1、結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:1414-1 概述概述14-2 結構的振動自由度結構的振動自由度 14-3 單自由度結構的自由振動單自由度結構的自由振動 14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動 14-6 多自由度結構的自由振動多自由度結構的自由振動 第十四章第十四章 結構動力學結構動力學結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:1414-7 多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動多自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動 14-8 振型分解法振型分解法14-

2、9 無限自由度結構的振動無限自由度結構的振動14-10 計算頻率的近似方法計算頻率的近似方法 結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:14 靜力荷載：靜力荷載：大小、方向和作用位置不隨時間變化，或變大小、方向和作用位置不隨時間變化，或變化非常緩慢，不會促使結構產生顯著的運動狀態的變化，結化非常緩慢，不會促使結構產生顯著的運動狀態的變化，結構將處于平衡狀態。計算平衡狀態下結構的內力和變形問題構將處于平衡狀態。計算平衡狀態下結構的內力和變形問題稱為靜力計算。稱為靜力計算。 注意：注意：區分靜力荷載與動力荷載，不是單純從荷載本身區分靜力荷載與動力荷載，不是單純從荷載本身性質來看，要看其對結構產生的影

3、響。性質來看，要看其對結構產生的影響。一、結構動力計算的特點和任務一、結構動力計算的特點和任務1. 動力荷載與靜力荷載的區別：動力荷載與靜力荷載的區別： 隨時間變化的結構的位移和內力，稱為動位移和動內力，隨時間變化的結構的位移和內力，稱為動位移和動內力，并稱為動力反應。計算動力荷載作用下結構的動力反應問題，并稱為動力反應。計算動力荷載作用下結構的動力反應問題，稱為動力計算。稱為動力計算。 動力荷載（干擾力）：動力荷載（干擾力）：隨時間迅速變化的荷載隨時間迅速變化的荷載 14-1 概述概述結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:14結構動力計算的特點：結構動力計算的特點：在動力荷載作用下，結構將

4、產生振動，其位移和內力都在動力荷載作用下，結構將產生振動，其位移和內力都 是隨時間變化的。在運動過程中，結構的質量具有加速是隨時間變化的。在運動過程中，結構的質量具有加速 度，必須考慮慣性力的作用。度，必須考慮慣性力的作用。考慮慣性力的作用是結構動力計算的最主要特征考慮慣性力的作用是結構動力計算的最主要特征。 結構靜力計算的特點：結構靜力計算的特點：結構的位移和內力只取決于靜力荷載的大小及其分布結構的位移和內力只取決于靜力荷載的大小及其分布 規律，與時間無關。規律，與時間無關。2. 結構動力計算的特點結構動力計算的特點3. 結構動力計算可分為兩大類：結構動力計算可分為兩大類：自由振動：自由振動

5、：結構受到外部因素干擾發生振動，而在以后的振動過程中不再受外結構受到外部因素干擾發生振動，而在以后的振動過程中不再受外 部干擾力作用。部干擾力作用。強迫振動：強迫振動：如果結構在振動過程中還不斷受到外部干擾力作用，則稱為強迫如果結構在振動過程中還不斷受到外部干擾力作用，則稱為強迫 振動。振動。 4. 結構動力計算的任務：結構動力計算的任務：(2) 分析計算動力荷載作用下結構的動力反應，確定動力荷載作用下結構的分析計算動力荷載作用下結構的動力反應，確定動力荷載作用下結構的位位移、內力等量值隨時間而變化的規律，從而找出其最大值以作為設計的依據。移、內力等量值隨時間而變化的規律，從而找出其最大值以作

6、為設計的依據。(1) 分析計算自由振動，得到的結構的動力特性分析計算自由振動，得到的結構的動力特性( (自振頻率、振型和阻尼參數自振頻率、振型和阻尼參數) )；14-1 概述概述結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:14 周期荷載周期荷載 隨時間周期地變化的荷載。其中最簡單、最重要的是隨時間周期地變化的荷載。其中最簡單、最重要的是簡諧荷載簡諧荷載( (按弦或余弦函數規律變化按弦或余弦函數規律變化) )。二、動力荷載的分類二、動力荷載的分類 toF (t)F 簡諧荷載簡諧荷載rml/Ft2l/21. 周期荷載周期荷載非簡諧性周期荷載非簡諧性周期荷載 例：打樁時落錘撞擊所產生的荷載。例：打樁時落

7、錘撞擊所產生的荷載。 o周期撞擊荷載F(t)t14-1 概述概述結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15在很短的時間內，荷載值急劇減小在很短的時間內，荷載值急劇減小( (或增加或增加) )，如爆炸時所產生的荷載。，如爆炸時所產生的荷載。oF(t)F oF F(t)rttttr2. 沖擊荷載沖擊荷載 3. 突加常量荷載突加常量荷載突然作用于結構上、荷載值在較長時間內保持不變。例：起重機起吊重突然作用于結構上、荷載值在較長時間內保持不變。例：起重機起吊重物時所產生的荷載。物時所產生的荷載。oF(t)F t上述荷載是時間的確定函數，稱之為上述荷載是時間的確定函數，稱之為確定性動力荷載。確定性動力

