1、應用回歸分析證明題及答案.證明殘差滿足的約束條件:ei i 1n0,xe0。i 1證畢.證明：由偏導方程即得該結論：?2 n (%?0 W)000 i 1-Q ?2n(yi ?0 ?x)% 01 1 1 i 1.證明平方和分解式：SST SSR SSE證明:?i)(? y)n 2SST(yi y)2i 1n(y? y)2 i 1n(yi? y? y)2i 1nn(V1 ?)2 2 (Vi 1i 1nn上式第二項 2 e? ey i 1i 1n2e(?0?x) 0i 1n2?0ei 1n1xi ei )i 1n即 SST (? y)2i 1(yi yi)2 i 1SSR SSE證畢.三.證明三種

2、檢驗的關系:F=麗 =J t2SSE/(n 2)?2證明：由于eSST SSRSSR 心匚 2 r 2SST,所以 Lyy SSRSSR/1SSE/(n 2)?2I1 XX.證畢.四.證明：Var(ei)1(為 x)2證明：由于于是yiyiyi(XiX)2i(XiyiiXi)X)(Xix) y(XiXXX)X2Var(e) Var(Xi X) yV.(X x)LXXVarV-12-Var nn(x x)yiy Var (X X)1LXX2Cov yV2Cov yi,(Xi X)y1(為XXx)2Cov - yi, n i 1(X X)XLXX(XX)212 (xi X) 2 o12 Kxi x

3、)- 2 -2nLxxnLxx1(X X)221nLxx證畢.五.證明：在一元回歸中，Cov( ?o, ?)LXX證明：Cov( ?0, ?) Cov(為 x)yi _(x x)yix ,CovCovLxxLxxxLxx六.證明：?2證明：由于所以七.證明:證明：(Xi x) XLxxx(xix)xLxx(xi ：x Lxxx) (xiLxxyi,yi,x)nOyi i 1Lxx口i 1Lxx證畢.一1一 SSE是誤差項方差 2的無偏估計。n p 1D(e)E(e2)E(?2) E n P 1P 1 1_ P 1D(ei)-SSE 1nD(ei)i 1(xi x)22(X x)2E(e) 2D

4、(ei)(n P 1)21(XX) 0E (XX) 1X y1_(X X) X E X B(XX) 1XX bnE(e2)i 1(X X) 1X(1hi) 2證畢.D(?) Cov ?, ? Cov (XX) 1Xy,(XX) 1Xy11(XX) 1XCov y,y X(X X) 1121(XX) 1X 2IX(XX) 1212(X X) 1 證畢 .八.證明：在多元線性回歸中，假設e N(0, 2In),則隨機向量y N(X0 2In) 0九.證明：當y N(XB, 2In)時，則：(1) ? N(B, 2(X X) 1) ； (2) SSE/ 2 (n p 1)。證明：(1)因為？(XX)

5、1Xy, X是固定的設計矩陣，因此，？是丫的線性變換。又當e N(0, 2In)時，有隨機向量y N(Xg 2In),所以？服從正態分布，且E(?) B,D(?)2(XX)1,即有？ N(g 2(XX) 1)0( 2) ：由于SSE ee (y-y?) (y-y?)(I -H)y (I -H)y y(I -H)y yNy (XB ) N(X p )NX 0 eN &借助于定理：設X N(0,In),人為門n對稱陣，秩為r,則當A滿足：A2 A ,二次型XA2X:；，只需證明：rk(N) n p 1即可。因為N是幕等陣，所以有rk(N) tr(N),故 1 rk(N) tr I n X(

6、X X) 1Xn tr X(XX) 1X 1n tr (X X) 1 X Xn p1證畢 .十.證明：在多元線性回歸中，最小二乘估計?與殘差向量e不相關，即Cov(?e) 00證明：Cov逐,e) Cov (X X) 1X y,(I H)y(X X) 1X Cov y,y (I H)12(X X) X I(I H)121(X X) X I(I X(X X) X )0證畢.十一.證明:證明：由于DW 2(1?），其中？nnetet 1nDWn(ett 2et 1)22ett 22et 1t 2netet 1n2ett 2n2ett 2nnnetet 1如果認為ee21,則有？w，所以t 2 t 22ett 2netet 1DW 2 12n2(1 ?)