1、立體幾何基礎題1.如圖所示，在正方體ABCD-ABCD的側面AB內有一動點P到直線AB與直線BQi的距離相等，則動點P所在曲線的形狀為解析:BCi丄平面AB,:BiCi丄PB,，如圖:P點到定點B的距離與到定直線AB的距離相等，建立坐標系畫圖時可以以點BiB的中點為原點建立坐標系。2.下列正方體或正四面體中，P、QR、S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的一個圖是()BC正確答案：D錯誤原因：空間觀點不強3設A,B,C,D是空間不共面的四點，且滿足BCD是ABAC=0,ACAD=0,ABAD二0,貝U(A)鈍角三角形確定(B)直角三角形(C)銳角三角形(D)不解析：假設AB為a,AD為b,AC

2、為c,且abC則，BDfa2b2,CDhC2b2,BCna2c2如圖DA則BD為最長邊，根據余弦定理_22(Ja2+c2)+(Jc2+b2)_(Ja2+b2)cos/DCB=2x/a2+c2Jc2b2角。所以BCD是銳角三角形。0.DCB最大角為銳4.下圖表示一個正方體的展開圖，圖中ABCDEF、GH這四條直線在原正方體中相互異面的有(A2對C4對a和b為異面直線，、有且只有一個、可能不存在5.A則過B)B3對D5對a與b垂直的平面()B、一個面或無數個、可能有無數個正確答案：C錯誤原因：過a與b垂直的夾平面條件不清6.設a、b是兩條不同的直線，a、B是兩個不同的平面，則下列四個命題若a_b,

3、a_:-,則b/:a；,：_:,則a/:其中正確的命題的個數是A.0個B.1個B解析：注意中b可能在a上；中若a/，_:,則a-:若a_b,a_：,b_:,貝V：:()C.2個D.3個a可能在a上；中b/a,或b三：二均有-_:,故只有一個正確命題7.若平面:-外的直線a與平面:-所成的角為二，則二的取值范圍是()(A)(%)JI(C)(0,2(D)0>-錯解：C錯因：直線在平面外應包括直線與平面平行的情況，此時直線a與平面所成的角為0正解：D&如圖所示，已知正四棱錐sABCD側棱長為2，底面邊長為,3,E是SA的中點，則異面直線BE與SC所成角的大小為A.90°B.6

4、0°C.45°D.30°B解析：平移SC到SB，運用余弦定理可算得=SE=SB=2.9.設有如下三個命題：甲：相交直線I、m都在平面a內，并且都不在平面B內；乙：直線I、m中至少有一條與平面3相交；丙：平面a與平面3相交.A.乙是丙的充分而不必要條件B乙是丙的必要而不充分條件C.乙是丙的充分且必要條件D乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件當甲成立時，解析：當甲成立，即“相交直線I、m都在平面a內，并且都不在平面3內”時，若“I、m中至少有一條與平面3相交”，則“平面a與平面3相交.”成立；若“平面a與平面3相交”，則“I、m中至少有一條與平面3相交”也成立.選（

5、C）.10.如圖，點P、QR、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是（）P(A)(C)解析：CA,B選項中的圖形是平行四邊形，而D選項中可見圖:11.如圖，是一個無蓋正方體盒子的表面展開圖,A、B、C為其上的三個點，則在正方體盒子中，/ABC等于A.45°C.90°.120°解析：B如圖12.已知長方體ABCA1B1CD中,AiA=ABE、F分別是BD和AD中點.(1)求異面直線CD、EF所成的角;(2)證明EF是異面直線AD和BD的公垂線(1)解析：在平行四邊形BAD1C1中，E也是AC1的中點，EF/GD,(2分)兩

6、相交直線DiC與CD所成的角即異面直線CD與EF所成的角A1A=AB長方體的側面ABB1AQDD1C1都是正方形,DC丄CD異面直線CD、EF所成的角為90°.(7分)-2(2)證：設AB=AA=a,DF=才+如=bf二EF丄BD.(9分)4'由平行四邊形BAD1C1，知E也是AC1的中點，且點E是長方體ABCABCD的對稱中心，(12分)二EA=ED.EF±AD,又EF±BD,.EF是異面直線BD,AD的公垂線.(14分)14. 如圖，在長方體ABCD-ABCD中，AB=5AD=8AA=4,M為BC上一點，且BM=2點N在線段AiD上，AiD丄AN求：(

