1、任課教師：任課教師：陳其科陳其科聯系方式：聯系方式：E_mail： 電電 話：話：61830311總總 學學 時時: 80課時課時教教 材：材：梁昆淼，梁昆淼，數學物理方程數學物理方程（第四版）（第四版）成績構成：成績構成：平時平時20%+半期考試半期考試20%+期末考試期末考試60%電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇第二篇 數學物理方程數學物理方程要想探索自然界的奧秘，就得解微分方程要想探索自然界的奧秘，就得解微分方程 -牛頓牛頓電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電

2、磁場數學方法第二篇 數學物理方程第一章第一章 典型方程與定解問題典型方程與定解問題 第二篇 數學物理方程1.1 常見坐標系常見坐標系(補充內容補充內容)1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程1.3 定解條件定解條件 電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程 三維空間任意一點的位置可通過三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交線的三條相互正交線的交點交點來確定。來確定。 三種常用的正交坐標系為：三種常用的正交坐標系為：直角坐標系直角坐標系、圓柱坐標系圓柱坐標系和和球坐標系球坐標系。 三條正交線組成的確定三維空間任意點位

3、置的體系，三條正交線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為稱為正交坐標系正交坐標系；三條正交線稱為；三條正交線稱為坐標軸坐標軸；描述坐標軸；描述坐標軸的量稱為的量稱為坐標變量坐標變量。1.1 1.1 常用坐標系常用坐標系電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程（一）直角坐標系（一）直角坐標系xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量ddddxyzlexeye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y體積元體積元dd d dVx y zdd

4、dd dyyxzySellex z坐標變量坐標變量, ,x y z坐標單位矢量坐標單位矢量,xyze e e 點點P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標系直角坐標系 xezeyex yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元直角坐標系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd1.1 1.1 常用坐標系常用坐標系電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程（二）（二） 圓柱坐標系圓柱坐標系dd dd d

5、dd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle , z 坐標變量坐標變量,zee e 坐標單位矢量坐標單位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzreee z 線元矢量線元矢量dd d dVz 體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系圓柱坐標系1.1 1.1 常用坐標系常用坐標系電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程2dd dsin d drrrSe lle r dd dsin d drzSel le rrdd dd drSe l

6、 le r r球坐標系球坐標系球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系中的線元、面元和體積元,r 坐標變量坐標變量,re e e 坐標單位矢量坐標單位矢量rre r位置矢量位置矢量dddsin drrere re r 線元矢量線元矢量2dsin d d dVrr 體積元體積元面元矢量面元矢量（三）球面坐標系（三）球面坐標系1.1 1.1 常用坐標系常用坐標系電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程三種坐標系有不同適用范圍：三種坐標系有不同適用范圍：1 1、直角坐標系適用于場呈、直角坐標系適用于場呈面對稱分布面對稱分布的問題求

7、解。的問題求解。2 2、柱面坐標系適用于場呈、柱面坐標系適用于場呈軸對稱分布軸對稱分布的問題求解。的問題求解。3 3、球面坐標系適用于場呈、球面坐標系適用于場呈點對稱分布點對稱分布的問題求解。的問題求解。1.1 1.1 常用坐標系常用坐標系電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程（四）坐標單位矢量之間的變換關系（四）坐標單位矢量之間的變換關系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標與直角坐標與圓柱坐標系圓柱坐標系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標與圓柱坐標與球坐標系球坐標系直

8、角坐標與直角坐標與球坐標系球坐標系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinoxy單位圓單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系xeyeeeorz單位圓單位圓 柱坐標系與球坐標系之間柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系zeeree1.1 1.1 常用坐標系常用坐標系電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程1.1 1.1 常用坐標系常用坐標系xyzeeexyz 哈密頓算符：哈密頓算符：11()sin

9、reeerrr ( (柱面坐標系柱面坐標系) )1()rzeeerrz ( (直角坐標系直角坐標系) )( (球面坐標系球面坐標系) )拉普拉斯算符：拉普拉斯算符：2222222xyz 2222222( , , )uuuu x y zxyz如：如：電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程數學物理方程：從物理問題中導出的函數方程，一般是數學物理方程：從物理問題中導出的函數方程，一般是 偏微分方程和積分方程。偏微分方程和積分方程。 在科學研究和生產過程中，