8、荷載。 14-1 概述概述結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15 隨機荷載（非確定性荷載）隨機荷載（非確定性荷載）荷載的變化極不規則，在任荷載的變化極不規則，在任時刻的時刻的數值無法預測。地震荷載和風荷載都是隨機荷載。數值無法預測。地震荷載和風荷載都是隨機荷載。toF(t)隨機荷載（非確定性荷載）隨機荷載（非確定性荷載）4. 隨機荷載隨機荷載14-1 概述概述結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15結構振動的自由度結構振動的自由度:結構在彈性變形過程中確定全部質點位置所需的獨立結構在彈性變形過程中確定全部質點位置所需的獨立 參數的數目參數的數目單自由度結構單自由度結構多自由度結構（自

9、由度大于多自由度結構（自由度大于1的結構）的結構）(a)(b)(c)3 ( )y t ( ) ( )2y ty t1 ( )(a)(b)14-2 結構振動的自由度結構振動的自由度結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15當梁本身的質量遠小于電動機的質量時，可以不計梁本身的質量，同時不考當梁本身的質量遠小于電動機的質量時，可以不計梁本身的質量，同時不考慮梁的軸向變形和質點的轉動，則梁上質點的位置只需由撓度慮梁的軸向變形和質點的轉動，則梁上質點的位置只需由撓度y(t)就可確定。就可確定。t( )ymml( )y tm由質點豎向撓度為獨立參數的單自由度結構由質點豎向撓度為獨立參數的單自由度結構確定

10、絕對剛性桿件上三個質點確定絕對剛性桿件上三個質點的位置只需桿件轉角的位置只需桿件轉角 (t)便可，便可，故為單自由度結構。故為單自由度結構。aEI=m3am2m1aaaaEI=14-2 結構振動的自由度結構振動的自由度結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15 雖然只有一個集中質點，但其位置需雖然只有一個集中質點，但其位置需由水平位移由水平位移x和豎向位移和豎向位移y兩個獨立參數兩個獨立參數才能確定，因此振動自由度等于才能確定，因此振動自由度等于2，為，為多自由度體系。多自由度體系。 三層平面剛架橫梁的剛度可看作無窮三層平面剛架橫梁的剛度可看作無窮大，結構振動時橫梁不能豎向移動和大，結構振動

11、時橫梁不能豎向移動和轉動而只能作水平移動，故振動自由轉動而只能作水平移動，故振動自由度等于度等于3，多自由度體系。，多自由度體系。(a)(b)(c)3 ( )y t ( ) ( )2y ty t1 ( )(a)(b)xy14-2 結構振動的自由度結構振動的自由度結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15 分析剛架的振動自由度時，仍可引用受彎直桿任意兩點之間的距離保持不變分析剛架的振動自由度時，仍可引用受彎直桿任意兩點之間的距離保持不變的假定，即略去桿件的軸向變形。因此，可采用施加的假定，即略去桿件的軸向變形。因此，可采用施加剛性鏈桿法剛性鏈桿法來確定結構的來確定結構的振動自由度。振動自由度。

12、剛性鏈桿法：剛性鏈桿法：在結構上施加最少數量的剛性鏈桿以限制剛架上所在結構上施加最少數量的剛性鏈桿以限制剛架上所 有質點的位置，有質點的位置， 則該剛架的自由度數即等于所加鏈桿數目。則該剛架的自由度數即等于所加鏈桿數目。具有兩個集中質量，加入三根鏈桿即能具有兩個集中質量，加入三根鏈桿即能使各質量固定不動其振動自由度為使各質量固定不動其振動自由度為3。 注意：注意：體系振動自由度的數目不完全取決于質點的數目，也與體系是否靜定或體系振動自由度的數目不完全取決于質點的數目，也與體系是否靜定或超靜定無關。體系的自由度數目與計算假定和計算精度有關。如果考慮質點的轉超靜定無關。體系的自由度數目與計算假定和

13、計算精度有關。如果考慮質點的轉動慣性，還應增加控制轉動的約束，才能確定結構的振動自由度數目。動慣性，還應增加控制轉動的約束，才能確定結構的振動自由度數目。14-2 結構振動的自由度結構振動的自由度結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15 實際結構中，除有較大的集中質量外，還有連續分布的質量。對此，實際結構中，除有較大的集中質量外，還有連續分布的質量。對此，需要采用一定的簡化措施，把無限多自由度的問題簡化為單自由度或者需要采用一定的簡化措施，把無限多自由度的問題簡化為單自由度或者有限多自由度的問題進行計算有限多自由度的問題進行計算集中質量法：集中質量法：把體系的連續分布質量集中為有限個集中質

14、量把體系的連續分布質量集中為有限個集中質量( (實際上是質實際上是質點點) )，把原來是無限自由度的問題簡化成為有限自由度的問題。，把原來是無限自由度的問題簡化成為有限自由度的問題。 簡化方法有多種，如集中質量法、廣義坐標法和有限元法等。本章重點討簡化方法有多種，如集中質量法、廣義坐標法和有限元法等。本章重點討論集中質量法。論集中質量法。 水塔的質量大部分集中在塔頂上，可簡化成水塔的質量大部分集中在塔頂上，可簡化成以以x(t)為位移參數的單自由度結構。為位移參數的單自由度結構。xm14-2 結構振動的自由度結構振動的自由度結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15凡屬需要考慮桿件本身質量（稱

