1、第四節第四節 導數的應用導數的應用 一、拉格朗日一、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 二、洛必達（二、洛必達（L Hospital）法則）法則 三、函數的單調性三、函數的單調性 四、函數的極值四、函數的極值 五、函數的凸凹性和拐點五、函數的凸凹性和拐點 六、函數的漸近線六、函數的漸近線本節主要內容有：本節主要內容有：一、一、 Lagrange中值定理中值定理定理定理 （拉格朗日定理）（拉格朗日定理） 設函數設函數 f(x)在在a,b上上有定義，如果有定義，如果 （1）函數）函數 f(x)在閉區間在閉區間a，b上連續上連續； （2）函數）函數 f(x)在開區間在開區間(a，b)內可導

2、內可導； 則在則在(a，b)內內至少存在至少存在一個點一個點 a x1 ，則存在一點，則存在一點 ，使得，使得故故 f ( x1)=f ( x2)由于由于x1 , x2是任意選取的，故在整個是任意選取的，故在整個(a , b)區間內，區間內，f (x)取恒定的值，即取恒定的值，即 f (x)在在(a , b)恒為常數。我們假設它為恒為常數。我們假設它為c，故可得，故可得 f (x)=c。推論推論2：如果對于任意如果對于任意x(a , b) ，有，有f (x) = g(x) ，則，則f (x)= g(x)+c(c為常數為常數) 故由推論故由推論1知知 f (x)g(x)=c 即即 f (x)=g

3、(x)+c 由已知條件知由已知條件知 u(x)=0證明：證明：令令u(x)=f (x)g(x) , 則則 u(x)=f (x)g(x)例例: :.)1ln(1,0 xxxxx 時時證證明明當當證證),1ln()(xxf 設設, 0)(上上滿滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即()(),( )( ),( )0lim.( )0 xaxxaxf xF xf xF x 如如果果當當或或時時 兩兩個個函函數數

4、與與都都趨趨于于零零或或都都趨趨于于無無窮窮大大 那那么么極極限限稱稱為為或或型型不不定定式式例如例如,tanlim0 xxx)00(,sinlnsinlnlim0bxaxx)( 定義定義:二、二、 Lhospital法則法則定理定理1 設函數設函數 f(x), g(x)在點在點 x0 的某個去心的某個去心鄰域上有定義，如果鄰域上有定義，如果（1）當）當 x x0 時，時，函數函數 f(x)及及g(x)都趨于都趨于0或都趨于無窮大；或都趨于無窮大；（2）函數）函數 f (x)，g(x)在在 x0 的某個去心鄰域的某個去心鄰域內可導，且內可導，且g (x) 0 ； （3）極限）極限 存在（或者為

5、無存在（或者為無窮大）窮大）, 則有則有)( )( lim0 xgxfxx)( )( lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 如果極限如果極限 仍屬于仍屬于 型的不定式，且滿足定理的條件，則可型的不定式，且滿足定理的條件，則可以繼續使用上述定理，即以繼續使用上述定理，即)()(lim0 xgxfxx或00)()(lim)()(lim)()(lim 000 xgxfxgxfxgxfxxxxxx例例1 求極限求極限 .sinlim30 xxxx20303cos1limsinlimxxxxxxx616sinlim0 xxx解解：容易驗證，該極限滿足洛必達法則的：容易驗證，該極限滿足洛必達

6、法則的要求，所以要求，所以 定理定理 2 設函數設函數 f(x), g(x)在在| x| N 時有定義，如時有定義，如果果 （1）當）當 x 時，時，函數函數 f(x)及及g(x)都趨于都趨于0或都或都趨于無窮大；趨于無窮大； （2）函數）函數 f(x)，g(x)在在 | x| N 時可導，且時可導，且g (x) 0 ； （3）極限）極限 存在（或者為無存在（或者為無窮大）；窮大）； 則有則有)()(lim)()(limxgxfxgxfxx)()(limxgxfx如果極限如果極限 仍屬于仍屬于 型的不定式，且滿足定理的條件，則可型的不定式，且滿足定理的條件，則可以繼續使用上述定理，即以繼續使用

