的. 因為因為 f()=f()=0, 2 ranf. f(N0) = n2 02|nN = n2|nN f 1(0) = |nN521)(, 1, 1)(,)(,0, 10, 1)(4321 xfZx

46、Zxxfxxfxxxf練習練習22. 設設 f1, f2, f3, f4 RR，且，且令令Ei 是由是由 fi 導出的等價關系，導出的等價關系，i=1,2,3,4，即，即 xEiy fi(x)=fi(y) (1) 畫出偏序集畫出偏序集的哈斯圖，其中的哈斯圖，其中T 是加細關系：是加細關系： T x(x R/Eiy(y R/Ej x y) (2) gi:RR/Ei 是自然映射，求是自然映射，求gi(0), i=1,2,3,4.(3) 對每個對每個i, 說明說明 gi 的性質（單射、滿射、雙射）的性質（單射、滿射、雙射）.53(1) 哈斯圖如下哈斯圖如下(2) g1(0) = x | x R x

47、0, g2(0)=0, g3(0)=Z, g4(0)=R(3) g1, g3, g4是滿射的；是滿射的；g2是雙射的是雙射的. 解圖1解答解答54練習練習33對于以下集合對于以下集合A和和B，構造從，構造從A到到B的雙射函數的雙射函數 f:AB(1) A=1,2,3，B=a, b, c(2) A=(0,1)，B=(0,2)(3) A=x| x Zx0，B=N (4) A=R，B=R+ 解解 (1) f=, , (2) f:AB, f(x)=2x(3) f:AB, f(x)= x 1(4) f:AB, f(x)=ex 554.4.設設 證明證明 f 既是滿射的，也是單射的既是滿射的，也是單射的. yxyxyxff,),(,RRRR: 2,2vuvu vuvuvuf,)2,2( vuyxvyuxvuyxvuyxvuvuyxyxvufyxf,),(),(證證 任取任取 R R，存在，存在使得使得 練習練習4因此因此 f 是滿射的是滿射的對于任意的對于任意的 , R R, 有有因此因此 f 是單射的是單射的.56證明方法證明方法1. 證明證明 f:AB是滿射的方法是滿射的方法: 任取任取 y B, 找到找到 x (即給出即給出x的的表示表示)或者證明存在或者證明存在x A，使得，使得f(x)=y. 2.