15、為質量桿）的結構都是凡屬需要考慮桿件本身質量（稱為質量桿）的結構都是無限自由度體系無限自由度體系。 例：用集中質量法將連續分例：用集中質量法將連續分布質量的簡支梁簡化為有限自布質量的簡支梁簡化為有限自由度體系。由度體系。將梁二等分，集中成三個集將梁二等分，集中成三個集中質量，單自由度體系。中質量，單自由度體系。lmm x xxl/my t ml/yy12l/(a)(b)(c)(d)(e)(f)dd2l/23ml/3ml/6ml/63l/3l/3( )/2ml/4ml/4mllmm x xxl/my t ml/yy12l/(a)(b)(c)(d)(e)(f)ddml/42l/23ml/3ml/6

16、ml/63l/3l/3( )ml/4ml/2 將梁將梁三等分三等分，質量集中成四個，質量集中成四個集中質量的集中質量的兩個自由度兩個自由度體系體系。lmm x xxl/my t ml/yy12l/(a)(b)(c)(d)(e)(f)ddml/42l/2ml/3ml/ml/6l/l/( )ml/4ml/23633314-2 結構振動的自由度結構振動的自由度結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15自由振動：自由振動：結構在振動進程中不受外部干擾力作用的振動形式。結構在振動進程中不受外部干擾力作用的振動形式。產生自由振動的原因：產生自由振動的原因：結構在振動初始時刻受到干擾。結構在振動初始時刻受

17、到干擾。初始干擾的形式初始干擾的形式: （1）結構具有初始位移）結構具有初始位移 （2）結構具有初始速度）結構具有初始速度 （3）上述二者同時存在）上述二者同時存在1. 1. 不考慮阻尼時的自由振動不考慮阻尼時的自由振動 對于各種單自由度體系的振動狀態對于各種單自由度體系的振動狀態, ,都可以用一個簡單的都可以用一個簡單的質點彈簧模型質點彈簧模型來描來描述。述。 靜平衡位置yxmWF t S( )F t I( )dy11kmstm靜平衡位置dyWF t S( )F t I( )dy11kmstm靜平衡位置dy梁在梁在質點重量質點重量W作用下的撓曲線稱為作用下的撓曲線稱為“靜平衡位置靜平衡位置”

18、。WF t S( )F t I( )dy11kmstm靜平衡位置dy14-3 單自由度結構的自由振動單自由度結構的自由振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15取圖示質點彈簧體系中質點的靜力平衡位置為取圖示質點彈簧體系中質點的靜力平衡位置為計算位移的原點，并規定位移計算位移的原點，并規定位移y和質點所受的和質點所受的力都以向下為正。設彈簧發生單位位移時所需力都以向下為正。設彈簧發生單位位移時所需加的力為加的力為k11，稱為彈簧的，稱為彈簧的剛度剛度；單位力作用下；單位力作用下彈簧產生的位移為彈簧產生的位移為11 ，稱為彈簧的稱為彈簧的柔度柔度，k11與與11二者之間滿足：二者之間滿足：1

19、1111kWF t S( )F t I( )dy11kmstm靜平衡位置dy無重懸臂梁、無重簡支梁簡化單彈簧體系時，彈簧的剛度系數無重懸臂梁、無重簡支梁簡化單彈簧體系時，彈簧的剛度系數k11各各等于多少？等于多少？思考：思考：簡支梁：簡支梁：31148lEIk懸臂梁懸臂梁 ：答：答：3113lEIk14-3 單自由度結構的自由振動單自由度結構的自由振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15 為了尋求結構振動時其位移以及各種量值隨時間變化的規律，需要先建立其為了尋求結構振動時其位移以及各種量值隨時間變化的規律，需要先建立其振振動微分方程動微分方程，然后求解。然后求解。振動微分方程的建立方法

20、：振動微分方程的建立方法：（1）剛度法。）剛度法。即列動力平衡方程。設質點即列動力平衡方程。設質點m在振動的任一時刻位移為在振動的任一時刻位移為y，取質點，取質點 m為隔離體，不考慮質點運動時受到的阻力，則作用于質點為隔離體，不考慮質點運動時受到的阻力，則作用于質點m上上 的力有：的力有：(a) 彈簧恢復力彈簧恢復力11k y cF該力有將質點拉回靜力平衡位置的趨勢，負號表示其方該力有將質點拉回靜力平衡位置的趨勢，負號表示其方向恒與位移向恒與位移y的方向相反，即永遠指向靜力平衡位置。的方向相反，即永遠指向靜力平衡位置。(b) 慣性力慣性力my 1F負號表示其方向恒與加速度負號表示其方向恒與加速

21、度 的方向相反的方向相反22d yydt對于彈簧處于靜力平衡位置時的初拉力，恒與質點的重量對于彈簧處于靜力平衡位置時的初拉力，恒與質點的重量mg向平衡而抵消，故向平衡而抵消，故振動過程中這兩個力都毋須考慮。振動過程中這兩個力都毋須考慮。14-3 單自由度結構的自由振動單自由度結構的自由振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15m( )1F t ( )cF t dy11kmstm靜平衡位置dyy質點在慣性力質點在慣性力F1和恢復力和恢復力Fc作用下維持平衡，則有：作用下維持平衡，則有：10cFF110myk y或或110myk y將將F1和和Fc的表達式代入的表達式代入令令211km（14

