1、概率與統計知識點與題型3.1.1 一隨機事件的概率及概率的意義1、基本概念：(1)必然事件：在條件 S下，一定會發生的事件，叫相對于條件S的必然事件；(2)不可能事件：在條件 S下，一定不會發生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；(3)確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對于條件S的確定事件；(4)隨機事件：在條件 S下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；(5)頻數與頻率：在相同的條件 S下重復n次試驗，觀察某一事件 A是否出現，稱n次試驗中事件 A出現nA的次數nA為事件A出現的頻數；稱事件 A出現的比例fn(A尸 n為事件A出現的概率：對于給定的隨機事件 A,如果隨著試

2、驗次數的增加，事件A發生的頻率fn(A)穩定在某個常數上，把這個常數記作 P (A),稱為事件A的概率。nA(6)頻率與概率的區別與聯系：隨機事件的頻率，指此事件發生的次數nA與試驗總次數n的比值n ,它具有一定的穩定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數叫做隨機事件的概率，概率從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率3.1.3概率的基本性質1、基本概念：(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2)若An B為不可能事件，即 An B=6,那么稱事件 A與事件B互斥；(3)若An B為

3、不可能事件，AU B為必然事件，那么稱事件 A與事件B互為對立事件；(4)當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AU B尸P(A)+ P(B);若事件A與B為對立事件，則 AU B為必然事件，所以 P(AUB尸P(A)+ P(B)=1 ,于是有 P(A)=1P(B)2、概率的基本性質：1)必然事件概率為1,不可能事件概率為 0,因此0W P(A) & 1;2)當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AU B)= P(A)+ P(B);3)若事件A與B為對立事件，則AU B為必然事件，所以P(AU B)= P(A)+ P(B)=1 ,于是有P(A)=1 P(B);4)互斥事件與對立事件的區

4、別與聯系，互斥事件是指事件 A與事件B在一次試驗中不會同時發生，其具 體包括三種不同的情形：（1）事件A發生且事件B不發生；（2）事件A不發生且事件 B發生；（3）事件A 與事件B同時不發生，而對立事件是指事件 A 與事件B有且僅有一個發生，其包括兩種情形； （1）事 件A發生B不發生；（2）事件B發生事件A不發生，對立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1 古典概型及隨機數的產生1、（1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；求出總的基本事件數；A包含的基本事件數求出事件A所包含的基本事件數，然后利用公式P （A）=總的基本事件個數3.3.1 幾何概

5、型及均勻隨機數的產生1、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：構成事件A的區域長度（面積或體 積）P（ A）=試驗的全部結果所構成的區域長度（面積或體 積）.（1） 幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等.一、隨機變量.1 .隨機試驗的結構應該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：試驗可以在相同的情形下重復進行；試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯

6、定這次試驗會出現哪一個結果.它就被稱為一個隨機試驗.2 .離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若E是一個隨機變量，a, b是常數.則也是一個隨機變量.一般地，若E是隨機變量，是連續函數或單調函數，則也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數也是隨機變量設離散型隨機變量 E可能取的值為：E取每一個值的概率，則表稱為隨機變量E的概率分布，簡稱 E的分布列.有性質；.注意：若隨機變量可以取某一區間內的一切值，這樣的變量叫做連續型隨機變量.例如：即可以取 05之間的一切數，包括整數、小數、無理數 .3 .二項分布：如果在一次試驗中某事件

7、發生的概率是P,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率是：其中于是得到隨機變量 E的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量 E服從二項分布，記作B (n p),其中n, p為參數，并記.二項分布的判斷與應用.二項分布，實際是對 n次獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列4 .幾何分布："”表示在第k次獨立重復試驗時，事件第一次發生，如果把 k次試驗時事

8、件 A發生記為， 事A不發生記為，那么.根據相互獨立事件的概率乘法分式：于是得到隨機變量E的概率分布列.123kPqqp我們稱E服從幾何分布，并記，其中5 .超幾何分布：一批產品共有 N件，其中有M (Mk N)件次品，今抽取件，則其中的次品數 七是一離散 型隨機變量，分布列為.分子是從 M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數，如果規定時，則k的范圍可以寫為 k=0, 1,，n.超幾何分布的另一種形式：一批產品由a件次品、b件正品組成，今抽取 n件(iwnwa+b),則次品數E的分布列為.超幾何分布與二項分布的關系 .設一批產品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品

9、數E服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數的分布列可如下求得：把個產品編號，則抽取n次共有個可能結果，等可能：含個結果，故，即我們先為k個次品選定位置，共種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有 b種選法可以證明：當產品總數很大而抽取個數不多時，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣二、數學期望與方差.1 .期望的含義：一般地，若離散型隨機變量E的概率分布為P則稱為E的數學期望或平均數、均值.數學期望又簡稱期望.數學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.2 .隨機變量的數學期望:當時，即常數的數學期望就是這個常數本身.當時，即隨機變量E與常數之和的期望

10、等于 E的期望與這個常數的和01Pqp當時，即常數與隨機變量乘積的期望等于這個常數與隨機變量期望的乘積單點分布：其分布列為：兩點分布：，其分布列為：（p + q = 1 ）二項分布： 其分布列為.（P為發生的概率）幾何分布：其分布列為.（P為發生的概率）3 .方差、標準差的定義：當已知隨機變量 E的分布列為時，則稱為 E的方差.顯然，故為E的根方差或標準差.隨機變量E的方差與標準差都反映了隨機變量E取值的穩定與波動，集中與離散的程度.越小， 穩定性越高，波動越小4 .方差的性質.01pqp隨機變量的方差.（a、b均為常數）單點分布：其分布列為兩點分布：其分布列為：（p + q = 1 ）二項分