10、往往需要了解物理量在空間在科學研究和生產過程中，往往需要了解物理量在空間中的中的分布規律分布規律和隨時間的和隨時間的變化規律變化規律。 如：研究電磁波時需知道電磁場的時、空變化規律如：研究電磁波時需知道電磁場的時、空變化規律 研究半導體工藝時需知道雜質濃度在硅片中的分布研究半導體工藝時需知道雜質濃度在硅片中的分布 與變化（擴散）規律。與變化（擴散）規律。電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程數學物理方程：從物理問題中導出的函數方程，特別是數學物理方程

11、：從物理問題中導出的函數方程，特別是 偏微分方程和積分方程。偏微分方程和積分方程。物理規律是代表某物理現物理規律是代表某物理現象的物理量在空間的分布象的物理量在空間的分布規律和時間的變化規律。規律和時間的變化規律。可用可用u(r,t)表示。物理規律表示。物理規律反應的是同一類物理現象反應的是同一類物理現象遵從的共同規律，具有普遵從的共同規律，具有普遍性。遍性。 對于具體問題，由于所處對于具體問題，由于所處的的“環境環境”或或“歷史原因歷史原因”不同，代表同一類物理現不同，代表同一類物理現象的物理量的具體表達式象的物理量的具體表達式不同。不同。物理規律的物理規律的普遍性普遍性具體問題的具體問題的

12、特殊性特殊性電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程l 泛定方程泛定方程 描述物理規律的數學表示，反映物理量隨空間位置和時間描述物理規律的數學表示，反映物理量隨空間位置和時間變化的規律，是一類物理現象的共性，與具體現象無關。變化的規律，是一類物理現象的共性，與具體現象無關。例：例：牛頓第二定律牛頓第二定律反映的是力學現象的普遍規律，跟具體條反映的是力學現象的普遍規律，跟具體條件無關。件無關。 Fma幾個概念幾個概念（普遍規律）（普遍規律） 電子科技大學

13、電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程l定解條件定解條件同一類物理現象中，各個具體問題又各有其同一類物理現象中，各個具體問題又各有其特殊性，即個性。特殊性，即個性。邊界條件：邊界條件：周圍周圍“環境環境”影響體現在邊界處的物理狀況。影響體現在邊界處的物理狀況。初始條件：初始條件：某個某個“初始初始”時刻所處的狀態。時刻所處的狀態。例：一個物體做豎直上拋運動，一個物體斜拋運動。例：一個物體做豎直上拋運動，一個物體斜拋運動。例：如電磁波在無界空間傳播和有界空間傳播。

14、例：如電磁波在無界空間傳播和有界空間傳播。幾個概念幾個概念 定解條件即體現物理現象個性的條件，包括定解條件即體現物理現象個性的條件，包括邊界條件邊界條件和和初始條件初始條件。電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程（一）波動方程（一）波動方程( (雙曲型方程雙曲型方程) )1.1.弦振動方程弦振動方程條件條件：均勻柔軟的細弦，在平衡位置附近產生振幅：均勻柔軟的細弦，在平衡位置附近產生振幅極小極小的的 橫振動。不受外力影響。橫振動。不受外力影響。研究對象

15、研究對象：線上某點在線上某點在 t t 時刻沿縱向的時刻沿縱向的位移位移。( , )u x t問題：問題：電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程（一）波動方程（一）波動方程( (雙曲型方程雙曲型方程) )1.1.弦振動方程弦振動方程簡化假設：簡化假設：(2)(2)振幅極小振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。張力與水平方向的夾角很小。(1)(1)弦是弦是柔軟柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。 gds

16、M M ds x T y xdx x T 物理規律：牛頓運動定律物理規律：牛頓運動定律sinsinTTgdsma橫向：橫向：coscosTT縱向：縱向：cos1cos1( , )(d , )sintansintanu x tu xx txxTT電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程（一）波動方程（一）波動方程( (雙曲型方程雙曲型方程) )1.1.弦振動方程弦振動方程 gds M M ds x T y xdx x T (d , )( , )u xx

