1、第一章概率與統計考綱要求：1. 理解隨機變量發生的概率的意義.2. 了解等可能事件概率的意義，會用排列組合的基本公式運算一些等可能事件的概率3. 理解互斥事件有一個發生的概率，相互獨立事件同時發生的概率和獨立重復試驗的概率的計算公式.4. 理解離散型隨機變量的分布列，數學期望和方差的定義，了解服從二項分布，幾何分布的離散型隨機變量的數學期望和方差的計算公式5. 了解常見的幾種抽樣方法，會讀懂頻率分布直方圖，理解總體密度曲線的意義6. 了解正態分布和線性回歸.第一節隨機事件的概率互斥事件有一個發生的概率相互獨立事件同時發生的概率1. 事件的定義 隨機事件：在一定條件下可能發生，也可能不發生的事件

2、； 必然事件：在一定條件下必然發生的事件； 不可能事件：在一定條件下不可能發生的事件.2. 隨機事件的概率一般地：大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率m總是接近于某個常數nP(0乞P乞1),在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事件A的概率,記作P(A).3. 等可能事件的概率在一次試驗中可能出現的結果有n個,而且所有結果都是等可能的，如果事件A包含m個結果，那么事件A的概率P(A)二m.n4. 互斥事件有一個發生的概率 互斥事件的定義:不可能同時發生的兩個事件，叫做互斥事件；如果事件Ai,A2/,An中的任何兩個事件互斥,那么就說事件AA,An彼此互斥. 對立事件的定義：事件A和事件B互斥,

3、且它們之中必有一個發生，這樣的兩個事件叫做對立事件.事件A的對立事件可以表示成A. 互斥事件有一個發生的概率如果事件A,A2,，An彼此互斥,那么事件AA2A發生(AA,，代中有一個發生)的概率P(A,A2-AnP(A,)P(A2P(An). 互斥事件有一個發生的概率可以理解成：分類發生的事件的概率，等于各數事件發生的概率之和，類似于分類計數原理. 特別地:如果代B為對立事件，那么P(A)P(B)二1.5. 相互獨立事件同時發生的概率 相互獨立事件的定義：事件A(或B)是否發生與事件B(或A)是否發生的概率，相互之間沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件 事件A.B發生(事件A與事件B同時發

4、生)的概率P(ABP(A)P(B). 相互獨立事件有一個發生的概率的計算可以理解成：分步發生的事件的概率等于各步事件發生的概率之積，類似于分步計數原理 獨立重復試驗：在同樣條件下進行的，各次這間相互獨立的一種試驗. 如果在1次試驗中，某事件發生的概率是P,那么在n次獨立重復試驗中，這個事件恰好發生k次的概率Pn(k)C：Pk(1-P)nJ它的值是二項式P(-P)n展開式的第k1項.例1將5本不同的書全部分發給4個同學，每名同學至少有一本書的概率是()"15c152448A.B.C.D.-64128125125【解析】將5本不同的書全部分發給4個同學共有n=45,每名同學至少有一本的分

5、法數m二CGCCA：=240,故每名同學至少有一本書的概率p=竽=15.A3464例2在一個口袋中有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，至少摸到兩個黑球的概率等于()A2c3c3,9A.B.C.D.-78728例3從20名男同學,10名女同學中任選3名參加體能測試，則選到的3名同學中,既有男同學,又有女同學的概率為()A9101920A.B.C.D.-29292929C20C10C20C1020C20'Go920；方法二：P=131.29C3029297只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口,電工師傅每次從中任取一只并不放回，則他直到第()D.Z【解析】方

6、法一：P二3C30例4已知盒中裝有3只螺口與向下放著，現需要一只卡口燈炮使用3次才取到卡口燈泡的概率為八2117A.B.4040C色10111例5三名戰士射擊敵機，他們的命中率分別是-廠廠,則敵機被擊落的概率為332例6接種某疫苗后,出現發熱反應的概率為0.8,現有5人接種該疫苗，至少有3個出現發熱反應的概率為.例7在如下圖所示的電路中，開關a,b,c開或關的概率都1為-,且相互獨立,求燈亮的概率.2_【解】先求燈不先的概率，即1-P(C)1-P(A)P(B)1 35二1-2 48a_b_.120課后練習四十一1. 在一個袋子里裝有分別標有數字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除數字外完全

7、相同現從中隨機取出2個小球,則取出的小球標的數字之和是3或6的概率是(11_13A.B.C.D.12105102. 甲：AA是互斥事件；乙：A1,A2是對立事件；那么(A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分又不必要條件3. 將一個骰子連續拋擲三次，它落地時向上的點數依久成等差數列的概率為(1111A.1B.丄C.丄D.91215184. 一個骰子連續拋擲三次，至少一次出現6點向上的概率是(A525廠3191A.B.C.D.-2162162162165. 在正方體上任選3個頂點連接成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為(B.27C