22、-1）有有20yy（14-2）單自由度結構自由振動微分方程單自由度結構自由振動微分方程14-3 單自由度結構的自由振動單自由度結構的自由振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15（2）柔度法。）柔度法。即列位移方程。當質點即列位移方程。當質點m振動時，把慣性力看作靜力荷載作用在體振動時，把慣性力看作靜力荷載作用在體 系的質量上，則在其作用下結構在質點處的位移系的質量上，則在其作用下結構在質點處的位移y應當為：應當為：1 1111yFmy 即即110myk y同剛度法所得方程同剛度法所得方程此二階線性常系數齊次微分方程的通解為：此二階線性常系數齊次微分方程的通解為： 12cossiny t

23、AtAt(a)(a) 12sincosy tAtAt (b)(b)由初始條件由初始條件t=0t=0時，有時，有0yy0yy02vA10Ay可得到可得到有有00cossinyyytt(14-3)(14-3)14-3 單自由度結構的自由振動單自由度結構的自由振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15可見可見: :單自由度體系無阻尼的自由振動是簡諧振動。單自由度體系無阻尼的自由振動是簡諧振動。 令令 , 0cosva0sinya有有 sin()yat（14-4） 2200100tanvayyv（14-6） 其中其中cos()yat（14-5） ()( )y tTy t位移滿足周期運動的下列條件

24、：位移滿足周期運動的下列條件： a表示質量表示質量m 的最大動位移，稱的最大動位移，稱為振幅。其由為振幅。其由常數常數 、初始條件、初始條件 y0 和和 v0 決定的決定的。是初始位置的相位是初始位置的相位角，稱為初相角。它也取決于常角，稱為初相角。它也取決于常數數 、初始條件、初始條件 y0 和和 v0 。 T 稱為結構的自振周期，其常用稱為結構的自振周期，其常用的單位為秒的單位為秒(s)。自振周期的倒數代自振周期的倒數代表每秒鐘內的振動次數，稱為表每秒鐘內的振動次數，稱為工程工程頻率，頻率，記作記作f，其單位為其單位為1秒秒(s-1)，或稱為或稱為赫茲赫茲(Hz)。2T( (14-7) )

25、12fT14-3 單自由度結構的自由振動單自由度結構的自由振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15表示表示2秒內的振動次數，是結構動力性能的一個很重要的標志秒內的振動次數，是結構動力性能的一個很重要的標志。 的單位為的單位為弧度秒弧度秒(rads)，亦常簡寫為亦常簡寫為1s (s-1)。從圓周運動的角度來看，。從圓周運動的角度來看，稱它為稱它為圓頻率圓頻率，一般稱一般稱為為自振頻率自振頻率。22fT 根據式根據式(14-1)，可給出結構自振頻率，可給出結構自振頻率的計算公式如下：的計算公式如下：111111st1kggmmWst1122mTkg相應地，結構的自振周期相應地，結構的自振周

26、期T T的計算公式為：的計算公式為：式中式中g表示重力加速度，表示重力加速度，st 表示由于重量表示由于重量mg所產生的靜力位移。所產生的靜力位移。 結構的自振頻率和周期只取決于它自身的質量和剛度，與初始結構的自振頻率和周期只取決于它自身的質量和剛度，與初始條件及外界的干擾因素無關，它反映著結構固有的動力特性。條件及外界的干擾因素無關，它反映著結構固有的動力特性。（14-8） 14-3 單自由度結構的自由振動單自由度結構的自由振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15解：三種支承情況的梁均為單自由度體系。解：三種支承情況的梁均為單自由度體系。例例14-1 圖示為三種不同支承情況的單跨梁，

27、圖示為三種不同支承情況的單跨梁，EI常數，在梁中點有一集中質常數，在梁中點有一集中質 量量m，當不考慮梁的質量時，試比較三者的自振頻率。，當不考慮梁的質量時，試比較三者的自振頻率。1348 E Im l31st48mglEI237867EIml32st7768mglEI33192EIml33st192mglEI據此可得據此可得 123:1 :1.51 : 2隨著結構剛度的加大，其自振頻率也相應地增高。隨著結構剛度的加大，其自振頻率也相應地增高。ll 2 2ll 2 2mm 2ll 2m111111st1kggmmW14-3 單自由度結構的自由振動單自由度結構的自由振動結構力學中南大學中南大學返

28、 回退 出8:152. 2. 考慮阻尼時的自由振動考慮阻尼時的自由振動物體的自由振動由于各種阻力的作用將逐漸衰減下去而不能無限延續。物體的自由振動由于各種阻力的作用將逐漸衰減下去而不能無限延續。 阻力可分為兩種：一種是外部介質的阻力；另一種來源于物體內部的阻力可分為兩種：一種是外部介質的阻力；另一種來源于物體內部的作用。這些統稱為阻尼力。通常引用福格第假定，即近似認為振動中物體作用。這些統稱為阻尼力。通常引用福格第假定，即近似認為振動中物體所受阻尼力與其振動速度成正比，稱為粘滯阻尼力，即：所受阻尼力與其振動速度成正比，稱為粘滯阻尼力，即：RFy 其中：其中：為阻尼系數，負號表示阻尼力的方向恒與