17、tu x tTgdsmaxx其中：其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt22( , )( , )ddu x tu x txxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程（一）波動方程（一）波動方程( (雙曲型方程雙曲型方程) )1.1.弦振動方程弦振動方程2222( , )( , )Tux t

18、u x tgxt2Ta令：令：22222( , )( , )u x tux tagtx一維波動方程一維波動方程橫向作用力橫向作用力非齊次方程非齊次方程忽略外力作用（忽略外力作用（g=0g=0）22222( , )( , )u x tux tatx一維齊次波動方程一維齊次波動方程簡化表示：簡化表示：2ttxxua u2( , )ttxxua uf x t考慮外力：考慮外力： gds M M ds x T y xdx x T 電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程2 2、均勻細桿的微小縱振動、均勻細桿的微小縱振動,ttP x

19、x tP x tSS x ux t ,P xx tP x tPxxxx,u x t,u xx tx細桿振動的源動力為縱向應變細桿振動的源動力為縱向應變,uu x t振動位移振動位移,P x t應力應力(兩方單位橫截面的作用力兩方單位橫截面的作用力),ttP xx tP x tux txttPux2222uuYtx222220uuatxuPYxYa1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程（一）波動方程（一）波動方程( (雙曲型方程雙曲型方程) )胡克定律胡克定律2ttxxua u電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物

20、理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程（一）波動方程（一）波動方程( (雙曲型方程雙曲型方程) )3.3.薄膜振動方程薄膜振動方程2()( , , , )ttxxyyzzuauuuf x y z t2()( , , )ttxxyyua uuf x y t二維薄膜振動方程二維薄膜振動方程三維波動方程三維波動方程4.4.理想傳輸線方程（電報方程）理想傳輸線方程（電報方程）11,ttxxttxxiivvLCLC一維波動方程一維波動方程電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程, , ,EE

21、x y z t, , ,HH x y z t麥克斯韋方程組及電流連續性方程麥克斯韋方程組及電流連續性方程 5.5.電磁場波動方程電磁場波動方程( (無源區無源區) )1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程（一）波動方程（一）波動方程( (雙曲型方程雙曲型方程) )電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程/0HEtEHJtEH 2()EEE 222EEt 220ttEaE1a220ttHaH5.5.電磁場波動方程電磁場波動方程( (無源區無源區) )1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程（一）波動

22、方程（一）波動方程( (雙曲型方程雙曲型方程) )00HEtEHtEH 無源區無源區2E ()Ht (0)J電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程（二）熱傳導方程（二）熱傳導方程( (拋物型方程拋物型方程) ) 一根長為一根長為L L的均勻導熱細桿，側面絕熱，內部無熱源。其熱的均勻導熱細桿，側面絕熱，內部無熱源。其熱傳導系數為傳導系數為k k，比熱為，比熱為c c，線密度為，線密度為。求桿內溫度。求桿內溫度 變化的變化的規律。規律。問題問題：一維熱傳

23、導：一維熱傳導( , )u x t研究對象：研究對象： 溫度場溫度場 ( , , , )u x y z t物理規律物理規律：能量守恒定律：能量守恒定律推導：推導：熱流強度：熱流強度：uqkx (擴散定律擴散定律) 設桿中的熱流沿設桿中的熱流沿x軸正向流動，強度為軸正向流動，強度為q(x,t)，溫度分布為，溫度分布為 u(x,t)。考察。考察x,x+dx段細桿，其其內部熱能變化為：段細桿，其其內部熱能變化為：dQc m du 電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的

24、數學物理方程（二）熱傳導方程（二）熱傳導方程( (拋物型方程拋物型方程) ) ( , )(, )dQq x tq xdx t dtcdx du 1dudqdtcdx 221 dduk d ukcdxdxcdx22()txxkua uac一維熱傳導方程一維熱傳導方程由能量守恒定律：由能量守恒定律：dQc m du dqdxdtdx uqkx 電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程（二）熱傳導方程（二）熱傳導方程( (拋物型方程拋物型方程) )推廣：三維

