1、在課堂教學(xué)中如何滲透在課堂教學(xué)中如何滲透 數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法南京市第一中學(xué)何炳均南京市第一中學(xué)何炳均課程標(biāo)準(zhǔn)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要讓不同的指出，要讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，其中最人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，其中最重要的就是學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成重要的就是學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成與發(fā)展。與發(fā)展。 “作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研中的是數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究方法和著眼點等。這些都隨時隨地究方法和著眼點等。這些都隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益。發(fā)生作用，使他們終生受益。”

2、（日（日本數(shù)學(xué)家米山國藏語）。本數(shù)學(xué)家米山國藏語）。 所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對數(shù)學(xué)理所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)知識和論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步抽象和概括，它直接數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步抽象和概括，它直接支配著數(shù)學(xué)的實踐活動，屬于對數(shù)學(xué)規(guī)支配著數(shù)學(xué)的實踐活動，屬于對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識的范疇。律的理性認(rèn)識的范疇。 所謂數(shù)學(xué)方法，所謂數(shù)學(xué)方法， 是指某一數(shù)學(xué)活動是指某一數(shù)學(xué)活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。性、層次性和可操作性等特點。 一、對概念的理解一、對概念的理解數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的

3、靈魂，數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段，同一數(shù)學(xué)成果，當(dāng)用它去解決的手段，同一數(shù)學(xué)成果，當(dāng)用它去解決別的問題時，則稱為方法；當(dāng)論及它在別的問題時，則稱為方法；當(dāng)論及它在數(shù)學(xué)體系中的價值和意義時，則稱之為數(shù)學(xué)體系中的價值和意義時，則稱之為思想。思想。 二、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)滲透的思想方法二、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)滲透的思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要思想：中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要思想：1.分類討論思想，分類討論思想，2.數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)形結(jié)合思想，3.函數(shù)與方程思想，函數(shù)與方程思想，4.化歸與轉(zhuǎn)化思想?；瘹w與轉(zhuǎn)化思想。1、分類討論思想、分類討論思想 分類討

4、論是根據(jù)教學(xué)對象的本質(zhì)屬分類討論是根據(jù)教學(xué)對象的本質(zhì)屬性將其劃分為不同種類，即根據(jù)教學(xué)對性將其劃分為不同種類，即根據(jù)教學(xué)對象的共同性與差異性，把具有相同屬性象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。在一類。分類是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。在教學(xué)中，如果對學(xué)過的知識恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行教學(xué)中，如果對學(xué)過的知識恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。理性。 (1) 由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論；由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論； (2) 由數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式的限制條件引起的分類討由數(shù)學(xué)定理

5、、性質(zhì)、公式的限制條件引起的分類討論；論； (3) 由圖形的位置和大小的不確定性而引起的分類討論；由圖形的位置和大小的不確定性而引起的分類討論； (4) 由數(shù)學(xué)式子的變形所需要的限制條件引起的分類討由數(shù)學(xué)式子的變形所需要的限制條件引起的分類討論；論； (5)對于含有參數(shù)的問題要對參數(shù)的允許值進(jìn)行全面的分對于含有參數(shù)的問題要對參數(shù)的允許值進(jìn)行全面的分類討論。類討論。等等等等 對分類討論思想的考查對分類討論思想的考查, 是有沒有分類是有沒有分類的意識的意識,遇到應(yīng)該分類的情況遇到應(yīng)該分類的情況,是否想到要是否想到要分類分類.,有哪些情況需要分類呢？有哪些情況需要分類呢？例例1：如圖，在：如圖，在R

6、tABC中中BAC=90，AB=AC=2，點，點D在在BC上運動（不能到點上運動（不能到點B、C），過），過D作作ADE=45，DE交交AC于于E求證：求證：ABDDCE；設(shè)設(shè)BD=x，AE=y，求，求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量并寫出自變量x的取值范圍；的取值范圍；當(dāng)當(dāng)ADE為等腰三角形時，求為等腰三角形時，求AE的長的長ABCDE42 2AE 或例例2:已知一次函數(shù)已知一次函數(shù) 與與x軸、軸、y軸分別交于軸分別交于A、B兩點，點兩點，點C在在x軸上，且軸上，且ACB=120； 求求BC的關(guān)系式；的關(guān)系式；3x33y xyABCO33 xy以點以點P為一個頂點的三角形