7、上述定理，即)()(limxgxfx或00)()(lim)()(lim)()(lim xgxfxgxfxgxfxxx例例2 求極限求極限.sinln3sinlnlim0 xxxxxxxxxxxsincos33sin3coslimsinln3sinlnlim0013sinsinlim30 xxx解解：這是一個：這是一個 型的不定式，且滿足洛必達型的不定式，且滿足洛必達法則的條件，所以有法則的條件，所以有例例3 求極限求極限lim(,0nxxxne為正整數）xnxexlimxnxxnxexnnenx221) 1(limlim0!limxnxen解解：這是一個：這是一個 型的不定式，且滿足羅型的不定

8、式，且滿足羅必達法則的條件，相繼應用洛必達法則必達法則的條件，相繼應用洛必達法則 n次，次，即有即有例例4 求極限求極限.lim2120 xxex2120limxxex0（對于這種類型的不定式，我們也可以將其變形為（對于這種類型的不定式，我們也可以將其變形為 形）形） 002101lim2xexxueuu lim1limuue解解：這是一個：這是一個 型的不定式，將它變形為型的不定式，將它變形為 形形 例例 5 求極限求極限xxxxln11lim1xxxxln11lim10000000101xxxxxxln) 1(1lnlim1則則解解：對于這種：對于這種 型的不定式，我們的型的不定式，我們的

9、方法是方法是2lnln1limln) 1(1lnlim11xxxxxxxxx21)ln2(lim)ln1 (lim11xxxx例例6：求求解：解：xxx1limxxxxxexln11limlim011limlnlimln1limxxxxxxxx1lim0ln1lim1eexxxxxx)(0根據復合函數連續性，我們可以把極限號根據復合函數連續性，我們可以把極限號拿入，故拿入，故其中其中例例7：求求解：解：xxx0limxxxxxexln00limlim1lim0lnlim00eexxxxxx)0(0 xxxlnlim0 xxx1lnlim00lim11lim020 xxxxx根據復合函數連續性，

10、我們可以把極限號拿入，根據復合函數連續性，我們可以把極限號拿入，故故其中其中例例8：求求解：解：xxxxcos110)sin(limxxxxxxexxsinlncos110cos110limsinlim)1 (01sinlimln1 cosxxxx而0sinlnlim1 cosxxxx22000cossinsinlimlimsinsin2 sincos11limsin32cosxxxxxxxxxxxxxxxxx 011cos01sin1limln1cos3sinlimxxxxxxxxee故故對于對于 這三種類型求極限，這三種類型求極限，我們要使用洛必達法則時，先將其化為指我們要使用洛必達法則時

11、，先將其化為指數函數的形式，再對其指數使用洛必達法數函數的形式，再對其指數使用洛必達法則求極限，然后根據我們的復合函數連續則求極限，然后根據我們的復合函數連續性，就可以把極限符號拿進函數符號里面，性，就可以把極限符號拿進函數符號里面，這樣我們就可以求出極限了。這樣我們就可以求出極限了。1 ,000注意注意三、函數的單調性三、函數的單調性abxy=f(x)axby=f(x)f (x)=tan0f (x)=tan0單調增函數單調增函數單調減函數單調減函數沿沿 x 軸正向逐漸上升軸正向逐漸上升沿沿 x 軸正向逐漸下降的曲線軸正向逐漸下降的曲線定理定理 設函數設函數 f(x)在區間在區間 （a，b）內

12、可）內可導，如果在區間（導，如果在區間（a，b）內，）內， f (x) 0 （或（或 f (x) 0，因此，因此， f( x2) f( x1)。即。即 f(x)為單調增加。為單調增加。( 對于單調減少的情況類似可對于單調減少的情況類似可以證明。以證明。)證明：證明：在區間（在區間（a，b）內的任意兩點）內的任意兩點 x1 ， x2 ，且，且設設 x1 x2 ，則，則f( x)在在x1 ， x2上滿足拉格上滿足拉格朗日中值定理，從而有朗日中值定理，從而有利用導數和單調性關系求單調區間的步驟：利用導數和單調性關系求單調區間的步驟：4、判斷分段區間內導數的符號，利用定理、判斷分段區間內導數的符號，利

