1、概率論與數理統計復習提要第一章隨機事件與概率1 .事件的關系 A BAB AB AB 入AB2 .運算規則(1) A B B A AB BA(2) (A B) C A (B C)(AB)C A(BC)(3)(AB)C (AC) (BC)(AB)C (AC)(B C)(4)A B AB AB3 .概率P(A)滿足的三條公理及性質:0 P(A) 1 P()(3)對互不相容的事件 Ai,A2,nP(k 1Ak)nP(Ak)k 1(n可以取 )(4)P()(5) P(A) 1P(A)(6)P(AB)P(A) P(AB)，若 A B ,則P(BA) P(B)P(A), P(A) P(B)(7)P(AB)

2、P(A) P(B) P(AB)(8)P(AC) P(A) P(B) P(C)P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)4 .古典概型：基本事件有限且等可能5 .幾何概率P(AB)P(B)6 .條件概率(1)定義：若 P(B) 0 ,則 P(A| B)(2) 乘法公式：P(AB) P(B)P(A| B)若B1,B2, Bn為完備事件組，P(Bi) 0,則有(3)全概率公式：P(A)P(Bi)P(A|BJ(4) Bayes 公式:P(Bk | A)P(Bk)P(A|Bk)nP(Bi)P(A|Bi) i 17 .事件的獨立性：A, B獨立 P(AB) P(A)P(B)(注意獨立性的應用)第二章

3、隨機變量與概率分布1 .離散隨機變量：取有限或可列個值，P(Xxi)pi滿足(1)pi0,(2)pi=1(3)對任意 D R, P(X D)pii: xi D2.連續隨機變量：具有概率密度函數f(x),滿足(1) f(x) 0, f(x)dx 1;(2) P(a X b) bf(x)dx; (3)對任意 a R, P(X a) 0 a3.幾個常用隨機變量名稱與記號分布列或密度數學期望方差兩點分布B(1, p)P(X 1) p , P(X 0) q 1 p項式分布B(n, p)P(X k) Cnkpkqn k,k 0,1,2, n,Poisson 分布P()幾何分布G(p)均勻分布U(a,b).

4、1.f(x) , a x b,b a指數分布E()止態分布N( , 2)4.分布函數F(x) P(X x),具有以下性質(1) F( ) Q F( )1； (2)單調非降；(3)右連續；(4) P(a X b) F(b) F(a),特別 P(X a) 1 F(a);(5)對離散隨機變量，F(x)pi;i:Xi xx(6)對連續隨機變量，F(x) f(t)dt為連續函數，且在 f(x)連續點上，F (x) f(x)5 .正態分布的概率計算以(x)記標準正態分布N(0,1)的分布函數，則有(1) (0) 0.5; (2)( x) 1(x) ; (3)若 X N( , 2),則 F(x)(-);(4

5、)以u記標準正態分布N(0,1)的上側 分位數，則P(X u )1 (u )6 .隨機變量的函數Y g(X)(1)離散時，求Y的值，將相同的概率相加；(2) X連續，g(x)在X的取值范圍內嚴格單調，且有一階連續導數，則fy(y) fX(g 1(y)|(g 1(y) |,若不單調，先求分布函數，再求導。第三章隨機向量1 .二維離散隨機向量，聯合分布列P(X xi ,Y yj) Pj ,邊緣分布列P(X xi) Pi, P(Y yj) Pj 有(1)Pj 0；Pj1 ; (3) rPj , PjPjijji2 .二維連續隨機向量，聯合密度f(x,y),邊緣密度fX(x), fY(y),有(1)

6、f(x, y) 0； (2) f(x,y) 1 ; (3) P(X,Y) G) f(x,y)dxdy; G(4)fX(x) f(x,y)dy, fy(y)f (x, y)dx13 .二維均勻分布f(x, y) m(G),(x,y) ，其中m(G)為G的面積0,其它4 .二維正態分布(X,Y)N( 1, 2, 12, I,),其密度函數(牢記五個參數的含義)r1f(x, y)21 2 1-exo/ 2221(x i)(y2)(y 2)222X - N( 1, 12), Y N( 2, 2)；5.二維隨機向量的分布函數F(x,y) P(X x,Y y)有(1)關于x,y單調非降；(2)關于x,y右

7、連續;(3)F(x,F( ,y) F()0；(4)F(1, F(x,fx(x), F( ,y) FyH)；(5)P(x1x2, y yy2)F(x2，y2)FJl) F(x2,y1)F(x1, y1)；(6)對二維連續隨機向量,2F(x,y) f (x, y)-x y6 .隨機變量的獨立性X ,Y獨立F(x, y) Fx(x)FY(y)(1)離散時X,Y獨立Pij PiPj(2)連續時X,Y獨立 f(x, y)fX(x) fY(y)(3)二維正態分布X,Y獨立2,122)7 .隨機變量的函數分布(1)和的分布 Z X Y的密度fz(z)f(z y, y)dyf(x, z x) dx(2)最大最

8、小分布第四章 隨機變量的數字特征期望離散時E(X) xiPi , E(g(X)g(xi)Pi ；(2)連續時E(X) xf(x)dx, E(g(X)g(x)f(x)dx;g(x,y) f(x, y)dxdy(3)二維時 E(g(X,Y)g(X,yj)Pij , E(g(X,Y)i.j(4) E(C) C； (5) E(CX) CE(X)；(6) E(X Y) E(X) E(Y);(7) X,Y 獨立時，E(XY) E(X)E(Y)2 .方差(1)方差 D(X) E(X E(X)2 E(X2) (EX)2,標準差 (X)D(X)；(2) D(C) 0, D(X C) D(X);(3) D(CX) C2D(X);(4) X,Y 獨立時，D(X Y) D(X) D(Y)3 .協方差(1) Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y)；(2) Cov(X,Y) Cov(Y,X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y);(3) Cov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y) Cov(X2,Y);(4) Cov(X,Y) 0時，稱X,Y不相關，獨立不相關，反之不成