7、與為一個頂點的三角形與ABC相相似，且與似，且與ABC有一個公共角和一條公有一個公共角和一條公共邊，求點共邊，求點P的坐標(biāo)的坐標(biāo).12),(2,3),(1,3),( 3,0)33（3,-2 32、數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)形結(jié)合思想 華羅庚先生說過：華羅庚先生說過：“數(shù)與形是兩依倚數(shù)與形是兩依倚,焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直觀焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直觀, 形形少數(shù)時難入微。少數(shù)時難入微?！?，“切莫忘切莫忘,幾何代數(shù)幾何代數(shù)統(tǒng)一體統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系永遠(yuǎn)聯(lián)系,切莫分離。切莫分離?！?一般地，人們把代數(shù)稱為一般地，人們把代數(shù)稱為“數(shù)數(shù)”而把而把幾何稱為幾何稱為“形形”，數(shù)與形表面看是相互，數(shù)與形表面看是相互

8、獨立，其實在一定條件下它們可以相互獨立，其實在一定條件下它們可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)量問題可以轉(zhuǎn)化為圖形問題，轉(zhuǎn)化，數(shù)量問題可以轉(zhuǎn)化為圖形問題，圖形問題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題。圖形問題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題。例例1：已知關(guān)于：已知關(guān)于x的不等式組的不等式組 的整數(shù)解共有的整數(shù)解共有2個，則的個，則的a取值范圍是取值范圍是_020 xax-1a0-例例2：如圖，：如圖，C為線段為線段BD上一動點，分別上一動點，分別過點過點B、D作作ABBD，EDBD，連接，連接AC、EC已知已知AB=5，DE=1，BD=8；設(shè)；設(shè)CD=x (1)用含用含x的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示AC+CE的長；的長； (2)請問點請問點C

9、滿足什么條件時，滿足什么條件時，AC+CE的的值最小值最小?(3)根據(jù)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值代數(shù)式的最小值 224129xx3x212-x最小值是最小值是13例例3：已知：已知 3x+4y=12，且，且x，y， 求求使使M(x,y)=x2+y2-12x-2y+37取得最大值與最取得最大值與最小值的點小值的點.約束條件約束條件: 3x+4y=12，且，且x，y，所，所表示的圖形是線段表示的圖形是線段AB，x的取值范圍是的取值范圍是，M(x,y)（x-6)2+(y-1)2.xyA(0,3)B(4,0)OQ(6,1)P(x,y)設(shè)設(shè)P(x,y)是

10、線段是線段AB上的動上的動點點,Q(6,1)為定點，為定點，M(x,y)為為動點動點P與定點與定點Q之間距離的之間距離的平方，從圖上可以看出平方，從圖上可以看出A（，），（，），B（，）（，）分別是使分別是使M(x,y)取得最大值取得最大值和最小值的點和最小值的點3、函數(shù)與方程思想、函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)的觀點、方法研究問題，就是用函數(shù)的觀點、方法研究問題，將非函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對將非函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對函數(shù)的研究，使問題得以解決。通常是函數(shù)的研究，使問題得以解決。通常是這樣進(jìn)行的：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，這樣進(jìn)行的：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立函數(shù)關(guān)系，研究這個函數(shù)，得出相

11、建立函數(shù)關(guān)系，研究這個函數(shù)，得出相應(yīng)的結(jié)論。中學(xué)數(shù)學(xué)中，方程、數(shù)列、應(yīng)的結(jié)論。中學(xué)數(shù)學(xué)中，方程、數(shù)列、不等式等問題都可利用函數(shù)思想得以簡不等式等問題都可利用函數(shù)思想得以簡解；幾何量的變化問題也可以通過對函解；幾何量的變化問題也可以通過對函數(shù)值域的考察加以解決。數(shù)值域的考察加以解決。 DCABEF例例1：如圖：如圖,等腰梯形等腰梯形ABCD中，對角線中，對角線DB平分平分ADC，下底，下底AB比周長小比周長小a，梯形的，梯形的中位線中位線EF=b，求上底，求上底CD 解：易證解：易證AB=AD=BC，AB+CD=2EF因此，設(shè)因此，設(shè)CD=x，AB=y.則則byxayyx23abx 4 方程思想

12、的實質(zhì)就是方程思想的實質(zhì)就是數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模,解應(yīng)用題解應(yīng)用題是方程思想應(yīng)用的最突出體現(xiàn)。是方程思想應(yīng)用的最突出體現(xiàn)。 方程思想的實質(zhì)就是方程思想的實質(zhì)就是數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模,解應(yīng)用題解應(yīng)用題是方程思想應(yīng)用的最突出體現(xiàn)。是方程思想應(yīng)用的最突出體現(xiàn)。 例例2：如圖，有長為：如圖，有長為24m的籬笆，一面利用墻的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度（墻的最大可用長度a為為10m），圍成中間隔），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃設(shè)花圃的寬有一道籬笆的長方形花圃設(shè)花圃的寬AB為為x m，面積為，面積為S m2（1）求）求S與與x的函的函數(shù)關(guān)系式；數(shù)關(guān)系式；（2）如果要圍成面積為）如果要圍成面積為45 m2