25、熱傳導方程推廣：三維熱傳導方程熱場熱場MSSVn三維熱傳三維熱傳導方程導方程222=(+)+ ( , , )txxyyzzuau a uuuf x y z熱源分布熱源分布函數函數電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程（三）穩定場方程（三）穩定場方程( (拉普拉斯方程拉普拉斯方程) )物理問題的產生物理問題的產生： 在演化問題中，有時會到達一個不隨時間變化的在演化問題中，有時會到達一個不隨時間變化的穩定狀態，對應的方程稱為穩定狀態，對應的方程稱為穩定場

26、方程穩定場方程。 如細桿中熱傳導，或半導體中雜質擴散達到穩定狀態。如細桿中熱傳導，或半導體中雜質擴散達到穩定狀態。數學方程形式數學方程形式： 在對應的演化方程中取消時間變量在對應的演化方程中取消時間變量t，對對t的導數為零的導數為零。2(+)+ ( , , )txxyyzzua uuuf x y z0穩定場方程穩定場方程電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程（三）穩定場方程（三）穩定場方程( (拉普拉斯方程拉普拉斯方程) )0 xxyyzzuuu1

27、1、熱傳導的穩定狀態、熱傳導的穩定狀態熱傳導趨于平衡熱傳導趨于平衡,溫度溫度u(x,y,z,t)趨于趨于u(x,y,z)0,ut有有故故方方程程可可化化成成：Laplace方程方程( , , )xxyyzzuuuf x y zPoisson方程方程不隨時間變化不隨時間變化電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.2 1.2 典型的數學物理方程典型的數學物理方程（三）拉普拉斯方程（三）拉普拉斯方程( (橢圓型方程橢圓型方程) )2 2、靜電場的電位方程、靜電場的電位方程電勢電勢u 確定所要研究的物理量：

28、確定所要研究的物理量：根據物理規律建立微分方程：根據物理規律建立微分方程：uE / E()Eu 2=/xxyyzzuuuu 2=0 xxyyzzuuuu2u / 拉普拉斯方程拉普拉斯方程( (無源場無源場) ) 泊松方程泊松方程 電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.3 1.3 定解條件定解條件 同一類物理現象中，各具體問題又有其特殊性。同一類物理現象中，各具體問題又有其特殊性。邊界條邊界條件件和和初始條件初始條件反映了具體問題的反映了具體問題的特殊環境特殊環境和和歷史歷史，即個性。，即個性。初始

29、條件：初始條件： 能夠用來說明某一具體物理現象能夠用來說明某一具體物理現象初始狀態初始狀態的條件。的條件。邊界條件：邊界條件： 能夠用來說明某一具體物理現象能夠用來說明某一具體物理現象邊界上邊界上的約束情況的的約束情況的條件。條件。其他條件：其他條件： 能夠用來說明某一具體物理現象情況的條件。能夠用來說明某一具體物理現象情況的條件。電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.3 1.3 定解條件定解條件（一）初始條件（一）初始條件描述系統的初始狀態描述系統的初始狀態初始時刻的溫度分布：初始時刻的溫度分布

30、：2 2、熱傳導方程的初始條件、熱傳導方程的初始條件0( , , , )|( , , )tu x y z tx y z3 3、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件 描述描述穩恒狀態穩恒狀態，與初始狀態無關，無初始條件，與初始狀態無關，無初始條件1 1、波動方程的初始條件、波動方程的初始條件00|( )( )ttuxuxt系統各點的系統各點的初位移初位移系統各點的系統各點的初速度初速度 初始條件應當給出整個系統的初始狀態，不能僅給出個初始條件應當給出整個系統的初始狀態，不能僅給出個別地點的初始狀態。別地點的初始狀態。電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場

31、數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.3 1.3 定解條件定解條件（二）邊界條件（二）邊界條件描述系統在邊界上的狀況描述系統在邊界上的狀況(2)自由端：自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用端既不固定，又不受位移方向力的作用:1 1、波動方程的邊界條件、波動方程的邊界條件(1)(1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為：固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為：( , )|0,x au x t( , )0u a t 或：或：0 x aux( , )0 xu a t(3) 彈性支承端：在彈性支承端：在x=a端受到彈性系數為端受到彈性系數