29、速度方向相反為阻尼系數，負號表示阻尼力的方向恒與速度方向相反考慮阻尼時，質點考慮阻尼時，質點m的動力平衡方程為的動力平衡方程為F t R( )m( )1F t ( )cF t dy11kmstm靜平衡位置dyy10RcFFF即：即：110myyk y令令211km2km有有220ykyy ( (14-9) ) 14-3 單自由度結構的自由振動單自由度結構的自由振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15 這是一個常系數齊次線性微分方程，設其解的形式為這是一個常系數齊次線性微分方程，設其解的形式為( )r ty tCe2220rkr 解得解得 221,2rkk 其特征方程為：其特征方程為：根

30、據阻尼大小不同，現分以下根據阻尼大小不同，現分以下3種情況討論：種情況討論：(1) k，即大阻尼情況即大阻尼情況，此時，此時r1和和r2為兩個負實數，為兩個負實數，式式 (14-9)通通 解為：解為： y(t)不是一個周期函數不是一個周期函數, , 即在大阻尼情況下不會發生振動。即在大阻尼情況下不會發生振動。（14-13） 222212( )(coshsinh)kty teCktCkt12( )()kty teCC t（14-14） (3) k=，即臨界阻尼情況即臨界阻尼情況 此時此時r1,2=-k ，方程，方程(14-9)的解為的解為00yy= vtanot00y-t 曲線曲線 以上兩種情況

31、均不屬振動，位移以上兩種情況均不屬振動，位移時程曲線（時程曲線（y-t 曲線曲線）表示體系從初始表示體系從初始位移出發，逐漸返回到靜平衡位置而位移出發，逐漸返回到靜平衡位置而無振動發生。無振動發生。 y(t)不是周期函數，亦即在臨界阻尼情況下不會發生振動。此時，臨界阻不是周期函數，亦即在臨界阻尼情況下不會發生振動。此時，臨界阻尼系數尼系數2crm14-3 單自由度結構的自由振動單自由度結構的自由振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15強迫振動：強迫振動：結構在動力荷載即外來干擾力作用下產生的振動。結構在動力荷載即外來干擾力作用下產生的振動。( )F t F t R( )m( )1F t

32、 ( )cF t dy11kmstm靜平衡位置dyym( )1F t ( )cF t dy11kmstm靜平衡位置dyy設質點設質點m受干擾力受干擾力F（t）作用，則質點）作用，則質點m的動力平衡方程為：的動力平衡方程為：1( )0RcFFFF t即：即：11( )myyk yF t或或212( )yyyF tm ( (14-18) ) 14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15方程的解包括兩部分：對應齊次方程的通解和對應干擾力方程的解包括兩部分：對應齊次方程的通解和對應干擾力F(t)的特解的特解212(

33、)yyyF tm ( (14-18) ) 通解通解012(cossin)tyeBtBt 特解特解 隨干擾力的不同而異。本節討論干擾力為簡諧周期荷載時的情況，如隨干擾力的不同而異。本節討論干擾力為簡諧周期荷載時的情況，如具有轉動部件的機器勻速轉動時，由于不平衡質量產生的離心力的豎直或水平分具有轉動部件的機器勻速轉動時，由于不平衡質量產生的離心力的豎直或水平分力等，表達為：力等，表達為：y( )sinF tFt(14-19) 其中其中 為干擾力的頻率，為干擾力的頻率，F為干擾力最大值。此時式為干擾力最大值。此時式(14-18)寫為：寫為：22sinFyyytm ( (14-20) ) 設方程的特解

34、為：設方程的特解為：12sincosyCtCt（b）（a）14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15式式(b) 代入式代入式(14 -20)，得到，得到2212222222222222()()42()4FCmFCm 式式(a)+式式(b) ，并引入初始條件，得到，并引入初始條件，得到000222222222222222222cossin2() 2cossin()4 ()sin2cos()4ttyyyeyttFettmFttm (14-21)由初始條件決定的自由初始條件決定的自由振動由振動伴生自由振動伴生自由

35、振動按干擾力頻率按干擾力頻率振動的純強迫振動或穩態強迫振動振動的純強迫振動或穩態強迫振動由初始條件決定的自由振動階段和伴生自由振動階段會隨時間很快由初始條件決定的自由振動階段和伴生自由振動階段會隨時間很快衰減掉，故稱為過渡階段；最后只剩下按干擾力頻率振動的純強迫衰減掉，故稱為過渡階段；最后只剩下按干擾力頻率振動的純強迫振動，故稱為平穩階段。實際問題中，一般只討論純強迫振動。振動，故稱為平穩階段。實際問題中，一般只討論純強迫振動。14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:151. 1. 不考慮阻尼的純強迫振動不考