13、的花圃，的花圃，AB的的長是多少米？長是多少米？（3）能圍成面積比）能圍成面積比45 m2更大的花圃嗎？如果更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由請說明理由例例3：全國高考題：如果實數(shù)：全國高考題：如果實數(shù)x、y滿足滿足（x-2）2 + y2 =3，那么，那么 的最大值的最大值是是 yx22141yxxx 4、化歸與轉(zhuǎn)化思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想 化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法?；瘹w的手段是多種多樣的要思想方法?；瘹w的手段是多種多樣的,其最其最終目的是將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知問

14、題來解。終目的是將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解。實現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡實現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化、未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化、抽單問題轉(zhuǎn)化、未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化、抽象問題向具體問題轉(zhuǎn)化等。如在加法的基礎(chǔ)象問題向具體問題轉(zhuǎn)化等。如在加法的基礎(chǔ)上，利用相反數(shù)的概念，化歸出減法法則，上，利用相反數(shù)的概念，化歸出減法法則，使加、減法統(tǒng)一起來，得到了代數(shù)和的概念；使加、減法統(tǒng)一起來，得到了代數(shù)和的概念；在乘法的基礎(chǔ)上，利用倒數(shù)的概念，化歸出在乘法的基礎(chǔ)上，利用倒數(shù)的概念，化歸出除法法則，使互逆的兩種運算得到統(tǒng)一。除法法則，使互逆的兩種運算得到統(tǒng)一。 例例1：已知：已知

15、m,n(mn)滿足滿足, 求求的值的值.13, 1322nnmmnmmn分析：分析：m,n可以看成方程可以看成方程x2-3x-1=0的兩個的兩個實數(shù)根實數(shù)根.22() 23 2 ( 1 )111n m m nm nm nm n 例例2：已知：已知ABC中，中，AC5，BC12，ACB90，P是是AB邊上的動點（與點邊上的動點（與點A、B不重合）不重合）Q是是BC邊上的動點（與點邊上的動點（與點B、C不重合）不重合）（1）如圖，當(dāng)）如圖，當(dāng)PQAC，且，且Q為為BC的中點的中點時，求線段時，求線段CP的長；的長； （2）當(dāng)）當(dāng)PQ與與AC不平行時，不平行時，CPQ可能為可能為直角三角形嗎？若有可

16、能，請求出線段直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明的長的取值范圍；若不可能，請說明理由理由 PQ20123CQ除以上四大主要數(shù)學(xué)思想外還有：除以上四大主要數(shù)學(xué)思想外還有： 整體思想整體思想 變換思想變換思想 類比思想類比思想統(tǒng)計思想統(tǒng)計思想特殊與一般思想特殊與一般思想歸納與猜想思想歸納與猜想思想例：例： 在平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)變換是指某一圖形繞一個在平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)變換是指某一圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到定點按順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到新位置圖形的一種變換新位置圖形的一種變換活動一：如圖活動一：如圖1，在，在RtABC中，中，D為斜邊為斜邊A

17、B上上的一點，的一點，AD=2，BD=1，且四邊形，且四邊形DECF是正方是正方形，求陰影部分的面積形，求陰影部分的面積CABDEG圖圖F活動二：如圖，在四邊形活動二：如圖，在四邊形ABCD中，中，AB=AD，BAD=C=90，BC=5，CD=3，過點，過點A作作AEBC，垂足為點，垂足為點E，求，求AE的長的長ABCEDF圖圖三、數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的原則三、數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的原則 1. 自覺性原則自覺性原則 2. 可行性原則可行性原則 3. 反復(fù)性原則反復(fù)性原則 4.系統(tǒng)性原則系統(tǒng)性原則四、滲透數(shù)學(xué)思想方法的過程設(shè)計四、滲透數(shù)學(xué)思想方法的過程設(shè)計數(shù)學(xué)思想方法的形成不可能一蹴而就，數(shù)

18、學(xué)思想方法的形成不可能一蹴而就，往往需要多次反復(fù)、逐漸形成，一般往往需要多次反復(fù)、逐漸形成，一般要經(jīng)歷要經(jīng)歷多次孕育、初步形成、應(yīng)用發(fā)多次孕育、初步形成、應(yīng)用發(fā)展展三個階段。因此，教學(xué)中教師要精三個階段。因此，教學(xué)中教師要精心設(shè)計，多設(shè)置一些孕育點，在初步心設(shè)計，多設(shè)置一些孕育點，在初步形成階段選擇的例題和習(xí)題也要容易形成階段選擇的例題和習(xí)題也要容易些，在應(yīng)用發(fā)展階段可選擇一些思維些，在應(yīng)用發(fā)展階段可選擇一些思維要求相對高一些的例題和習(xí)題。要求相對高一些的例題和習(xí)題。 以數(shù)形結(jié)合思想為例說明如下以數(shù)形結(jié)合思想為例說明如下:(一一) 思想孕育思想孕育 1.有理數(shù)的意義有理數(shù)的意義 在學(xué)習(xí)數(shù)軸時，