13、用定理 判斷在判斷在 此區間內函數的單調性。此區間內函數的單調性。3、以上述求出的點作為分界點劃分區間；、以上述求出的點作為分界點劃分區間；2、找出使一階導數為零或使其不存在的點；、找出使一階導數為零或使其不存在的點；1、先求給定函數的一階導數；、先求給定函數的一階導數；例例 1 確定函數確定函數 的單調區間。的單調區間。31292)(23xxxxf2( )618126(1)(2)f xxxxx當當x=1 和和 x=2時，時， f (x) =0，故以，故以1，2作為作為分界點。分界點。解解：該函數的定義域為（：該函數的定義域為（- ， ），由于），由于當當 x （- ，1）時，有）時，有 f

14、(x) 0，所以，所以，函數函數 f(x)在這個區間內為單調增加。在這個區間內為單調增加。當當 x （1，2）時，有）時，有 f (x) 0，所以，函，所以，函數數 f(x)在該區間內為單調減少。在該區間內為單調減少。當當 x （2， ）時，有）時，有 f (x) 0，所以，函，所以，函數數 f(x)在這個區間內為單調增加。在這個區間內為單調增加。例例 2 證明證明 ) 0(1)1ln(122xxxxx221)1ln(1)(xxxxxf)0(,0)1ln()(2xxxxf【注意】可用單調性條件來比較給定區間上兩個函【注意】可用單調性條件來比較給定區間上兩個函 數的大小。數的大小。又由于又由于

15、f(0) = 0，所以，所以， f(x) f(0)=0，即不等式成立。，即不等式成立。從而，當從而，當 x （0， ）時，）時，函數函數 f(x)為單調增加。為單調增加。則則證明證明：令：令四、四、 函數的極值與最值函數的極值與最值1.函數的極值函數的極值 定義定義 設函數設函數 f(x)在在x0的某個鄰域內有定義，如果的某個鄰域內有定義，如果對于該鄰域內的任意一點對于該鄰域內的任意一點 x ，只要，只要 x x0 ，就一定，就一定滿足滿足 f(x) f(x0)（或（或 f(x) f(x0)）, 則稱則稱f(x0)為函數為函數f(x)的一個極大值（或極小值），而點的一個極大值（或極小值），而點

16、x0稱為函數稱為函數f(x)的極大值（或極小值）點。的極大值（或極小值）點。 函數的極大值和極小值函數的極大值和極小值 統稱為函數的極值。而統稱為函數的極值。而 極大值點和極小值點統極大值點和極小值點統 稱為極值點。稱為極值點。xy0 x0ab注意注意：函數的極值是函數的一個局部最大：函數的極值是函數的一個局部最大值或局部最小值，它通常并不等于函數的值或局部最小值，它通常并不等于函數的整體最大值或最小值。函數在整個區間上整體最大值或最小值。函數在整個區間上可能有若干個極大值和極小值，極大值可可能有若干個極大值和極小值，極大值可能必極小值還小，因為極值是一個局部性能必極小值還小，因為極值是一個局

17、部性的概念。的概念。同時，我們還看到，在同時，我們還看到，在函數取得極值的地方，曲函數取得極值的地方，曲線的切線是水平的，即線的切線是水平的，即 f (x)=0；但切線水平，即；但切線水平，即 f (x)=0，該點未必取極值，該點未必取極值，如下圖所示此類點。如下圖所示此類點。定理定理 1 設函數設函數 f(x)在點在點 x0可導，且函數可導，且函數 f(x)在在點點 x0 取得極值，則取得極值，則 f ( x0 ) = 0。注意，當函數注意，當函數 f(x)在點在點 x0不可導時，上述定理不可導時，上述定理不成立，但它也可能會取得極值。例如，函不成立，但它也可能會取得極值。例如，函數數()f