8、.9746.某一批花生種子，如果每1粒發芽的概率為-,那么播下4粒種子恰有2粒發芽的概率5D.-7A.17為八1696192256A.B.C.D.-6256256256257.10張獎券中只有3張有獎,5個人購買，每人一張,至少有一個中獎的概率是A31廠111A.B.C.D.1012212118.甲射手擊中靶心的概率為丄，乙射手擊中靶心的概率為-，甲,乙各射擊一次32于A.甲,乙都擊中靶心的概率B.甲，乙恰好有一人擊中靶心的概率C.甲，乙至少有一個擊中靶心的概率D.甲，乙不全擊中靶心的概率9. 某人工作一天出廢品的概率是0.2，則4天中僅有1天出廢品的概率為.10. 將10參加比賽的代表隊，通

9、過抽簽分成代B兩個組，每組5個隊,其中甲，乙兩隊恰好被分在A組的概率為.11. 一批零件10個,其中有8個合格品,2個次品，每次任取一個零件裝配機器,若第一次取得合格品的概率為R,第二次取得合格品的概率為P2,則R,P2的大小關系是.12. 從3臺甲型彩電和2臺乙彩電中任取2臺,其中兩種品牌的彩電齊全的概率是第二節離散型隨機變量的分布列數學期望方差1隨機變量 如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，隨機變量常用希臘字母,來表示 離散型隨機變量：對于隨機變量的取值，可以按一定次序列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.2. 隨機變量的分布列 設離散型隨機變量可能的取值

10、為XX2，Xn，廠取每一個值Xi的概率P(二Xi)二Pi，則稱表X1X2XiPP1P2Pi為隨機變量的分布列. 分布列的兩個性質：I.0<Pi<1U.PiP21 二項分布：如果在一次實驗中某事件發生的概率是p,那么在n次獨立重復試驗中,這個事件恰好發生k次的概率是Pn(k)C：pk(1-p)n丄，稱這樣的隨機變量'服從二項分布，記作B(n,p). 幾何分布：如果在一次實驗中某事件發生的概率是p,那么在n次獨立重復試驗中，某事件第一次發生所需實驗的次數是一個隨機變量C=1,2,3;),則P(=k)p(1-p)n：稱這樣的隨機變量復從幾何分布3.隨機變量的數學期望和方差一般地:

11、如果隨機變量的分布列為X1X2XiPP1P2Pi則稱E=X1P1X2P2XnPn宀為隨機變量的數學期望,簡稱期望,它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.D丄化-E)2P1(xE)2p(xE)2P為隨機變量的方差,它反映了離散型隨機變量取值的集中與離散程度.出=0為隨機變量匕的標準差. 期望的性質：E(a：b)=aErb. 方差的性質：D(b)=a2D 若B(n,p),則=np,=npq. 如果離散型隨機變量服從幾何分布,那么E=1,DE=弓PP其中q=1p例1兩封信隨機投入到代B,C三個空郵箱，則A郵箱的信件數的數學期望Eg=例2設離散型隨機變量的分布列為01234P1113351010101

12、0(1)2的分布列為P-1|的分布列為P例3某人進行射擊，每次中靶的概率為0.8,現規定中靶就停止射擊；若沒有中靶，則繼續射擊，如果只有3發子彈,則射擊次數©的數學期望為.1例4甲,乙兩人進行圍棋比賽，每盤比賽甲勝的概率為-,而圍棋比賽規則中不會出3現平局.規定某人勝3局則比賽結束.(1) 4盤結束比賽且甲勝的概率是多少？(2) 求比賽盤數的分布列和數學期望.【解】(1)4盤結束比賽且甲勝的概率P-C2(-)2-;33327(2)比賽結束所需的盤數=3,4,5，且-j13231P(=3)=(；)(-)333P(f；=4)(1)2Z1C；(2)212=23333332710278271

13、0727P345110_8_32727所以'的分布列為e、334另527例5從一批有10個合格品與3個次品的產品中，一件一件地抽取產品，設各個產品被抽取到的可能性相同，在下列三種情況下，分別求出直到取出合格品為止時所需抽取的次數的分布列.(1) 每次取出的產品都不放回此批產品中；(2) 每次取出的產品都放回此批產品中，然后再取出一件新產品每次取出一件產品總把一件合格品放回此批產品中例6某人拋擲一枚骰子，出現各數的概率都是6構造數列的3.使an，記SnP亠an.,（當第n次擲出偶數時）廠1（當第n次擲出奇數時）（1）求S4=2的概率；若前兩次均為奇數，求S7=-1的概率.課后練習四十二(

14、)D.n=7,p=0.451設隨機變量'B(n,p),且E=1.6,D=1.28,貝UA.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.3212. 如果隨機變量B(15,-),則使P二k)取最大值的k值為()4A.3B.4C.5D.3或43. 袋中有5個白球,3個紅球，現從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現10次時停止，設停止時共取了次球，則Pf=12)等于()A.C；0(7. 連續向一目標射擊，直至擊中目標為止，已知一次射擊命中目標的概率為-,則射擊次為3的概率等于.)(1)求每個風景點至少一個個旅行團觀光的概率；求觀光甲風景點的旅行團數的數學期望.

