1、立體幾何核心知識點梳理江蘇省靖江高級中學 蔡正偉、考試內容1平面；平面的基本性質；平面圖形直觀圖的畫法2兩條直線的位置關系；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；對應邊分別平行的角；異面直線所成的角；兩條異面直線互相垂直的概念；異面直線的公垂線及距離三垂線定理及其逆定3直線和平面的位置關系；直線和平面平行的判定與性質；直線和平面垂直的判定與性質； 點到平面的距離； 斜線在平面上的射影；直線和平面所成的角； 理.4兩個平面的位置關系；平面平行的判定與性質；平行平面間的距離；二面角及其平面角；兩個平面垂直的判定與性質5（理科）空間向量共線、共面的充分必要條件，空間向量的加法、減法及數乘運算，空間向量

2、的坐標表示， 空間向量的數量積， 空間向量的共線與垂直， 直線的方向向量與平面 的法向量，利用空間向量求立體幾何中的角二、考試要求1掌握平面的基本性質，空間兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關系（特別是平行和垂直關系）以及它們所成的角與距離的概念.對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離 .2能運用上述概念以及有關兩條直線、直線和平面、兩個平面的平行和垂直關系的性質與判定，進行論證和解決有關問題 .對于異面直線上兩點的距離公式不要求記憶3會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形（特別是正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形）的直觀圖 .能夠畫出空間兩條直線、兩個平面、直線和平面的各種

3、位置關系的圖形，能夠根據圖形想象它們的位置關系4（理科）會用空間向量計算線線角，線面角，面面角三、考點簡析1空間元素的位置關系空間由點，線，面 3 個元素構成，立體幾何主要研究線和線，點和面，線和面，面和面 之間的關系 .兩條直線關系包括相交， 平行， 異面；直線和平面之間的關系包括線在面內，線面相交（包括斜交和垂直），線面平行；面面關系包括面面相交（包括斜交和垂直），面面平行.2.平行、垂直位置關系的轉化立體幾何中的證明只要圍繞著平行和垂直展開.線線平行，線面平行，面面平行證明是相互依賴的，線線垂直，線面垂直，面面垂直也是相互依賴.需要對每一種關系的判定定理和性質定理充分理解，證明過程中，需

4、要列出相應的條件，得出結論3.棱柱、棱錐、棱臺，球等空間幾何體空間幾何體一般是最為考題的載體，需要熟悉各種幾何體的定義.其中還會涉及一些幾何體的體積和表面積的相關問題，尤其是四面體體積的求法4.空間元素間的數量關系(1)角相交直線所成的角;異面直線所成的角轉化直線方向向量夾角；如果LT UUe1,e2分別是異面直線Ii,l2的方向向量，它們的夾角為，則cosLT LUe e2-LT-ee2當COS0時，異面直線ll,l2所成的角即為當cos0時，異面直線11,12所成的角即為直線與平面所成的角轉化為直線的方向向量和平面的法向量夾角;如果e是直線TT TI的方向向量，n是平面的法向量，e與n的夾

5、角為 ，則cos-T-en.直線I與平面所成的角等于二面角轉化成兩個平面的法向量夾角.設二面角的大小為，另個平面的法向量LT LU分另U為Al，門2，COSLT LTLT1島.因為二面角的取值范圍是0，所以二面角與這兩個平面的nin2法向量的夾角相等或互補，具體判斷必須借助具體圖形來確定（2）距離主要考點是點到面的距離，常用的方法有: 等體積法 構造恰當的四面體，利用四面體的體積換底算兩面遍，求出相應四面體的高;(理科) 向量法一一利用平面法向量和直線方向向量夾角，解直角三角形.求平面的uju rAB nr.n斜線段，在平面的法向量上的射影的長度:四、典型例題解析例 i 女口圖，在六面體 AB

