1、31 概述概述 32 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉33 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖34 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力 強度條件強度條件35 等直圓桿扭轉時的變形等直圓桿扭轉時的變形 剛度條件剛度條件36 等直圓桿扭轉時的應變能等直圓桿扭轉時的應變能37 非圓截面等直桿在自由扭轉時的應力和變形非圓截面等直桿在自由扭轉時的應力和變形第三章第三章 扭扭 轉轉 31 概概 述述 軸：軸：工程中以扭轉為主要變形的構件。如：機器中的傳動軸、工程中以扭轉為主要變形的構件。如：機器中的傳動軸、 石油鉆機中的鉆桿等。石油鉆機中的鉆桿等。扭轉：扭轉：外力的合力為一力偶，

2、且力偶的作用面與直桿的軸線外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發生的變形為扭轉變形。垂直，桿發生的變形為扭轉變形。ABOmmOBA工工 程程 實實 例例32 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉 略略扭轉角（扭轉角（）：）：任意兩截面繞軸線轉動而發生的角位移。任意兩截面繞軸線轉動而發生的角位移。切應變（切應變（ ）：）：直角的改變量。直角的改變量。 T=m剪切胡克定律：剪切胡克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（ p)，剪應力與剪應變成正比關系。剪應力與剪應變成正比關系。G剪切胡克定律：剪切胡克定律： G 式中：式中：G是材料的一個彈性常數

3、，稱為剪切彈性模量，因是材料的一個彈性常數，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故無量綱，故G的量綱與的量綱與 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通過實驗確定，值可通過實驗確定，鋼材的鋼材的G值約為值約為80 GPa 。 剪切彈性模量剪切彈性模量、彈性模量彈性模量和和泊松比泊松比是表明材料彈性性質的是表明材料彈性性質的三個常數。對各向同性材料，這三個彈性常數之間存在關系：三個常數。對各向同性材料，這三個彈性常數之間存在關系： 可見，在三個彈性常數中，只要知道任意兩個，第三個量可見，在三個彈性常數中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。就可以推算出來。)1 ( 2EG（推導詳見后面章節）：3

4、3 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 一、傳動軸的外力偶矩一、傳動軸的外力偶矩 傳遞軸的傳遞功率、轉速與外力偶矩的關系：m)(KN 55. 9nPMm)(KN 024. 7nPM其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉速，轉/分（rpm）其中：P 功率，馬力（PS） n 轉速，轉/分（rpm）1PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PS3 扭矩的符號規定：扭矩的符號規定： “T”的轉向與截面外法線方向滿足右手螺旋規則為正，的轉向與截面外法線方向滿足右手螺旋規則為正，反之為負。反之為負。二、扭矩及扭矩圖二、扭矩及扭矩圖 1 扭矩：扭矩：構件受扭時，橫截面上的內力偶矩

5、，記作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩MMMTMTMTMx00 x4 扭矩扭矩圖圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規律的圖線。：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規律的圖線。 目目 的的扭矩變化規律；|T|max值及其截面位置 強度計算（危險截面）。xT例例1已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入 P1=500kW，從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。nA B C DP2 P3 P1 P4解：計算外力偶矩解：計算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555. 911nPMm)(kN 78. 43001509.5555. 9

6、232nPMMm)(kN 37. 63002009.5555. 944nPMnA B C DM2 M3 M1 M4112233求扭矩（扭矩按正方向設）求扭矩（扭矩按正方向設）mkN78. 4 0 , 02121MTMTMmkN56. 9)78. 478. 4( , 0 322322MMTMMT3434 0 , 6.37kN mTMTM繪制扭矩圖繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險截面。段為危險截面。xTnA B C DM2 M3 M1 M44.789.566.3734 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力 強度條件強度條件等直圓桿橫截面應力等直圓桿橫截面應力變形幾何方面變形幾何

7、方面物理關系方面物理關系方面靜力學方面靜力學方面 1. 橫截面變形后橫截面變形后 仍為平面；仍為平面； 2. 軸向無伸縮；軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行?？v向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉實驗觀察：一、等直圓桿扭轉實驗觀察：二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：1. 變形幾何關系：變形幾何關系：xxGGdddtgxdd距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與到圓心的距離與到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉角沿長度方向變化率。ADDE2. 物理關系：物理關系：剪切胡克定律：代入上式得： GxGGddxGdd 3. 靜力學關系：靜力學關系：Od

8、AAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理關系式 得：xGdd pIT極慣性矩極慣性矩pIT 橫截面上距圓心為 處任一點切應力計算公式。4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面 直桿。直桿。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。該點到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。極慣性矩，純幾何量，無物理意義。單位：單位：m4AIApd2 盡管由實心圓截面桿推出

9、，但同樣適用于空心圓截面桿，盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是只是Ip值不同。值不同。22204d 2d 32pAdIAd 對于實心圓截面：ddO對于空心圓截面：22224444d 2d ()32 (1)32pADdIADdD )(DddDOd 應力分布應力分布（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構件：提高強度，節約材料，重量輕，結構輕便，應用廣泛。 確定最大切應力：確定最大切應力：pIT由知：當max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTpPPpp令PWTmaxWP 抗扭截面系數（扭轉截面系數），抗扭截面系數（扭轉截面系數）， 幾何量，單位：m3