32、為k 的彈簧支承：的彈簧支承：x ax auTkux 0 x auux第一類邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件第三類邊界條件 胡克定律：胡克定律：電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.3 1.3 定解條件定解條件（二）邊界條件（二）邊界條件描述系統在邊界上的狀況描述系統在邊界上的狀況2 2、熱傳導方程的邊界條件、熱傳導方程的邊界條件(1) (1) 邊界上溫度恒定邊界上溫度恒定|sufS:給定區域給定區域 v 的邊界的邊界(2) (2) 絕熱狀態絕熱狀態0sun(3)(

33、3)熱交換狀態熱交換狀態 牛頓冷卻定律：牛頓冷卻定律：1SSuuun第一類邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件第三類邊界條件電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.3 1.3 定解條件定解條件（二）邊界條件（二）邊界條件描述系統在邊界上的狀況描述系統在邊界上的狀況3 3、穩定場方程的邊界條件、穩定場方程的邊界條件(1) (1) 第一類邊界條件第一類邊界條件1|sufS:給定區域給定區域 v 的邊界的邊界(2) (2) 第二類邊界條件第二類邊界條件sufn(3) (3) 第

34、三類邊界條件第三類邊界條件211212,SSuf ufSSSnS:給定區域給定區域 v 的邊界的邊界S:給定區域給定區域 v 的邊界的邊界電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程0,0,0 xx lu x tu x t0,0,0 xxxx lux tux t222220uuatx齊次邊界條件齊次邊界條件齊次邊界條件齊次邊界條件1.3 1.3 定解條件定解條件（二）邊界條件（二）邊界條件描述系統在邊界上的狀況描述系統在邊界上的狀況4 4、邊界條件舉例、邊界條件舉例 求解均勻細桿的微小縱振動問題：求解均勻細桿的微小縱振動問題：

35、1 1）若兩端固定：）若兩端固定：2 2）若兩端自由）若兩端自由 且不受力：且不受力：泛定方程：泛定方程：102,( )/,( )/xxxx lux tf tYSux tf tYS非齊次邊界條件非齊次邊界條件3 3）若兩端自由）若兩端自由 且受力：且受力：電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程 x luYSf tx 1x luf txYSuPYx 1x lftuxYS 20 xftuxYS邊界條件推導過程：邊界條件推導過程：（第二類邊界條件）（第二類邊界條件）（三）定解條件舉例（三）定解條件舉例1.3 1.3 定解條件定

36、解條件xxx,u x t,u xx t 1ft 2ft 求解均勻細桿的微小縱振動問題：求解均勻細桿的微小縱振動問題：電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程（第三類邊界條件）（第三類邊界條件）（三）定解條件舉例（三）定解條件舉例1.3 1.3 定解條件定解條件 細桿導熱問題細桿導熱問題 桿的端點桿的端點 自由冷卻，即桿的端部與周圍介質（溫自由冷卻，即桿的端部與周圍介質（溫度為度為T）按牛頓冷卻定律交換熱量。）按牛頓冷卻定律交換熱量。0,xxl0 x lx lukh uTx0 x lkuuThxuqkx xxdx0 x lq

37、h uT 1x luuAftx 20 xuuBftx( (熱傳導定律熱傳導定律) )( (牛頓冷卻定律牛頓冷卻定律) )20txxua u泛定方程：泛定方程：邊界條件：邊界條件： 11Tft 22Tft電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.4 1.4 定解問題定解問題（一）定解問題及相關概念（一）定解問題及相關概念1 1、定解問題、定解問題(1)(1)初值問題初值問題：只有只有初始條件，初始條件，沒有沒有邊界條件的定解問題；邊界條件的定解問題；(2)(2)邊值問題邊值問題：沒有沒有初始條件，初始條

38、件，只有只有邊界條件的定解問題；邊界條件的定解問題；(3)(3)混合問題混合問題：既有既有初始條件，初始條件，也有也有邊界條件的定解問題。邊界條件的定解問題。 把某種物理現象滿足的把某種物理現象滿足的偏微分方程偏微分方程( (泛定方程泛定方程) )和其相應的和其相應的定解條件定解條件結合在一起，就構成了一個定解問題。結合在一起，就構成了一個定解問題。電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.4 1.4 定解問題定解問題（二）定解問題的適定性（二）定解問題的適定性l 定解問題的定解問題的適定性檢驗適定性