15、(|)2B.C1i(|)10(|)2C.C1312.5個旅行團到3個風景點觀光.1(|)2(|)9D.C；1(；)9(28. 隨機變量的分布列P(=k)=a()k,k=1,2,3，,則a的值為39. 隨機變量等可能取值為1,2,3,-,n,如果P(：4)=0.3,那么n二10. 在獨立重復實驗中，如果一次試驗某事件發生的概率為時所需試驗次數的數學期望為11. 隨機變量的分布列如下表：其中a,b,c成等差數列，若E：=l,則D©=)2888888884. 一個藍球運動員投藍一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a,c,b(0,1),已知他投藍一次得分的數學期望值為2

16、,則ab的最大值為()A.丄B.4824C.12D.-,直到)5. 在6個電子產品中,有2個次品,4個合格品，每次任取一個測試，測試完后不放回兩個次品都找到為止，則所需測試的次數的數學期望是(_514A.4B.5C.D.-336. 袋中有大小相同的5個球分別標有1,2,3,4,5五個號碼，現在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設兩個球號碼之和為隨機變量，則所有可能取值的個數是()A.5B.9C.10D.257,那么該事件第二次發生-101Pabc第三節統計1. 抽樣方法 簡單隨機抽樣：設一個總體含有N個個體，如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，稱這樣

17、的抽樣為簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣的方法通常有抽簽法和隨機數表法這種抽樣方法適合于個體數較少的總體. 分層抽樣：把N個個體進行編號，然后根據樣本容量n求得分段的間距k=N,m用抽樣方法確定一個起點個體編號m,從而得出以后的各個樣本的編號依次是mk,m2k,，m(n-1)k.分層抽樣：如果總體數有若干個層，則每個層中所抽取的個體數可按各層個體中所占比例抽取.2. 總體分布的估計 利用頻率分布直方圖估計某個區間內的數據個數； 利用總體密度曲線進行估計某個區間內的個體分布的百分比.3. 正態分布1_(X-R2 若連續型隨機變量的概率密度函數f(X)二1,稱服從正態分布,記作N(；")，其中分

18、別是正態分布的期望和標準差. 標準正態分布,記作N(0,1),其密度函數y兒I.當'-0-1時的正態分布稱為標準正態分布X2n.標準正態分布中,記P（xXo）-（Xo）.為f（x）1G（0）；（-Xo）=1-G（Xo）2P（X1X2）（X2）-G（X1） 正態曲線的性質和概率的計算，記F（x）=P（乞x）I.P（x2）=F（x2）-F匕）1n.f（J=_2川.P（乞u-x）二P（_ux）x卩IV.F（x）：（）四.線性回歸一般地：設X與y是具有相關關系的兩個變量，相應于n個觀測值(Xi,yi)(i1,2/,n)的n個點大致分布在一條直線的附近，這條直線的方程為7=bxa,nn、區-x)

19、(yi-y)、Xiyi-nxy卄亠b其中i4i4n=n_22_2'(XiX)XinXi4i4a=ybX例1某校數學教研組為了解學生學習數學的情況，采用分層抽樣的方法從高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人進行問卷調查，則高一、高二、高三抽取的人數分別是（）A.15,16,19B.15,17,18C.14,17,19D.15,16,20例2為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖如下圖，由于不慎將部分數據丟失，但知道前4組的頻數成等比數列，后6組的頻數成等差數列，設最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學生數為b，則a

20、，b的值分別為（）A.0.27,78B.0.27,83C.2.7,78D.2.7,83【解析】由頻率分布直方圖知組矩為0.1.4.34.4間的頻數為100X0.1X0.1=1.4.44.5間的頻數為100X0.1X0.3=3.又前4組的頻數成等比數列，.公比為3.根據后6組頻數成等差數列，且共有10013=87人.從而4.64.7間的頻數最大，且為1X33=27,二a=0.27，6X5設公差為d，貝U6X27+d=87.4X3二d=5，從而b=4X27+（5）=78.答案：A例3以叮-（x）表示標準正態總體在區間（：，x）內取值的概率，若隨機變量服從正態分布N（»匚2）,則概率P（-卜：；刁等于（）A.：（；刁一門（"）B.：（1）一（一1）1-VC.（）D.2門（二）例4若公共汽車車門的高度是按照保證成年男子與車門頂部碰頭的概率在1%以下設計的，如果某地成年男子的身高'N(175,36)(單位：cm),則該地公共汽車車門的高度應設計為多高?(其中(2.33)=0.9901,結果精確定到1)【解】設該地公共汽車的車門應設計為x,則F(x)_0.99即:，(X0.99,X175_2.