1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)主講教師：李真主講教師：李真 博士博士廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生 在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可用數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可用數(shù)量來(lái)表示，就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念。量來(lái)表示，就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念。2.1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 一方面，有些試驗(yàn)，其結(jié)果與數(shù)有關(guān)一方面，有些試驗(yàn)，其結(jié)果與數(shù)有關(guān)( (試試驗(yàn)結(jié)果就是一個(gè)數(shù)驗(yàn)結(jié)果就是一個(gè)數(shù)) )； 另一方面，有

2、些試驗(yàn)，另一方面，有些試驗(yàn)，其結(jié)果看起來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，其結(jié)果看起來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)， 但可引進(jìn)一個(gè)變但可引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示試驗(yàn)的各種結(jié)果。量來(lái)表示試驗(yàn)的各種結(jié)果。 即即, 試驗(yàn)結(jié)果可以試驗(yàn)結(jié)果可以數(shù)值化數(shù)值化。 試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值有關(guān)的例。試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值有關(guān)的例。 例例1 擲一顆骰子，觀察其向上的點(diǎn)數(shù)是擲一顆骰子，觀察其向上的點(diǎn)數(shù)是幾。幾。 記記 i=向上的點(diǎn)數(shù)是向上的點(diǎn)數(shù)是 i ，i=1,2,6。 則樣本空間則樣本空間 = 1, 2, 3, 4, 5, 6， 引入引入 X(i ) = i，i=1,2,6，可，可中的每中的每個(gè)元素個(gè)元素 i 都都與一個(gè)隨機(jī)取值的實(shí)數(shù)與一個(gè)隨機(jī)取值的實(shí)數(shù)X(i ) = i

3、對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，i=1,2,6 。 記記 i=下火車下火車 i 人人，i=0,1,2,。 則樣本空間則樣本空間 = 0,1, 2, ， 引入引入 X(i ) = i，i=0,1,2,，可使，可使中的中的每個(gè)元素每個(gè)元素 i 都都與一個(gè)隨機(jī)的實(shí)數(shù)與一個(gè)隨機(jī)的實(shí)數(shù) X(i )=i 對(duì)對(duì)應(yīng)，應(yīng)，i=0,1,2, 。 例例2 未來(lái)某天北京站下未來(lái)某天北京站下火車的人數(shù)。火車的人數(shù)。 例例3 測(cè)量某機(jī)床加工的零件長(zhǎng)度與零件測(cè)量某機(jī)床加工的零件長(zhǎng)度與零件規(guī)定長(zhǎng)度的偏差規(guī)定長(zhǎng)度的偏差 ( (單位單位: : 毫米毫米) )。 由于通常可以知道其偏差的范圍，故可以由于通常可以知道其偏差的范圍，故可以假定偏差的絕對(duì)值

4、小于某一固定的正數(shù)假定偏差的絕對(duì)值小于某一固定的正數(shù) 。若。若是這樣，則樣本空間是這樣，則樣本空間 = ，| |。 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè)，可取一個(gè)隨機(jī)的實(shí)數(shù)值，可取一個(gè)隨機(jī)的實(shí)數(shù)值X()=與之對(duì)應(yīng)。這樣就建立了樣本空間與之對(duì)應(yīng)。這樣就建立了樣本空間與區(qū)間與區(qū)間- - , 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 試驗(yàn)結(jié)果看起來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但可引進(jìn)一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果看起來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但可引進(jìn)一個(gè) 變量來(lái)表示試驗(yàn)的各種結(jié)果的例。變量來(lái)表示試驗(yàn)的各種結(jié)果的例。例例4 在投籃試驗(yàn)中，用在投籃試驗(yàn)中，用0表示投籃未中，表示投籃未中，1表示罰籃命中，表示罰籃命中，3表示三分線外遠(yuǎn)投命中，表示三分線外遠(yuǎn)投命中，2表示三分線內(nèi)投籃

