1、2.3數學歸納法數學歸納法(1)問題問題 1: :如何證明粉筆盒中的粉筆如何證明粉筆盒中的粉筆 它們都是白色的？它們都是白色的？ 問題問題 2: : 11,11,2,.1nnnnaaaana 對對于于數數列列已已知知，猜猜想想其其通通項項公公式式111a 212a 1nan 313a 有限步驟有限步驟考察對象考察對象無限無限多多米米諾諾骨骨牌牌課課件件演演示示 多米諾骨牌游戲的原理多米諾骨牌游戲的原理 這個猜想的證明方法這個猜想的證明方法1nan（1）第一塊骨牌倒下。）第一塊骨牌倒下。（2）若第）若第k塊倒下時，塊倒下時，則相鄰的第則相鄰的第k+1塊也倒下。塊也倒下。根據（根據（1）和）和 （

2、2），），可知不論有多少塊骨牌，可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。（1）當）當n=1時猜想成立。時猜想成立。（2）若當）若當n=k時猜想成立，時猜想成立，即即 ，則當，則當n=k+1時猜想時猜想也成立，即也成立，即 。1kak111kak根據（根據（1）和（）和（2），可），可知對任意的正整數知對任意的正整數n，猜，猜想想 都成立。都成立。nn1n+1naa,a =1,a=(n),1+a*N已知數列已知數列1(1)當n=1時a =1成立111111kkakakkk+1則n=k+1時,a即n=k+1時猜想也成立根據根據(1)(2)可知對任意正整數可知對任意正整數n猜想都成立猜想都

3、成立.*Nnn1n+1nna對于數列 a,已知a =1,a=(n),1+a1猜想其通項公式為a =,怎樣證明?n證明證明：(2)假設n=k時猜想成立即1ka k例例:證明凸證明凸n邊形內角和為邊形內角和為 中，中， 初始值應該從幾取？初始值應該從幾取？初始值應取初始值應取3(2) 180n例如：用數學歸納法證明 1+3+5+ +（2n-1)= ()n N 21n 證明：假設證明：假設n=k時等式成立，即時等式成立，即21 3 5(23) (21)1kkk 那么那么1 3 5(21) (21)kk 221 (21)(1)1kkk 即即n=k+1時等式成立。所以等式對時等式成立。所以等式對一切正整

4、數一切正整數n均成立。均成立。例如：用數學歸納法證明 1+3+5+ +（2n-1)= ()n N 21n 證明證明：假設：假設n=k時等式成立，即時等式成立，即21 3 5(23) (21)1kkk 那么那么1 3 5(21) (21)kk 221 (21)(1)1kkk 即即n=k+1時等式成立。所以等式對時等式成立。所以等式對一切正整數一切正整數n均成立。均成立。證明：證明：假設假設n=k時等式成立，即時等式成立，即n=1時，左邊時，左邊=1，右邊，右邊=0，左邊，左邊 =右邊右邊21 3 5(23) (21)kkk 當當n=k+1n=k+1時時, 代入得代入得證明證明:(1) 當當1n

5、左邊左邊 = 1，右邊，右邊 = 12= 1 ，等式成立，等式成立（2）假設當）假設當n=kn=k時成立，即：時成立，即：21 3 5(21) (21) (1) ,kkk 所以等式也成立。所以等式也成立。綜合（綜合（1）（）（2）等式對一切正整數）等式對一切正整數n均成立均成立v例如：用數學歸納法證明v 1+3+5+ +（2n-1)= 2n21 3 5(23) (21)kkk 當當n=k+1n=k+1時時, 代入得代入得證明證明:(1) 當當1n 左邊左邊 = 1，右邊，右邊 = 12= 1 ，等式成立，等式成立（2）假設當）假設當n=kn=k時成立，即：時成立，即：21 3 5(21) (2

6、1) (1) ,kkk 所以等式也成立。所以等式也成立。綜合（綜合（1）（）（2）等式對一切正整數）等式對一切正整數n均成立均成立v例如：用數學歸納法證明v 1+3+5+ +（2n-1)= 2*()n nN 1+3+5+1+3+5+ +（2k-1)+(2k+1)2k-1)+(2k+1)=k=k2 2+(2k+1)+(2k+1)=(k+1)=(k+1)2 2問題情境一問題情境一練習：某個命題當練習：某個命題當n=k (kN )N )時成立，時成立，可證得當可證得當n=k+1時也成立。現在已知當時也成立。現在已知當n=5時該命題不成立，那么可推得（時該命題不成立，那么可推得（ ） A. n=6時該

