1、5 曲面的切平面與法線 若曲面方程為設 對各個變量有連續偏導數. 為曲面上一點,過點 任作一條在曲線 ,設其方程為顯然對 求導,在 點(設此時對應于 )有前已知道,向量 正是曲線 在 在 點的切向量. 上式說明向量 0),(zyxF),(zyxF),(0000zyxM0Ml),(),(),(tzztyytxx0)(),(),(tztytxFt0M0tt 0)( )()( )()( )(000000tzFtyFtxFMzMyMx)( ),( ),( (000tztytxl0M)( ,)( ,)(000MzMyMxFFFn與切向量正交.由于 的任意性,可見曲面上過 的任一條曲線在該點的切線都與 正

2、交,因此這些切線應在同一平面上,這個平面就稱為曲面在 點的切平面,而 就是切平面的法向量.從而即可寫出曲面在 點的切平面方程為 過 點并與切平面垂直的直線,稱為曲面在 點的法線,它的方程是設 分別為曲面在 的法線與 軸正向之間的夾角,那么在 點的法線方向余弦為l0Mn0M0Mn0)()()()()(00000zZFyYFFMxMyMx0M0M000)()()(000MzMyMxFzZFyYFxX,0Mzyx,),(0000zyxM,)()()()(cos2220000MzMyMxMxFFFF 若曲線方程是它很容易化為剛才討論過的情形于是曲面在點 （這里 ）的切平面方程為法線方程為,)()()(

3、)(cos2220000MzMyMxMyFFFF,)()()()(cos2220000MzMyMxMzFFFF),(yxfz , 0),(),(yxfzzyxF),(000zyx),(000yxfz , 0)()()()()(00),(0),(0000zZyYyzxXxzyxyx 最后，若曲面方程為參數形式如果由 決定了兩個函數因此可以將 看為 的函數，這樣問題就化為剛才已經討論過的問題了.因此只要求出 及 .為此,將 分別對 求導,并注意到 為 的函數,按隱函數求導法則有),(),(),(vuzzvuyyvuxx),(),(yxvvyxuu),(),(vuyyvuxxyx,zxzyz),(v

4、uzz vu,zyx,vyyzvxxzvzuyyzuxxzuz由這兩個方程可解出 及 于是,在 點的切平面方程應為法線方程為對于曲面方程為顯示表示及參數表示時,同樣可寫出它們在 點的法線方向余弦,請讀者寫出. 0Mxzyz,),(),(),(),(,),(),(),(),(vuDyxDvuDxzDyzvuDyxDvuDzyDxz0M)(),(),()(),(),(0000yYvuDxzDxXvuDzyDMM, 0)(),(),(00 zZvuDyxDM.),(),(),(),(),(),(000000MMMvuDyxDzZvuDxzDyYvuDzyDxX 例1 求曲面 在點 的切平面及法線方程.通常兩曲線在交點的夾角,是指交點外兩個切向量的夾角;兩曲面在交線上一點的夾角,是指兩曲面在交點的法線的夾角.如果兩曲面在交線的每一點都正交,則稱這兩曲