39、檢驗： 解的解的存在性存在性：定解問題是否有解；：定解問題是否有解；解的解的唯一性唯一性：是否只有唯一解；：是否只有唯一解；解的解的穩定性穩定性：定解條件微小變動時，解是否相應微小變動。：定解條件微小變動時，解是否相應微小變動。不適定問題：一般來說，方程的階數對應于定解條件的個數如條件多了，將會破壞解的存在性；如條件少了，將會破壞解的唯一性。l 適定性的意義：適定性的意義： 定解問題是實際問題的數學模型，其適定性是對模定解問題是實際問題的數學模型，其適定性是對模型能否反映實際問題的一般要求。型能否反映實際問題的一般要求。電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學

40、方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二篇 數學物理方程1.4 1.4 定解問題定解問題（三）疊加原理（三）疊加原理 線性方程的解可以分解成幾個部分的線性方程的解可以分解成幾個部分的線性疊加線性疊加，只要這些，只要這些部分各自滿足的方程的相應的線性疊加正好是原來的方程部分各自滿足的方程的相應的線性疊加正好是原來的方程 iiLuf,iiffuuLuf0iLu iuu0Lu 疊加原理應用：疊加原理應用：1 1）齊次方程的兩個解的線性組合仍為原方程的解；）齊次方程的兩個解的線性組合仍為原方程的解；2 2）非齊次方程的特解加對應的齊次方程的解，結果為非）非齊次方程的特解加對應的齊次方程的解，結果為非

41、齊次方程的解；齊次方程的解；非齊次方程非齊次方程齊次方程齊次方程電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程例例 一根長為一根長為 的弦，兩端固定于的弦，兩端固定于 和和 , ,在距離坐標原點在距離坐標原點為為 的位置將弦沿著橫向拉開距離的位置將弦沿著橫向拉開距離 ，如圖所示，然后放手任其振，如圖所示，然后放手任其振動，試寫出定解問題。動，試寫出定解問題。 x x u u o o b b l l h h 7 7 解：解：弦自由振動滿足波動方程弦自由振動滿足波動方程邊界條件：邊界條件： l0 x xlbh22222,uuatx(

42、0,0)xl t(0, )0,( , )0,(0)utu l tt初始條件：初始條件：0( , )( ,0)0,(0)tttu x tu xxl0(0)( , )()()thxxbbu x thlxbxllb1.4 1.4 定解問題定解問題電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程定解問題小結定解問題小結定定解解問問題題泛泛定定方方程程定定解解條條件件波動方程波動方程熱傳導方程熱傳導方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程2()( , , ; )ttxxyyzzua uuuf x y z t2()( , , ; )txxyyzzua u

43、uuf x y z t2()( , , )xxyyzzuuuuf x y z初始條件初始條件(初值，初速初值，初速)邊界條件邊界條件(第一、二、三類第一、二、三類)其他條件其他條件初值問題初值問題邊值問題邊值問題混合問題混合問題電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程課程內容課程內容三種方程三種方程 四種求解方法四種求解方法 二個特殊函數二個特殊函數分離變量法分離變量法積分變換法（積分變換法（）格林函數法格林函數法波動方程波動方程熱傳導方程熱傳導方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程貝賽爾函數貝賽爾函數(柱坐標系柱坐標系)勒讓德函數

44、勒讓德函數(球坐標系球坐標系)行波法行波法電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程第二章第二章 波動方程的達朗貝爾解法波動方程的達朗貝爾解法 第二篇 數學物理方程達朗貝爾解法達朗貝爾解法行波法行波法2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解2.2 三維波動方程的達朗貝爾解三維波動方程的達朗貝爾解 電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解常微分方程的常微分方程的求解步驟求解步驟