7、命題不成立時該命題不成立 B. n=6時該命題成立時該命題成立 C. n=4時該命題不成立時該命題不成立 D. n=4時該命題成立時該命題成立C練習鞏固練習鞏固 221nn* *- -+ + + += =a a1 1, , n n N N 1 11 1- -a a1 1+ +a aa a a aa a.1.用數學歸納法證明：用數學歸納法證明： 在驗證在驗證 n=1n=1成立時，左邊計算所得的成立時，左邊計算所得的結果是（結果是（ ） A A1 1 B. B. C C D.D. 1 1+ +a a2 21 1+ +a a+ +a a2 23 31 1+ +a a+ +a a + +a aC例例1

8、.用數學歸納法證明用數學歸納法證明22221)211236n nnnn N （）（）1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn練習練習.用數學歸納法證明用數學歸納法證明：1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化湊假設湊假設湊結論湊結論證明證明:2)假設假設n=k時命題成立時命題成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk則當則當n=k+1時，時， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk=

9、 =)2)(1( kk)131( k n=k+1時命題正確。時命題正確。 由由(1)和和(2)知，當知，當 ，命題正確，命題正確。Nn = 2111)1(31 kkk1)當當n=1時，左邊時，左邊=12=2,右邊右邊= =2. 命題成立命題成立1 111223 33 3)() 1(131.2111)(. 2kfkfnnnnf則已知11431331231KKKK答案：課堂小結課堂小結1、數學歸納法能夠解決哪一類問題？、數學歸納法能夠解決哪一類問題？一般被應用于證明某些與正整數有關的數學命題一般被應用于證明某些與正整數有關的數學命題2、數學歸納法證明命題的步驟是什么？、數學歸納法證明命題的步驟是什

10、么？兩個步驟和一個結論，缺一不可兩個步驟和一個結論，缺一不可3、數學歸納法證明命題的關鍵在哪里？、數學歸納法證明命題的關鍵在哪里？關鍵在第二步，即歸納假設要用到，解題目標要明確關鍵在第二步，即歸納假設要用到，解題目標要明確4、數學歸納法體現的核心思想是什么？、數學歸納法體現的核心思想是什么？遞推思想，運用運用“有限有限”的手段，來解決的手段，來解決“無限無限”的問題的問題注意類比思想的運用用數學歸納法證明：如果用數學歸納法證明：如果aan n 是一個等差數列，是一個等差數列，則則a an n= =a a1 1+(n-1)d+(n-1)d對于一切對于一切nNnN* *都成立。都成立。 證明證明:

11、(1):(1)當當n=1n=1時時, ,左邊左邊=a=a1 1, ,右邊右邊=a=a1 1 + +（1-11-1）d=ad=a1 1, , 當當n=1n=1時，結論成立時，結論成立(2)(2)假設當假設當n=kn=k時結論成立時結論成立, ,即即a ak k=a=a1 1+(k-1)d+(k-1)d 當當n=k+1n=k+1時，結論也成立時，結論也成立. .由由(1)(1)和和(2)(2)知知, ,等式對于任何等式對于任何nNnN* *都成立。都成立。湊假湊假設設1kkaad則1(1)akdd1akd湊結論湊結論1(1)1akd證證:(1)當當n=2時時, 左邊左邊= 不等式成立不等式成立.1

12、11 11413,2 1 2 23 42424 (2)假設當假設當n=k(k2)時不等式成立時不等式成立,即有即有: 11113,12224kkk 則當則當n=k+1時時,我們有我們有:11111(1)1(1)222122111111()12221221kkkkkkkkkkk 131113113().2421 2224 (21)(22)24kkkk 即當即當n=k+1時時,不等式也成立不等式也成立.由由(1)、(2)原不等式對一切原不等式對一切 都成立都成立. *,2nN n 例例2.用數學歸納法證明用數學歸納法證明:*11113(2,).12224nnNnnn (4)在證明在證明n=k+1命題成立用到命題成立用到n=k命題成立命題成立時時,要分析命題的結構特點要分析命題的結構特點,分析分析“n=k+1時時”命題是什么，并找出與命題是什么，并找出與“