36、慮阻尼的純強迫振動22 sin()Fytm 0(14-22)因此，最大動力位移（振幅）為因此，最大動力位移（振幅）為2222211221 ()11 =1stFFAmmFy(14-23)11 styF其中其中:代表將干擾力最大值代表將干擾力最大值F作為靜載作用于結構上作為靜載作用于結構上時引起的靜力位移時引起的靜力位移221 1stAy位移動力系數位移動力系數，代表最大動力位移與靜力位移之比，代表最大動力位移與靜力位移之比當當時，時，值為負，表示動力位移與動力荷載的指向值為負，表示動力位移與動力荷載的指向相反相反, 這種現象僅在不計阻尼時出現。這種現象僅在不計阻尼時出現。14-4 單自由度結構在

37、簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15o31240.511.523 動力反應譜（動力放大系數動力反應譜（動力放大系數隨頻比隨頻比/變化的關系曲線）變化的關系曲線）動力放大系數動力放大系數的大小反映了結構動力反的大小反映了結構動力反應的強弱。單自由度結構，當干擾力與應的強弱。單自由度結構，當干擾力與慣性力的作用點重合時，位移動力系數慣性力的作用點重合時，位移動力系數與內力動力系數是完全一樣的。與內力動力系數是完全一樣的。041. 1242525111當當 ，51 通常通常, ,當動力荷載當動力荷載(即干擾力即干擾力)的的周期周期

38、大于結構自振周期的大于結構自振周期的五、六倍五、六倍以上以上時，可將其時，可將其視為靜力荷載視為靜力荷載。 (1) 當當時，即時，即/0，這時，這時1。這種情況相當于靜力作用。這種情況相當于靜力作用。14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15321.510.54321o 動力反應譜動力反應譜 (2) 當當時，即時，即/1，這時，這時。即振幅趨于無限大。即振幅趨于無限大,這種現象稱為這種現象稱為共振。共振。2) 實際上由于阻尼的存在共振時振幅不會無限增大。實際上由于阻尼的存在共振時振幅不會無限增大。 t0y1

39、) 共振現象的形成有一個過程，振幅是由小逐漸變大的。共振現象的形成有一個過程，振幅是由小逐漸變大的。 注意注意: :3) 應避開應避開0.75/ 時，即時，即/1，這時，這時值為負值為負值值, ,并且趨近于零。并且趨近于零。 這表明高頻簡諧荷載作用下，振幅趨近于零，體系處于靜止這表明高頻簡諧荷載作用下，振幅趨近于零，體系處于靜止 狀態。狀態。 工程設計中，要求的是振幅絕對值工程設計中，要求的是振幅絕對值, ,動力反應譜中動力反應譜中/1 1 部部分的分的畫在橫坐標的上方。畫在橫坐標的上方。注意注意: :14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力

40、學中南大學中南大學返 回退 出8:15在單自由度體系上，當干擾力作用在質量上、擾力作用線與質體的振在單自由度體系上，當干擾力作用在質量上、擾力作用線與質體的振動位移方向重合時，其位移動力系數與內力動力系數是完全相同的，動位移方向重合時，其位移動力系數與內力動力系數是完全相同的，結構的最大動內力可以采用動力系數法求得。結構的最大動內力可以采用動力系數法求得。如果干擾力不作用在質量上，體系的位移和內力沒有一個統一的動如果干擾力不作用在質量上，體系的位移和內力沒有一個統一的動力系數。這種情況下的結構動內力、動位移的計算，可用力系數。這種情況下的結構動內力、動位移的計算，可用建立動力建立動力微分方程的

41、微分方程的方法計算。方法計算。見書見書P89P89圖圖14-1514-15 tFsinm14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15解：在發電機重量作用下，梁中解：在發電機重量作用下，梁中 點的最大靜力位移為：點的最大靜力位移為：3st113925434835 10448 210 10/8.8 102.53 10 mGlGEINmN mm33st9.81/62.3rad/s2.53 10gm sm故自振頻率為故自振頻率為例例14-2 簡支梁中點裝有一臺電動機，電動機重量簡支梁中點裝有一臺電動機，電動機重量G=

42、35kN。已知梁的慣性矩。已知梁的慣性矩 I=8.810-5 m4， E=210GPa。發電機轉動時離心力的垂直分力為。發電機轉動時離心力的垂直分力為F=sint， 且且F=10KN。不計阻尼，求當發電機每分鐘轉數為。不計阻尼，求當發電機每分鐘轉數為n=500r/min時，時，梁的最大彎矩和撓度。梁的最大彎矩和撓度。rml/Ft2l/22250052.3rad/s6060n干擾力頻率干擾力頻率:22113.452.31162.3動力系數動力系數:梁中點的最大彎矩為梁中點的最大彎矩為max69GFstMMMKN m梁中點的最大撓度為梁中點的最大撓度為max4.98GFstyyymm14-4 單自

43、由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15stxmy靜平衡位置 質體的動位移質體的動位移 y(t) 是以靜力平衡位置為零是以靜力平衡位置為零點來計算的，因此點來計算的，因此 y(t) 中不包括質體的重力影中不包括質體的重力影響，但在確定質體的最大豎向位移時，應加上響，但在確定質體的最大豎向位移時，應加上這部分（這部分（st=11G）的影響。）的影響。注意：注意：14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15運用運用圖乘法圖乘法可求得可求得