19、學(xué)生接觸到數(shù)與形的對應(yīng)，在學(xué)習(xí)數(shù)軸時，學(xué)生接觸到數(shù)與形的對應(yīng)，應(yīng)讓學(xué)生掌握：應(yīng)讓學(xué)生掌握：(1)任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，在數(shù)軸上會找到任何一個有理數(shù)表示，在數(shù)軸上會找到任何一個有理數(shù)對應(yīng)的點；對應(yīng)的點；(2)由數(shù)軸上的有理點，讀出它所對應(yīng)的由數(shù)軸上的有理點，讀出它所對應(yīng)的有理數(shù)。有理數(shù)。2.絕對值絕對值通過對有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點到原點通過對有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點到原點的距離的觀察，引導(dǎo)出有理數(shù)絕對值的的距離的觀察，引導(dǎo)出有理數(shù)絕對值的概念，不僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，而且概念，不僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，而且符合學(xué)生從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律。符合學(xué)生從具體

20、到抽象的認(rèn)知規(guī)律。3.有理數(shù)的大小比較有理數(shù)的大小比較有理數(shù)大小比較，可以由其在數(shù)軸上的有理數(shù)大小比較，可以由其在數(shù)軸上的位置來確定，即將位置來確定，即將“數(shù)數(shù)”的問題通過的問題通過“形形”來解決。來解決。4.單項式乘法單項式乘法在推導(dǎo)單項式乘法、單項式與多項式乘在推導(dǎo)單項式乘法、單項式與多項式乘法、多項式乘法以及乘法公式時，借助法、多項式乘法以及乘法公式時，借助圖形表示學(xué)生更容易接受。圖形表示學(xué)生更容易接受。例如：例如：aa時，可以借助如圖的長方時，可以借助如圖的長方形面積來進(jìn)行。形面積來進(jìn)行。 3 a 2 a5.平面內(nèi)點的位置與坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置與坐標(biāo)一個有序數(shù)對（坐標(biāo)）可在直角坐標(biāo)平一個

21、有序數(shù)對（坐標(biāo)）可在直角坐標(biāo)平面內(nèi)找到與之對應(yīng)的點，反之，直角坐面內(nèi)找到與之對應(yīng)的點，反之，直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任一點也可以讀出其坐標(biāo)。標(biāo)平面內(nèi)的任一點也可以讀出其坐標(biāo)。這時數(shù)與形的對應(yīng)由一維上升到了二維，這時數(shù)與形的對應(yīng)由一維上升到了二維，但仍是思想孕育階段。但仍是思想孕育階段。 (二二) 初步形成初步形成 1.一元一次不等式組的解集一元一次不等式組的解集一元一次不等式的解集在數(shù)軸上表示仍一元一次不等式的解集在數(shù)軸上表示仍是孕育階段，而解不等式組時，是將幾是孕育階段，而解不等式組時，是將幾個不等式的解集表示在同一數(shù)軸上，這個不等式的解集表示在同一數(shù)軸上，這樣比較形象、直觀地求出這些解的公共樣比較

22、形象、直觀地求出這些解的公共部分，即不等式組的解集。部分，即不等式組的解集。2.用圖象法解二元一次方程組用圖象法解二元一次方程組例如：用圖象法解方程組例如：用圖象法解方程組 。只要在坐標(biāo)系中分別畫出兩個方程對應(yīng)只要在坐標(biāo)系中分別畫出兩個方程對應(yīng)一次函數(shù)的圖象（直線），交點坐標(biāo)就一次函數(shù)的圖象（直線），交點坐標(biāo)就是方程組的解。是方程組的解。2226xyxyOxyy=2x-6112yx 3.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 通過多次孕育，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想通過多次孕育，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的性質(zhì)時，可以先讓學(xué)生動手畫出圖象，然性質(zhì)時，可以先讓學(xué)生動手畫出圖象，然后觀察圖象，總結(jié)函數(shù)圖象的性質(zhì)。后觀察圖象，總結(jié)函數(shù)圖象的性質(zhì)。 至此，學(xué)生已經(jīng)初步領(lǐng)略到數(shù)形結(jié)合至此，學(xué)生已經(jīng)初步領(lǐng)略到數(shù)形結(jié)合思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，教思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，教師應(yīng)因勢利導(dǎo)地選擇訓(xùn)練題對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)師應(yīng)因勢利導(dǎo)地選擇訓(xùn)練