6、CD AiBiCiDi 中，AAi / CCi, AiB = AiD,AB= AD.求證:(1)AAi丄 BD ；(2)BBi / DDi.分析：題目條件中有兩個線段相等，即有兩個共底的等腰三角形，自然想到取底 BD的中點，找到線線垂直，從而通過證明線面垂直來證明AAi丄BD.題目條件中的線線平行可以證明線面平行，利用線面平行的性質定理可以證明 BBi / DDi.解析：取BD的中點M,連結AM , AiM.因為AiD = AiB ,AD = AB,所以又 AM nAiM = M , AM , AiM?平面 AiAM ,所以BD丄平面AiAM.因為AAi?平面AiAM，所以AAi丄BD.BD丄

7、 AM , BD丄 AiM.(2)因為 AAi / CCi, AAi?平面 DiDCCi, CCi?平面 DiDCCi,所以 AAi / 平面 DiDCCi.又 AAi?平面 AiADD i，平面 AiADDin 平面 DiDCCi= DDi，所以 AAi / DDi.同理可得AAi / BBi,所以BBi / DDi.點評：(i)要證明線線垂直有兩條思路：第一條：把其中一條直線平移，使得兩條直線在同一個平面，然后用平面幾何的知識證明垂直即可；第二條：通過證明線面垂直證明.即證明其中一條直線垂直另一個直線所在的平面.第二條思路用的較多， 要熟練，第一條用的較少,但也不能忘.(2)證明線線垂直也

8、主要有兩條思路，第一條：證明其中一條直線平行另一條直線所的平面，在用線面平行的性質；第二條：先證明兩條直線所在的平面平行，再證明這兩條直線為第三個平面與兩平行平面所交的交線，即運用面面平行的性質定理.面面平行與線面平行的性質定理在證明過程中容易被學忽視例2如圖所示，四邊形 ABCD為矩形，AD丄平面ABE, AE = EB= BC, F為CE上的點,且BF丄平面ACE.(i)求證：AE丄BE;(2)設M在線段 AB上，且滿足 AM = 2MB，試在線段 CE上 確定一點N，使得 MN /平面DAE.B分析：題目條件中出現線面垂直， 三條線段相等，在證明線線垂直時候一般證明一條線段垂直經過另一條

9、線段的一個平面.第二問是探索性問題，找點N使得過該點的直線和這個平面平行，也可找過該點的平面與這個平面平行，利用面面平行來證線面平行解析：（1）證明/ AD 丄平面 ABE, AD / BC,； BC丄平面 ABE，又 AE?平面 ABE，貝U AE丄 BC.又 BF丄平面 ACE,； AE丄BF,又 BFnBC= B；AE丄平面BCE , 又 BE?平面 BCE,； AE 丄 BE.解 在 ABE中過M點作MG / AE交BE于G點，在 BEC中過G點作GN / BC交EC于N點，連接MN，則由比例關系易得 CN = 3CE.3/ MG / AE, MG?平面 ADE , AE?平面 ADE

10、 , ；MG /平面 ADE.同理，GN/平面ADE.又 GN nMG = G,；平面MGN /平面ADE.又MN?平面MGN , ；MN /平面 ADE.；N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點.點評：解決探究性問題一般要采用執果索因的方法，假設求解的結果存在，從這個結果出發,尋找使這個結論成立的充分條件，如果找到了符合題目結果要求的條件，則存在；如果找不 到符合題目結果要求的條件 （出現矛盾），則不存在.例 3 如圖，在三棱柱 ABC AiBiCi 中，AA1 丄平面 ABC , AB= BC = AAi，且 AC = V2bC , 點D是AB的中點.證明：平面 ABC平面BiCD.勾股定

11、理證明線線垂直，這個是比較容易被忽視的分析：本題重點是尋找垂直的信息，AC=V2bc這個條件可以用解析：證明 / ABC AiBiCi 是棱柱，且 AB = BC= AAi= BBi,；四邊形BCCiBi是菱形, ；BiC丄BCi.由 AAi 丄平面 ABC, AAi/ BBi, 得 BBi 丄平面 ABC. AB?平面 ABC ,； BBi 丄 AB, 又 AB= BC，且 AC = V2BC ,； AB 丄 BC ,而 BB1 ABC = B, BB1, BC?平面 BCC1B1, AB 丄平面 BCC1B1，而 B1C?平面 BCC1B1, AB 丄 BiC,而 ABQBCi= B, A