45、： 1 1、先求方程的通解（含有積分常數、先求方程的通解（含有積分常數任意）任意） 2 2、由定解條件確定積分常數。、由定解條件確定積分常數。電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程2222200( , ), 0,( , )( )( , )( )tttuuaf x ttxRtxu x txu x tx2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解（一）達朗貝爾公式的推導（一）達朗貝爾公式的推導無界弦無界弦振動的定解問題的一般形式振動的定解問題的一般形式作用力作用力初始位移初始位移初始速度初始速度達朗貝爾法

46、僅適用于無界達朗貝爾法僅適用于無界/ /半無界波動方程求解。半無界波動方程求解。無界波動方程定解問題為初值問題。無界波動方程定解問題為初值問題。電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解（一）達朗貝爾公式的推導（一）達朗貝爾公式的推導1 1、無界弦的自由振動（齊次方程）、無界弦的自由振動（齊次方程）2222200, 0,( , )( )( , )( )tttuuatxRtxu x txu x tx定解問題：定解問題：求解思路：先求通解，再求特解。求解思路：先求通

47、解，再求特解。(a為常數為常數)作線性變換：作線性變換：xatxat1()21()2xta 第一步：求通解。第一步：求通解。電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解（一）達朗貝爾公式的推導（一）達朗貝爾公式的推導1 1、無界弦的自由振動（齊次方程）、無界弦的自由振動（齊次方程）222220uuatx由復合函數求導法則：由復合函數求導法則：xatxatuuuxxx uu22uuuxxxxx222222uuu 同理可得：同理可得：222222222uuuuat 電

48、子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解（一）達朗貝爾公式的推導（一）達朗貝爾公式的推導1 1、無界弦的自由振動、無界弦的自由振動( (續續) )20u 代入方程整理可得：代入方程整理可得：對對 積分積分0( )uf對對 積分積分02( )( )ufdf1( )f12( )( )uff12()()f xatfxat= =？由定解條件確定由定解條件確定第二步：利用定解條件定解。第二步：利用定解條件定解。（通解）（通解）00( , )( )( , )( )tttu

49、x txu x tx12( )( )( )f xf xx12( )( )( )a fxfxx電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解（一）達朗貝爾公式的推導（一）達朗貝爾公式的推導1 1、無界弦的自由振動、無界弦的自由振動( (續續) )1212( )( )( )( )( )( )f xfxxa fxfxx00121( )( )( )xxxxffdda 0121( )( )( )xxfxfxdCa 1020()()fxfx001211( )( )( )2221

50、1( )( )( )222xxxxCf xxdaCfxxda 12()()uf xatfxat11 ()()( )22x atx atxatxatda 達朗貝爾公式達朗貝爾公式電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解（二）達朗貝爾公式的物理意義（二）達朗貝爾公式的物理意義12()()uf xatfxat2()fxat以以 為例說明。為例說明。2()cos()fxatxt0t4t2tx xExEx 0 02 23 3 ：沿：沿x x方向傳播行波方向傳播行波2()

51、fxat ：沿：沿-x-x方向傳播行波方向傳播行波1()f xat達朗貝爾公式表明：弦上的任意擾動，總是以行波的形達朗貝爾公式表明：弦上的任意擾動，總是以行波的形式分別向兩側傳播的，且傳播速度等于方程中的常數式分別向兩側傳播的，且傳播速度等于方程中的常數a a。電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解（二）達朗貝爾公式的物理意義（二）達朗貝爾公式的物理意義11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda 由達朗貝爾公式可知：解在由達

52、朗貝爾公式可知：解在(x0,t)處的值，僅依賴于初始條件在處的值，僅依賴于初始條件在區間區間x0-at,x0+at的值的值依賴區間依賴區間：x0-at,x0+atxt0(, )x t1x2x區域內任意點的值區域內任意點的值由由x1,x2初值決定初值決定 三角形區域內任意點的值，均由三角形區域內任意點的值，均由x1,x2的初值的初值決定決定稱三角形區域為稱三角形區域為x1,x2的的決定區域決定區域。電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程20ttxxua u00( , )cos( )( , )2tttu x txu x t例