44、EIl48311EIl322EIl1622112 (a) (1) 設慣性力和動力荷載分別為單位力和設慣性力和動力荷載分別為單位力和單位力偶作用在體系上，并繪出相應的彎矩圖單位力偶作用在體系上，并繪出相應的彎矩圖. 例例14-3 圖示簡支梁跨中有一集中質量圖示簡支梁跨中有一集中質量m，支座，支座A 處受動力矩處受動力矩Msint 的作用，的作用， 不計梁的質量，試求質點的動位移和支座不計梁的質量，試求質點的動位移和支座A 處的動轉角的幅值。處的動轉角的幅值。 解：該體系不能直接用放大系數求動位移，可解：該體系不能直接用放大系數求動位移，可由建立體系的振動方程來求解。由建立體系的振動方程來求解。m

45、l/MEIAB1411MMABABl/2l/212ml/MEIAB1411MMABABl/2l/21214-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15tMymtMtFtysin)( sin)()(121112I11 lMMF311123248mlEI式中式中 代代ij入上式，經整理后得入上式，經整理后得tmFyysin2 (b)解式解式(b)得穩態解為得穩態解為tEIMltmFtysin16sin11)(2222(c)(2) 根據根據疊加原理疊加原理列出動位移列出動位移 質點的動位移是慣性力質點的動位移是慣性力F

46、I(t) 和動力荷載共同作用下產生的，按疊和動力荷載共同作用下產生的，按疊加原理可表示為加原理可表示為14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15這說明質體動位移尚可應用放大系數計算這說明質體動位移尚可應用放大系數計算。 質點的動位移幅值為質點的動位移幅值為 ，其中，其中 為動荷載幅為動荷載幅值值M所引起的質點靜位移所引起的質點靜位移yst，動力系數。動力系數。EIMl162EIMl162 支座支座A處的動轉角也是由慣性力處的動轉角也是由慣性力FI(t)和動力荷載共同作用下產生和動力荷載共同作用下產生的，按疊

47、加原理可表示為的，按疊加原理可表示為tMtymtMtFtAsin)(sin)()(222122I21 由穩態解式由穩態解式(c)可知可知14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15tEIMltEIMltEIMLtAsin3sin)(1)(1671(3sin)11169(3)(222222對式對式(c)求導兩次后代入上式，可得求導兩次后代入上式，可得tMFtAsin)()(222221將式將式(a)和和F *=3M/l代入上式代入上式, 得得tEIMltmFtysin16sin11)(2222(c)14-4 單

48、自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15 可見可見, 質點位移的動力系數質點位移的動力系數和支座處動轉角的動力系數和支座處動轉角的動力系數是不同的。是不同的。tEIMltEIMltEIMLtAsin3sin)(1)(1671(3sin)11169(3)(222222)(1)(1671(22 支座支座A處的動轉角幅值為處的動轉角幅值為 , 為動荷載幅值為動荷載幅值M所引起的靜轉角，所引起的靜轉角，為該動力系數。為該動力系數。EIMl3EIMl3其中其中2211而而 動荷載不作用在質量上動荷載不作用在質量上時，體系不能用

49、一個統時，體系不能用一個統一的動力系數來表示。一的動力系數來表示。14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:1522222222()sin2cos()4Fyttm 由式由式(14-21)的第三項，有：的第三項，有：命命222222122142FAmtg （14-27）（14-28）令令 和和 ，則振幅，則振幅A可寫為可寫為22222114stFAym （14-29） st2Fym2. 有阻尼的強迫振動有阻尼的強迫振動14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中

50、南大學中南大學返 回退 出8:15 動力系數動力系數不僅與頻不僅與頻比比有關，而且還與阻尼有關，而且還與阻尼比比 有關。有關。 0.51.01.52.03.04.01.02.0=0=0.2=0.5=10動力系數動力系數與頻比與頻比和阻尼比和阻尼比的關系圖的關系圖222222114 在在0.75時，則時，則很小，表明質量很小，表明質量m接近于不動或只作極微小的振動接近于不動或只作極微小的振動。 (1) 阻尼對簡諧荷載的動力系數阻尼對簡諧荷載的動力系數影響較大影響較大簡諧荷載作用下有阻尼穩態振動的主要特點：簡諧荷載作用下有阻尼穩態振動的主要特點：14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自

51、由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:1512(2) 在在=1的共振情況下的共振情況下, 動力系數為動力系數為 2222114 0.51.01.52.03.04.01.02.0=0=0.2=0.5=10動力系數動力系數與頻比與頻比和阻尼比和阻尼比的關系圖的關系圖 在考慮阻尼的影響時，在考慮阻尼的影響時，共振時動力系數不是無窮共振時動力系數不是無窮大大, 而是一個有限值。在研而是一個有限值。在研究共振時的動力反應時，究共振時的動力反應時，阻尼的影響是不容忽略的。阻尼的影響是不容忽略的。 14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用

52、下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15 用求極值的方法確定用求極值的方法確定的最大值發生在的最大值發生在 處處, 因因的值通常都很小，近似地將的值通常都很小，近似地將=1時的值作為最大值。時的值作為最大值。221(3) 最大值并不發生在最大值并不發生在=1處。處。2222114 0.51.01.52.03.04.01.02.0=0=0.2=0.5=10動力系數動力系數與頻比與頻比和阻尼比和阻尼比的關系圖的關系圖14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15當當1時，時，01時，時，/ /2；當