12、B, BCi?平面 ABCi.- BiC丄平面 ABCi, 而 BiC?平面 BiCD,平面ABCi丄平面BiCD.點評：其實證明面面垂直就是證明線面垂直，不同的是需要我們找哪條直線垂直哪個平面,般方法是如果是要證明,那么就在內找一條直線I證明丨 ，或者在 內找一條直線a證明a如圖，正三棱柱 ABC AB,Ci的所有棱長都為2，D為CCi中點.(1)求證：ABi丄平面A1BD ;求二面角 A AiD B的三角函數值；（理科學生研究）求點C到平面A1BD的距離.Ci（2 ）設AB1與A1B交于點G,在平面ABD中，作GF丄AD于F，連結AF，由（1） ABC為正三角形，AO丄BC .AB1連結B

13、1O ,在正方形BB1C1C中，O,D分別為BC, CC1的中點,分析：本小題主要考查直線與平面的位置關系，二面角的 大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維 能力和運算能力對于二面角的求法，可以先找后求，主要難點是在找的過程，這種求法目前已不做要求，有興趣可以去研究思考.求二面角也可以用空間向量來求，這個在附加卷中可能會出現，文科學生不必深究了 解析：解法一：（1）取BC中點0 ,連結AO .Q正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC丄平面BCCi Bi ,AO _L 平面 BCC1B .日0 丄 BD , AB1 丄 BD .在正方形 ABB1Ai中，AB1丄AB ,AB1

14、丄平面ABD .得AB1丄平面ABD .AF丄AD ,/ AFG為二面角AAD B的平面角.AGAF在 AA,D中，由等面積法可求得 AF1又Q AG -AB1 42 ,sin/ AFG25J10所以二面角A A1DB的正弦值為-一4(3) ABD 中，BD AD 75, AB 242$ A|BDV6 ,BCD 1 .在正三棱柱中， A到平面BCC B,的距離為73.設點C到平面ABD的距離為d .11由 VA| BCD VC A1BD，得 3 SA BCD3A1BD gd，33返 va.2d 3SSa A|BD點C到平面A1BD的距離為至2解法二：（1）取BC中點0 ,連結AO .Q ABC

15、為正三角形，AO丄BC .Q在正三棱柱 ABC AB1C1中，平面ABC丄平面BCCiBi ,AD丄平面BCCiBi .取B1C1中點01，以O為原點，OoB, 0）051，OA的方向為X, y, z軸的正方向建立空間直角坐標系，則 B(1,0,0)，D( 1,1,0),Luur一 uuurAR(1,2, 兩，BD ( 2,1,0),UULT UUUQ ABgBDUULT UUU uur UUTAB 丄 BD , AB1 丄 BA1 .ABi丄平面（2）設平面A AD的法向量為n(X, y, z).uLurAD ( 1,1,島，Aa（0,2,0）.Qn 丄 AD , n 丄 AA：,uuurn

16、gAD 0,uuu ngAA 0,X y 73z2y 0,0,y 0，XJ3乙73,0,）為平面A AD的一個法向量.由（1）知AB丄平面ABD ,uuur出衛笛AB1為平面A BD的法向量.ruuircos n , abuuur ngAB ,.luuir |n igAB12必面角AA D B的大小為arccos64（3）由（2）, ABr為平面ABD法向量,uluuurLQBC ( 2,0,0), AB (1,2, 73).點C到平面AiBD的距離duLur uuurBCgAB,=uuur=ABI 2| 返.242 2點評：本例中（3）采用了兩種方法求點到平面的距離 .解法二采用了平面向量的計算方法,K到平面AMB1的距離的計算這種方法可以避免復雜的幾何把不易直接求的B點到平面AMB1的距離轉化為容易求的點方法，這是