7、1)COS(AD,AM)；(2)直線AD與平面ANM所成的角的大小；解：(1)以A為原點，ABADAA所在直線為x軸，y軸，z軸.則D(0,8,0),A(0,0,4),M(5,2,4).AD=(0,8,一4)AM=(5,2,4)tA(DAM=0cos./ADAM=0(2)由(1)知AD丄AM又由已知AD丄AN,_平面AMN垂足為N.因此AD與平面所成的角即是.DAN.易知.DAN=AAjD=arctan213.如圖，在正方體ABCABQD中，MN分別為棱AA和BB的中點，求異面直線CM與DN所成角的正弦值.(14分)(本題考查平移法，補形法等求異面二直線所成角)解析：取DD中點G,連結BGMQ

8、MBGC得矩形MBCG記M©BG=0則BG和MC所成的角為異面直線CM與DN所成的角.3；MC2=MA2AC2=(a)2(設正方體的棱長為a)2BC=a/1/4弱.cos.MBOCsin£BOC=99而CM與DN所成角的正弦值為空9214.有兩個相同的直三棱柱,高為，底面三角形的三a邊長分別為3a,4a,5a(a0)。用它們拼成一個三棱柱a的取值范圍是或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則V15:a:315. 已知mn是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題： 若m/，則m平行于平面:內的任意一條直線+ 若m,n二：i,m/-,n/F；,則/-.若m，

9、n.1“，mn,則/-.若/F；,m二：；，n二,則m/n+上面命題中，真命題的序號是_(寫出所有真命的序號)16下面是關于三棱錐的四個命題： ，底面是等邊三角形，側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐。 ，底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐。 ，底面是等邊三角形，側面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐。 ，側棱與底面所成的角都相等，且側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐。其中，真命題的編號是。(寫出所有真命題的編號)17.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=3,BC=4,AA=4，點D是AB的中點，(I)求證：ACLBG;(II)求證：ACi/平面CDB

10、;(III)求異面直線AC與BiC所成角的余弦值.解法一：(I)直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三邊長AC=3BC=4AB=5AC丄BC且BG在平面ABC內的射影為BC,二AC丄BG;(II)設CB與CiB的交點為E,連結DE,/D是AB的中點，E是BG的中點，DE/ACi,/DEM平面CDB,AC平面CDB,ACi/平面CDB;(III)TDE/ACi,/CED為AG與BiC所成的角，1 5i5在厶CED中,ED=ACi=,CDAB=±,2 222CE=iC=/2,2cos./CED=2也52.25異面直線AC與BC所成角的余弦值三25廨法二：v直三磧柱ABC-AC底面三邊=BC

11、=4tAC,BCtC.C兩兩垂直.如圖，以E為坐標原點.直線CB.CC,分別為玄軸*y軸以軸，建立空間直角坐標系*則口譏40,0).0(40,4),5(0,4,0),3耳04,4),D(丁2.0).(I)V4?=(-3,0,0)t5=(0,-4,4),A?*§C=0,AAC丄EC-(II)設與GB的交點為瓦則E(0,2,2)-DE=(-y,0、2),疋=(-3,0t4)tADE/ACr.DEU平面CD/tACi0平面CDB.t:.ACJ/平面C呱(IB)/疋=(-3,0,4)再已2/4,4),小盤函八I舟益臥異面直線ag與總應所成角的余弦值為警18.理）已知直四棱柱ABCD-ABQP

12、中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，A為直角，AB/CD，AB=4，AD=2，DC-1，求異面直線BCi與DC所成角的大小.（結果用反三角函數值表示）&£廠一!解法一由題意AB/CD,C1BA是異面直線BG與DC所成的角.連結AG與AC,在RtADC中，可得AC=.5,又在RtACC中，可得AC=3.D15在梯形ABCD中，過C作CH/AD交AB于H,EAjBCDC1B,C2BC2BBi又在RtCBC,中，可得BC<17,-AC；AB2BC；2ABBC1在.ABC|中,cosABC1二軟,ABG二arcco空.1717異而直線BG與DC所成角的大小為arccos317-17解法二如圖，以D為坐標原點，分別以ADDCDD所在直線為x、y、z軸建立直角坐標系.點，AB=4,AD=2,B1D與平面ABCD所成角的大小為60，求異面直DC在RtCBC中，tanZDBQ=得.CHB=90,CH=2,HB=3,CB=、13二二arccos173.1717則cos二BC1CD|BC1|CD|線B1D與MN所成角的大小。（結果用反三角函數值表示）1/DBC=arctan_,即異面直線2B1D與MN所成角的大小為arctan-.2則C1(0,1,2),B(2,4,0).BG=(2,3,2),CD=（0,-1,0）,設BG與CD所成的角為異面直線BC與DC所成角的大小