10、。對于實心圓截面：316PpWIRd對于空心圓截面：34(1) 16PpWIRD例例 一個是實心圓截面I軸，一個是空心圓截面II軸，兩軸材料、扭轉力偶矩 和長度 l 均相等，最大切應力也相等。若空心圓截面內、外直徑比為 ，試求空心圓截面的外徑與實心圓截面直徑之比以及兩軸的重量比。e M8 . 01d2D2d解：解：16d 311PW 116D 4322）（PWPWTmax帶入最大切應力公式：帶入最大切應力公式：可得：可得：21PPWTWT即：即：)1 ( 16 1643231DTdT194. 1 12dD兩軸重量比即為橫截面積比兩軸重量比即為橫截面積比512. 04)(421222212ddD

11、AA三、等直圓桿扭轉時斜截面上的應力三、等直圓桿扭轉時斜截面上的應力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此，我們需要研究斜截面上的應力。因此，我們需要研究斜截面上的應力。點M的應力單元體如右圖 2、斜截面上的應力、斜截面上的應力M1、切應力互等定理：、切應力互等定理： 0故dydxdzdxdzdyMz該定理表明：該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，切應力必然在單元體相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對出現，且數值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方成對出現，且數值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。向則共同指向或共同背離該交線

12、。單元體的四個側面上只有切應力而無正應力作用，單元體的四個側面上只有切應力而無正應力作用，這種應力狀態稱為這種應力狀態稱為純剪切應力狀態。純剪切應力狀態。上式稱為切應力互等定理切應力互等定理。dx dy zOdz x2、斜截面上的應力、斜截面上的應力 x轉角規定：轉角規定：軸正向轉至截面外法線逆時針：為“+”順時針：為“”由平衡方程：由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAF0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAF 利用解得：2cos ; 2sin 2cos ; 2sin 分析：當 = 45時，0 , 45min45當 = 45時，0 , 45max4

13、5當 = 90時，max9090 , 0 45 由此可見：圓軸扭轉時，在橫截面和縱截面上的切應力為最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大壓應力和最大拉應力。根據這一結論，就可解釋前述的破壞現象。max00 , 0當 = 0時，四、圓軸扭轉時的強度計算四、圓軸扭轉時的強度計算強度條件：強度條件：對于等截面圓軸：對于等截面圓軸：maxmaxPWT( 稱為許用剪應力。)強度計算三方面：強度計算三方面： 校核強度： 設計截面尺寸： 計算許可載荷：maxmaxPWTmaxTWPmaxPWT）（空：實：433116 16 DDWP35 等直圓桿在扭轉時的變形等直圓桿在扭轉時的變形 剛度條件剛度條件

14、一、扭轉時的變形一、扭轉時的變形由公式pGITx dd 可知：長為長為 l 的一段桿兩截面間相對扭轉角的一段桿兩截面間相對扭轉角 為值不變）若TGITlxGITplp( d d0GIp反映了截面抵抗扭轉變形的能力，稱為截面的截面的抗扭剛度抗扭剛度。二、單位長度扭轉角二、單位長度扭轉角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、剛度條件三、剛度條件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT或 稱為許用單位長度扭轉角許用單位長度扭轉角。剛度計算的三方面：剛度計算的三方面： 校核剛度：校核剛度： 設計截面尺寸：設計截面尺寸： 計算許可載荷：

15、計算許可載荷： max max GT Ip max pGIT 有時，還可依據此條件進行選材。有時，還可依據此條件進行選材。例例已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入 P1=500kW，從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。該軸由45號鋼制成，為空心圓截面，內、外半徑比為0.5，鋼的許用切應力 =40Mpa,切變模量G=80Gpa,許可單位扭轉角 。試根據強度與剛度條件選擇軸的半徑。/m)( 3 . 0 nA B C DP2 P3 P1 P4dDxT4.789.566.37解：由扭矩圖，可知解：由扭矩圖，可知mKNT.56. 9max 161516D )

16、21(116D 116D 34343）（）（PW 161532D 132D 444）（PImTWTP334maxmax10109)1 (16D 由強度條件由強度條件 180 maxPGIT由剛度條件由剛度條件mmmGT5 .125105 .125 1180)1 (32D 344max綜合強度條件與剛度條件可知綜合強度條件與剛度條件可知mm5 .125D mTWTP334maxmax10109)1 (16D 由強度條件由強度條件36 等直圓桿在扭轉時的應變能等直圓桿在扭轉時的應變能dV)dx(dzdy)(dW2121GGxWVV221 21dydzdddd22一、一、 應變能與應變能密度應變能與

17、應變能密度acddxb dy dzzxy單元體微功：單元體微功：應變能密度應變能密度 ：等直圓桿在扭轉時應變能等直圓桿在扭轉時應變能VldAdxdVVA對只在兩端受外力偶矩的等直圓桿的應變能對只在兩端受外力偶矩的等直圓桿的應變能APlPGIlTdAITGldAdxGV2)(2222A2222 lGIVP又由又由PGITl37 非圓截面等直桿在自由扭轉時的應力和變形非圓截面等直桿在自由扭轉時的應力和變形非圓截面等直桿：非圓截面等直桿：平面假設不成立。即各截面發生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉時推出的應力、變形公式不適用，須由彈性力學方法求解。一一、自由扭轉、自由扭轉：桿件扭轉時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相 鄰截面的翹曲程度完全相同。二二、約束扭轉、約束扭轉：桿件扭轉時，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面 的翹曲程度不同。三三、矩形桿橫截面上的剪應力、矩形桿橫截面上的剪應力: :1. 切應力分布如圖：（角點、形心、長短邊中點） hbh 1T max 注意！b2. 最大剪應力及單位扭轉角 maxmaxtWT2 bhtW其中：3 bhIt , tGIT相當極慣性矩 hbh 1T max 注意！bmax131查表求查表求 和和 時一定要時一定要注意，表中注意，表中 和和 與哪套公式對應。與哪套公式對應。 ; ) 1