11、布： 幾何分布：5 .期望與方差的關系如果和都存在，則設E和是互相獨立的兩個隨機變量，則期望與方差的轉化：（因為為一常數）.三、正態分布.1 .密度曲線與密度函數： 對于連續型隨機變量 E,位于x軸上方，E落在任一區間內的概率等于它與 x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分）的曲線叫 E的密度曲線，以其作為圖像的函數叫做 E的密度函數，由于是必然事件，故密度曲線與 x軸所夾部分面積等于 1.2 .正態分布與正態曲線：如果隨機變量 E的概率密度為：.（為常數，且），稱E服從參數為的正態分布，用表示.的表達式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態曲線正態分布的期望與方差：若，則E的期望與方

12、差分別為：.正態曲線的性質.曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關于直線對稱.當時曲線處于最高點，當x向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當時，曲線上升；當時，曲線下降，并且當曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.當一定時，曲線的形狀由確定， 越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.3 .標準正態分布： 如果隨機變量E的概率函數為，則稱 E服從標準正態分布.即有，求出，而 P （a<<b）的計算則是.注意：當標準正態分布的的 X取0時，有當的X取大于0的數時，有.比如則必然小于

13、 0,如圖.正態分布與標準正態分布間的關系：若則E的分布函數通常用表示，且有.習題1. 6名同學排成兩排，每排 3人，其中甲排在前排的概率是A.工121B.一2八1C.一62.有10名學生，其中4名男生，6名女生，從中任選2名，恰好2名男生或2名女生的概率是B.215C.D.7153.甲乙兩人獨立的解同一道題,甲乙解對的概率分別是Pl,P2 ,那么至少有1人解對的概率A. PiP2B.PiP2 C. 1 Pi P2D.1(1Pl) (1 P2)4.從數字 1,2, 3, 4, 5這五個數中，隨機抽取2個不同的數則這2個數的和為偶數的概率()A. 15B.5.有2n個數字，其中一半25日衣7&#

14、163;可C.D.5半是偶數，從中任取兩個數,45則所取的兩數之和為偶數的概率是A、1 B、122n6.有10名學生，其中n 1nC 、 d 、2n 12n4名男生，6名女生，從中任選112名學生，恰好是2名男生或2名女生的概率是A. 245B 125C175D- 37.已知P箱中有紅球1個，白球9個，Q箱中有白球7個,（P、Q箱中所有的球除顏色外完全相同）.現隨意從 P箱中取出3個球放入Q箱，將Q箱中的球充分攪勻后，再從Q箱中隨意取出3個球放入P箱,則紅球從P箱移到Q箱，再從Q箱返回P箱中的概率等于A- 51100C9 2/C10 3 乘以 C9 2/C10 38.已知集合 A=12, 14

15、, 16, 18, 20,B=11 , 13, 15, 17, 19,在A中任取一個元素用ai（i=1 , 2, 3, 4, 5）表示，在 B中任取一個元素用b （j=1 , 2,3, 4, 5)表示,則所取兩數滿足a>b的概率為（）A、9.在圓周上有10個等分點，以這些點為頂點，每 3個點可以構成一個三角形，如果隨機選擇3個點，剛好構成直角三角形的概率是（）直徑有5個1B.3C. 2 D.3個次品全部被抽10 .已知10個產品中有3個次品，現從其中抽出若干個產品，要使這出的概率不小于，則至少應抽出產品()個個 個個11 .甲、乙獨立地解決同一數學問題，甲解決這個問題的概率是，乙解決這個

16、問題的概率是，那么其中至少有 1人解決這個問題的概率是()A 、 B 、0.52 C 、 D 、12 .某小組有三名女生，兩名男生，現從這個小組中任意選出一名組長，則其中一名女生小麗當選為組長的概率是13 .擲兩枚骰子，出現點數之和為3的概率是 14 .某班委會由4名男生與3名女生組成，現從中選出2人擔任正副班長，其中至少有1名女生當選的概率是15 .我國西部一個地區的年降水量在下列區間內的概率如下表所示：年降水量/mm100, 150 )150, 200 )200, 250 )250, 300 概率則年降水量在200 , 300 (m,m)范圍內的概率是 S 一16、向面積為 S的 ABC內

17、任投一點P,則 PBC的面積小于 ？的概率是。217、有五條線段，長度分別為 1, 3, 5, 7, 9,從這五條線段中任取三條，則所取三條線段能構成一個三角形的概率為18、在等腰RtABC中，在斜邊 AB上任取一點 M則AM的長小于 AC的長的概率為 19 .甲、乙兩名籃球運動員，投籃的命中率分別為與.(1)如果每人投籃一次，求甲、乙兩人至少有一人進球的概率；(2)如果每人投籃三次，求甲投進2球且乙投進1球的概率.20 .加工某種零件需要經過四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分別為9 8 7 6、一、一、一,且各道工序互不感向10 9 8 7(1)求該種零件的合格率(2)從加工好的

18、零件中任取 3件，求至少取到2件合格品的概率(3)假設某人依次抽取 4件加工好的零件檢查，求恰好連續2次抽到合格品的概率(用最簡分數表示結果)21 .甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數相等，所得次品數分別為£、刀，e和刀的分布列如下：£012012PP則比較兩名工人的技術水平的高低為思路啟迪：一是要比較兩名工人在加工零件數相等的條件下出次品數的平均值，即期望；二是要看出次品 數的波動情況，即方差值的大小 . .22 .某商場經銷某商品，根據以往資料統計，顧客采用的付款期數的分布列為12345商場經銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為 300元.表示經銷一件該商品的利