5、命中，則表示三分線內(nèi)投籃命中，則隨機(jī)試驗(yàn)的各隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果均可數(shù)值化。種結(jié)果均可數(shù)值化。例例5 在擲硬幣試驗(yàn)中，用在擲硬幣試驗(yàn)中，用1表示帶國(guó)徽或人表示帶國(guó)徽或人頭的一面朝上，頭的一面朝上，00表示另一面朝上，表示另一面朝上，隨機(jī)試隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果也均可數(shù)值化。驗(yàn)的各種結(jié)果也均可數(shù)值化。 。這種隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)這種隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可理解為學(xué)上可理解為:.X樣本空間中的樣本點(diǎn)映為一個(gè)數(shù)。樣本空間中的樣本點(diǎn)映為一個(gè)數(shù)。)(X定義一個(gè)映射關(guān)系定義一個(gè)映射關(guān)系X()，將，將 X() 隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值。故隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值。故, 在試驗(yàn)

6、之前只知道其可能取值的范圍，而不在試驗(yàn)之前只知道其可能取值的范圍，而不能預(yù)知其取哪個(gè)具體的值。能預(yù)知其取哪個(gè)具體的值。 由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，所以由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，所以 “ X() 取每個(gè)值或某個(gè)確定范圍內(nèi)的值取每個(gè)值或某個(gè)確定范圍內(nèi)的值” 也有一定的概率。也有一定的概率。 稱這種定義在樣本空間稱這種定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)上的實(shí)值函數(shù)為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為 r.v. ( random variable ) 。注意：注意： 定義定義2.1.1 設(shè)設(shè) E 是隨機(jī)試驗(yàn)，是隨機(jī)試驗(yàn)，是其樣本是其樣本空間。如果對(duì)每個(gè)空間。如果對(duì)每個(gè), 總有一個(gè)實(shí)數(shù)總有一個(gè)實(shí)

7、數(shù) X()與與之對(duì)應(yīng)，則稱之對(duì)應(yīng)，則稱上的實(shí)值函數(shù)上的實(shí)值函數(shù) X() 為為 E 的一個(gè)的一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量。 在不引起混淆的前提下，可將隨機(jī)變量在不引起混淆的前提下，可將隨機(jī)變量X()簡(jiǎn)寫成簡(jiǎn)寫成 X。 隨機(jī)變量通常用英文大寫字母隨機(jī)變量通常用英文大寫字母X,Y, Z 或或 希臘字母希臘字母,等表示，等表示， 其取值其取值一般用小寫母一般用小寫母 x, y, z 等表示。等表示。 有了隨機(jī)變量，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件有了隨機(jī)變量，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件都可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái)。都可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái)。引入隨機(jī)變量的意義引入隨機(jī)變量的意義 如：如：用用 X 表示單位時(shí)間內(nèi)某

8、信號(hào)臺(tái)收到表示單位時(shí)間內(nèi)某信號(hào)臺(tái)收到呼叫的次數(shù)，則呼叫的次數(shù)，則 X 是一個(gè)隨機(jī)變量。是一個(gè)隨機(jī)變量。 事件事件 收到呼叫收到呼叫 X 1；沒(méi)有收到呼叫沒(méi)有收到呼叫 X=0。課堂練習(xí)（另）課堂練習(xí)（另）上一章第五節(jié)課堂練習(xí)（另）上一章第五節(jié)課堂練習(xí)（另）隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類 (通常分兩大類通常分兩大類)： 如如“取到次品的個(gè)數(shù)取到次品的個(gè)數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)收到的呼叫數(shù)”等。等。隨隨機(jī)機(jī)變變量量離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量所有可能的取值所有可能的取值可以逐個(gè)列舉。可以逐個(gè)列舉。如：如：“電視機(jī)的使用壽命電視機(jī)的使用壽命”，實(shí)際中常遇到，實(shí)際中常遇到的的“測(cè)量誤差測(cè)量誤差”等。等。全部可能取值不僅有無(wú)全部可能取值不僅有無(wú)窮多個(gè)，而且不能一一窮多個(gè)，而且不能一一列舉，充滿某些區(qū)間。列舉，充滿某些區(qū)間。（見（見2.2） 這兩種類型的隨機(jī)變量因都是隨機(jī)變量，這兩種類型的隨機(jī)變量因都是隨機(jī)變量，自然會(huì)有許多相同或相似之處；但因其取值方自然會(huì)有許多相同或相似之處；但因其取值方式不同，故又有其