18、xx在在 x0 = 0 處不可導，但處不可導，但f (0)=0為函數的極小值。為函數的極小值。 今后，今后，我們稱使得我們稱使得 f ( x ) = 0 的點為函數的點為函數 f(x) 的駐點（顯然，可導下的極值點必的駐點（顯然，可導下的極值點必是駐點）。是駐點）。 函數的極值點只可能在駐點和導數不存在函數的極值點只可能在駐點和導數不存在 的點中取得。的點中取得。定理定理 2 （函數在一點取得極值的第一充分條件）（函數在一點取得極值的第一充分條件）設設函數函數 f(x)在點在點 x0的去心鄰域內可導，在點的去心鄰域內可導，在點 x0處連續，處連續，則有如下結果：則有如下結果：（1）當）當 x

19、x0 時，有時，有 f (x) 0 ；當；當 x x0 時，有時，有 f (x) 0；則函數在點；則函數在點 x0處取得極大值。處取得極大值。（2）當）當 x x0 時，有時，有 f (x) 0 ；當；當 x x0 時，有時，有 f (x) 0；則函數在點；則函數在點 x0處取得極小值。處取得極小值。（3）如果在）如果在 x0 的兩側，導數的兩側，導數 f (x) 不變號，則函不變號，則函 數在點數在點 x0處不能取得極值。處不能取得極值。例：例：.593)(23的的極極值值求求函函數數 xxxxf解解)3)(1(3963)()1(2 xxxxxf，令令0)()2( xf. 3, 121 xx

20、得駐點得駐點極大值極大值x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf0 0 0 00極小值極小值)3(593)(23 xxxxf圖形如下圖形如下)3(f極小值極小值.22 )1()4( f極大值極大值,10 MN322( ).3f xxx 練練習習: : 求求函函數數的的極極值值解解例：例：.)2(1)(32的極值的極值求出函數求出函數 xxf31)2(32)(2 xxfx時時，當當.)(,2不不存存在在時時當當xfx 時時，當當2 x; 0)( xf時時，當當2 x. 0)( xf.)(1)2(的的極極大大值值為為xff M定理定理 3 （函數在一點取得極值的第二充分條件

21、）（函數在一點取得極值的第二充分條件） 設函設函數數 f(x)在點在點 x0 有二階導數，且有二階導數，且 f (x0) = 0，則函數，則函數 f (x)在點在點 x0 有極值：有極值：（1）當）當 f (x0) 0 時，函數時，函數 f(x)在點在點 x0 有極大值；有極大值；（2）當）當 f (x0) 0 時，函數時，函數 f(x)在點在點 x0 有極小值；有極小值；（3）當）當 f (x0) = 0 時，無法判定時，無法判定 f(x)在點在點 x0 是否是否 取得極值。取得極值。（第（第（3）個的情況如）個的情況如f (x)=x3在在x=0點處，不取極值；點處，不取極值；而而g(x)=

22、x4 在在x=0點處，可以取到極小值。）點處，可以取到極小值。）例例.1)1()(32的極值的極值求出函數求出函數 xxf解解22) 1(6)() 1 ( xxxf，令令0)() 2( xf. 1, 0, 1321 xxx得得駐駐點點) 15)(1( 6)()3(22 xxxf06)0()4( f(0)0f 故故極極小小值值 第第二二充充分分條條件件失失效效。 ,)(f)(f0115 .1)1()(32的圖形如下的圖形如下函數函數 xxf-2-1120.511.522.5;)x(fx01 左左側側鄰鄰近近的的值值時時，取取當當;)x(fx01 右右側側鄰鄰近近的的值值時時，取取當當點沒有極值。

23、點沒有極值。在在故故1 x)x(f點也沒有極值。點也沒有極值。在在同理同理1 x)x(f【注意注意】如果一個函數在某一點存在二階導】如果一個函數在某一點存在二階導數，且一階導數為零，那么判斷在這一點處數，且一階導數為零，那么判斷在這一點處是否取得極值，我們使用第一、第二判別法是否取得極值，我們使用第一、第二判別法均可；若其左右鄰域內一階導數符號很難判均可；若其左右鄰域內一階導數符號很難判斷，則可用第二判別法。斷，則可用第二判別法。而對于而對于一階導數不存在的點一階導數不存在的點，我們要判斷其，我們要判斷其是否為極值點，就直接用第一判別法判斷。是否為極值點，就直接用第一判別法判斷。利用導數求極值