53、當=1時，時， =/2。 (4) 阻尼體系的位移阻尼體系的位移y(t)=Asin(t-)和干擾力和干擾力F(t)=sint 不同步，不同步， 其相位角為其相位角為。1122222tantan1 只要有阻尼存在只要有阻尼存在, 位移總是滯后于振動荷載。位移總是滯后于振動荷載。14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15共振時共振時, =/2, 位移方程式為位移方程式為 y(t)= ystcos st tytysinst tFtymtymtyctFsinsinsin212st2stD= 1/(2)，=，c=cc=

54、2m阻尼力為阻尼力為注意到共振時注意到共振時可見共振時干擾力與阻尼力互相平衡。可見共振時干擾力與阻尼力互相平衡。共振時受力特點討論共振時受力特點討論:14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15 為了減小動力放大系數為了減小動力放大系數， 當當 =/ 1時稱時稱為為(共振后區共振后區) ，這時，應設法減小結構的自振頻，這時，應設法減小結構的自振頻率率。這種方法稱為。這種方法稱為“柔性方案柔性方案”。0.51.01.52.03.04.01.02.0=0=0.2=0.5=10動力系數動力系數與頻比與頻比和阻尼比和

55、阻尼比的關系圖的關系圖討論：討論：14-4 單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動單自由度結構在簡諧荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15采用沖量方法首先討論瞬時沖量的動力反應，在此基礎上討采用沖量方法首先討論瞬時沖量的動力反應，在此基礎上討論一般動力荷載下的動力反應。論一般動力荷載下的動力反應。1. 強迫力為一般動力荷載強迫力為一般動力荷載-無阻尼無阻尼(1) 瞬時沖量的動力反應瞬時沖量的動力反應F tF(t)S沖量Ft o=t假定沖擊荷載作用之前體系的初位移及初速度均為零。假定沖擊荷載作用之前體系的初位移及初速度均為零。由于荷載作用時間極短，可以認由于荷載作用時間

56、極短，可以認為在沖擊荷載作用為在沖擊荷載作用完畢的瞬間，完畢的瞬間，體系的位移仍為零。但沖擊荷載體系的位移仍為零。但沖擊荷載有沖量，可以使處于靜止狀態的有沖量，可以使處于靜止狀態的質點獲得速度而引起自由振動。質點獲得速度而引起自由振動。 思考：思考：體系在沖擊荷載作用下獲得的是位移體系在沖擊荷載作用下獲得的是位移還是速度？還是速度？ 14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15 根據動量定律，質點在瞬時沖量根據動量定律，質點在瞬時沖量F t 作用下作用下的動量變化為的動量變化為tFmvmv0mtFv由于由于v

57、0=0, 所以有所以有 原來初位移、初速度為零的體系原來初位移、初速度為零的體系, ,在沖擊荷載作用在沖擊荷載作用后的瞬間后的瞬間, ,變成了初位移為零變成了初位移為零, ,初速度為初速度為 的自由振的自由振動問題。動問題。mtFtvtytysincos)(00由由tmtFysin(14-30)得得F tF(t)S沖量Ft o=t14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15 若沖擊荷載不是在若沖擊荷載不是在t0，而，而是在是在t時作用，則上式中的時作用，則上式中的t 應改為應改為(t - )。)(t)(sin

58、tmtFy(14-31) t dS=F ttFodF(t) 由式由式(14-30)可得在可得在t 時作用瞬時沖量時作用瞬時沖量S引起的動力反引起的動力反應。應。tmtFysin(14-30)14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15oF (t)=StF (t)F(t)tddd(2)一般動力荷載一般動力荷載F(t)的動力反應。的動力反應。 把整個加載過程看成是由一把整個加載過程看成是由一系列瞬時沖量所組成的。在時刻系列瞬時沖量所組成的。在時刻t 作用的荷載為作用的荷載為F(t) ，此荷載，此荷載在微分時段在微

59、分時段 d內產生的沖量為內產生的沖量為dS=F(t)d 。根據式。根據式(14-31)，此，此微分沖量引起的動力反應為：微分沖量引起的動力反應為：)(sind)(dtmtFy(g)對加載過程中產生的微分反應進行疊加，得出總反應如下：對加載過程中產生的微分反應進行疊加，得出總反應如下：稱為稱為杜哈梅杜哈梅(Duhamel)積分積分。d)(sin)(1)(0ttFmtyt (14-32)14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:15 d)(sin)(1sincos)(000ttFmtvtytyt(14-33) 式中

60、第一、二項代表自由振動部分，第三項代式中第一、二項代表自由振動部分，第三項代表強迫振動部分。表強迫振動部分。d)(sin)(1)(0ttFmtyt(14-32)如果初始位移如果初始位移y0和初始速度和初始速度v0 不為零，則總位移應為：不為零，則總位移應為：14-5 單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動單自由度結構在任意荷載作用下的強迫振動結構力學中南大學中南大學返 回退 出8:152.幾種動荷載的動力反應幾種動荷載的動力反應 (1) 突加長期荷載突加長期荷載 o F(t)t0F 突加長期荷載就是指突然施突加長期荷載就是指突然施加于結構并繼續作用在結構上的加于結構并繼續作用在結構上的荷載，它