53、：求定解問題例：求定解問題11( , )cos()cos()222x atx atu x txatxatdacos cos2xatt11 ()()( )22x atx atuxatxatda 解：由達朗貝爾公式解：由達朗貝爾公式( ) x( ) x2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解11cos()cos()()()2xatxatxatxata電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程例：求解弦的自由震動，設弦的初始位移為例：求解弦的自由震動，設弦的初始位移為 ，初始速，初始速度為度為 。x（ ）(

54、 )ax解：寫出其定解問題解：寫出其定解問題20,(,0)( ,0),( ,0)( )ttxxtua uxtu xx u xax （）由達朗貝爾方程由達朗貝爾方程11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatada ()xat11 ()() ()()22xatxatxatxat2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解（三）達朗貝爾公式的應用（三）達朗貝爾公式的應用2. 2

55、. 無界弦的受迫振動無界弦的受迫振動（I）（II）（III）2222200( , ), 0,( , )( )( , )( )ttuuaf x ttxRtxu x txux txt2222200, ( , )( )( , )( )ttuuatxu x txux txt2222200( , ), ( , )0( , )0ttuuaf x ttxu x tux tt+ +原問題原問題疊加原理疊加原理達朗貝爾公式達朗貝爾公式齊次化齊次化原理原理外力作用外力作用等效問題等效問題電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程2.1 2.1

56、一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解（三）達朗貝爾公式的應用（三）達朗貝爾公式的應用3 3、端點固定半無界弦的自由振動、端點固定半無界弦的自由振動20ttxxua u0( , )( )(0)ttu x txx 0( , )( )(0)tu x txx 0( , )0(0)xu x tt0111( )( )( )222xxCf xxda 0211( )( )( )222xxCfxxda 12()()uf xatfxat(0)x 代入代入初始初始條件條件可得可得O Ox由波動方程法得方程通解為：由波動方程法得方程通解為：(0)x 半無界半無界端點固定端點固定( (邊界條件邊界條件) )

57、電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解代入代入邊界邊界條件條件可得可得（三）達朗貝爾公式的應用（三）達朗貝爾公式的應用12()()0f atfat(0)at xat令12( )()0f xfx21()( )fxf x (0)x (0)x 3 3、端點固定半界弦的自由振動、端點固定半界弦的自由振動( (續續) )即：即：x0 x0時，時，21( )()fxfx 電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇

58、數學物理方程11 ()()( )22x atx a tuxatxatda 0111()()( )222x atxCf xatxatda 0211()()( )222x atxCfxatxatda （1）x at, 即即 x - at 0（三）達朗貝爾公式的應用（三）達朗貝爾公式的應用3 3、端點固定半界弦的自由振動、端點固定半界弦的自由振動( (續續) )2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解與達朗貝爾與達朗貝爾公式相同公式相同電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程0111()()( )222x

59、 atxCf xatxatda （2）x at, 即即 x - at 0（三）達朗貝爾公式的應用（三）達朗貝爾公式的應用011()( )222at xxCatxda 22() ()fxatfatx1()f atx 21()( )fxf x 11 ()()( )22x atat xuxatatxda 3 3、端點固定半界弦的自由振動、端點固定半界弦的自由振動( (續續) )2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾解一維波動方程的達朗貝爾解與達朗貝爾與達朗貝爾公式不同公式不同電子科技大學電子科技大學電磁場數學方法課程組電磁場數學方法課程組電磁場數學方法電磁場數學方法第二篇 數學物理方程另解：用另解：

60、用延拓延拓的方法求解。的方法求解。（三）達朗貝爾公式的應用（三）達朗貝爾公式的應用3 3、端點固定半界弦的自由振動、端點固定半界弦的自由振動( (續續) )所謂延拓，是指根據問題奇偶性，將初始條件函數的定義所謂延拓，是指根據問題奇偶性，將初始條件函數的定義域擴展到域擴展到-,+區間，以利用達朗貝爾公式直接求解。區間，以利用達朗貝爾公式直接求解。由達朗貝爾公式及邊界條件：由達朗貝爾公式及邊界條件：0( , )0 xu x t110(0, )()()( )22atatutatatda 為相互獨立任意函數為相互獨立任意函數()()( )()atat 奇函數奇函數2.1 2.1 一維波動方程的達朗貝爾