24、的步驟：利用導數求極值的步驟：4.判斷分段區間內導數的符號，利用定理判斷分段區間內導數的符號，利用定理 判斷第判斷第2步中所求出的點是否為極值點。步中所求出的點是否為極值點。3.以上述求出的點作為分界點劃分區間；以上述求出的點作為分界點劃分區間；2.找出使一階導數為零或使其不存在的點；找出使一階導數為零或使其不存在的點；1.先求給定函數的一階導數；先求給定函數的一階導數；2.函數的最值函數的最值由連續函數的性質可知，閉區間上的連續函數由連續函數的性質可知，閉區間上的連續函數一定存在最大值和最小值。根據函數極值的定一定存在最大值和最小值。根據函數極值的定義，連續函數的最大值和最小值只能在區間的義

25、，連續函數的最大值和最小值只能在區間的端點、駐點以及導數不存在的點中取得。端點、駐點以及導數不存在的點中取得。1.1.求駐點和不可導點求駐點和不可導點; ;2.求區間求區間端點端點及及駐點駐點和和不可導點不可導點的函數值的函數值,比比較大較大小小,哪個最大哪個就是最大值哪個最大哪個就是最大值,那個那個最小那個就是最小值最小那個就是最小值;求最值的步驟求最值的步驟: :)1)(2(6)( xxxf得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7 )4(f;142解解計算計算32231214 3,4.yxxx 求求函函數數在在上上的的最最大大值值

26、與與最最小小值值例：例：，最大值最大值142)4( f. 7)1( f最最小小值值比較得比較得14123223 xxxy例例 求求 的極值的極值, 并問是否存在最值。并問是否存在最值。xexxf2)(xxexxexxxf)2()2()(2當當 x (0， ) 時時, 有有 f (x) 0 ；當當 x (-2，0 ) 時時, 有有 f (x) 0，則函，則函數數 f (x)在區間（在區間（a, b）上的圖形是凹的；）上的圖形是凹的；（2) 若對任意若對任意x(a ,b)， 有有 f (x) 0f ”(x)0例例: :.14334凹、凸的區間凹、凸的區間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解),

27、(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( (2,)/3/3(0,2)/3/302/3/3)(xf )(xf 00上凹上凹上凸上凸上凹上凹拐點拐點拐點拐點(0,1)(2,11)/ /3 3/ /2 27 7(,0,0,2,2,). 凹凹凸凸區區間間為為/ /3 3/ /3 3利用導數判斷曲線凹凸性及拐點：利用導數判斷曲線凹凸性及拐點：（3）判別）判別f ”(x) 在每個開區間內的符號，從而得出在每個開區間內的符號，從而得出曲線在各個區間內的凹凸性，同時可以確定出上述曲線在各個區間內的凹凸性，同時可以確定出上述各點對應的曲線上的點是否

28、為拐點（各點對應的曲線上的點是否為拐點（拐點可以是二拐點可以是二階導數為零的點，也可以是二階導數不存在的點，階導數為零的點，也可以是二階導數不存在的點，但是一定要求拐點兩側二階導數異號但是一定要求拐點兩側二階導數異號）。）。（2）求）求f ”(x) 等于零和不存在的點，并用這些點將等于零和不存在的點，并用這些點將其定義域分成若干個開區間；其定義域分成若干個開區間；（1）求）求f ”(x) ；六、函數曲線的漸近線六、函數曲線的漸近線求漸近線實際上是考慮曲線遠離原點時的變化求漸近線實際上是考慮曲線遠離原點時的變化狀態，可以讓我們對函數的整體變化有一個較狀態，可以讓我們對函數的整體變化有一個較全面的認識。在函數作圖時規范出了函數曲線全面的認識。在函數作圖時規范出了函數曲線的基本變化范圍。的基本變化范圍。定義定義 當曲線當曲線 C上的動點上的動點 M 沿著曲線無沿著曲線無限遠離原點時，如果限遠離原點時，如果 M 與某一直線與某一直線 L