1、第二章第二章 確定信號分析確定信號分析 第一節第一節 確定信號的傅里葉變化及其推導確定信號的傅里葉變化及其推導第二節第二節 典型信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換第三節第三節 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質第四節第四節 周期信號的傅里葉變換及抽樣定理周期信號的傅里葉變換及抽樣定理QH2.0.2第一節第一節 確定信號的傅里葉變換確定信號的傅里葉變換及其推導及其推導1 1，傅里葉變換的基本結論傅里葉變換的基本結論2 2，三角形式的傅里葉級數的推導三角形式的傅里葉級數的推導3 3，三角形式的傅里葉級數的分析三角形式的傅里葉級數的分析4 4，指數形式的傅里葉級數的推導指數形式的傅里葉級數的推導5

2、5，指數形式的傅里葉級數的分析指數形式的傅里葉級數的分析6 6，傅里葉變換的推導傅里葉變換的推導7 7，傅里葉變換的分析傅里葉變換的分析QH2.1.1（1 1）三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數（2 2）復數形式的傅里葉級數復數形式的傅里葉級數（3 3）傅里葉變換傅里葉變換0111( )cos()sin()2nnnaf tantbnt1( )jntnnf tF e2( )( )jftf tF f edf1 1，傅里葉變換的基本結論傅里葉變換的基本結論QH2.1.2 式式2.1.12.1.1根據三角函數的正交性，對式根據三角函數的正交性，對式2.1.12.1.1兩邊積分，得：兩邊積分，得：

3、0111( )cos()sin()2nnnaf tantbnt00222111222()cos()sin()22TTTnnTTTnaaf tdtdtan tbn tdtT2022( )TTaf t dtT2 2，三角形式的傅里葉級數的推導三角形式的傅里葉級數的推導QH2.1.3對式對式2.1.12.1.1兩邊同乘兩邊同乘 再在再在 積分，得：積分，得：1cos()nt,2 2T T212( )cos()TTf tnt dt20221111122cos()cos ()sin()cos()2TTnnTTnant dtantbntnt dt2naT2122( )cos()TnTaf tnt dtT2

4、 2，三角形式的傅里葉級數的推導三角形式的傅里葉級數的推導QH2.1.4同理，對式同理，對式2.1.12.1.1兩邊同乘兩邊同乘 再在再在 積分，得：積分，得：1sin()nt,2 2T T212( )sin()TTf tnt dt2nbT20221111122sin()cos()sin()sin ()2TTnnTTnant dtantntbnt dt2122( )sin()TnTbf tnt dtT2 2，三角形式的傅里葉級數的推導三角形式的傅里葉級數的推導QH2.1.5由此可得三角形式的傅里葉級數：由此可得三角形式的傅里葉級數：其中：其中：0111( )cos()sin()2nnnaf t

5、antbnt2022( )TTaf t dtT2122( )cos()TnTaf tnt dtT2122( )sin()TnTbf tnt dtT2 2，三角形式的傅里葉級數的推導三角形式的傅里葉級數的推導式式2.1.22.1.2式式2.1.32.1.3式式2.1.42.1.4QH2.1.6（1 1）奇偶性奇偶性 為偶函數為偶函數 為奇函數為奇函數2122( )cos()TnTaf tnt dtT2122( )sin()TnTbf tnt dtT3 3，三角形式的傅里葉級數的分析三角形式的傅里葉級數的分析QH2.1.7（2 2）同頻合并同頻合并： 其中：其中： 被稱為頻率譜，被稱為頻率譜， 被

6、稱為相位譜。被稱為相位譜。011( )cos()2nnncf tcnt00ca22nnncabarctan()nnnba ncn3 3，三角形式的傅里葉級數的分析三角形式的傅里葉級數的分析QH2.1.8令令 ，則，則 （奇偶性）（奇偶性）令令 ，則得：，則得：1111cos()()2jntjntntee1111sin()()2jntjntnteej0111( )cos()sin()2nnnaf tantbnt111101()()222jntjntjntjntnnnaabeeeej1101()()222jntjntnnnnnaajbajbee1()2nnajbF n1()2nnajbFn0(0)

7、2aF1( )jntnnf tF e4 4，指數形式的傅里葉級數的推導指數形式的傅里葉級數的推導QH2.1.91()2nnajbF n21121( )(cos()sin()TTf tntjnt dtT1221( )TjntTf t edtT4 4，指數形式的傅里葉級數的推導指數形式的傅里葉級數的推導2211221 22( )cos()( )sin()2TTTTf tnt dtjf tnt dtTTQH2.1.10（1 1）指數形式的傅里葉級數對指數形式的傅里葉級數對 式式2.1.5 2.1.5 式式2.1.62.1.6（2 2）思考：其中的思考：其中的2 2到哪去了？到哪去了？1( )jntn

8、nf tF e1221( )( )TjntTF nf t edtT2122( )cos()TnTaf tnt dtT1221( )( )TjntTF nf t edtT5 5，指數形式的傅里葉級數的分析指數形式的傅里葉級數的分析QH2.1.11（3 3） 其中頻率譜其中頻率譜 相位譜相位譜（4 4） 當當 為偶函數時，為偶函數時， ，則，則 為實函數，為實函數， 當當 為奇函數時，為奇函數時， ，則，則 為純虛函數，為純虛函數，11()()2njnnajbF nF ne2211()22nnncF nabarctan()nnnba 2122( )cos()TnTaf tnt dtT2122( )

9、sin()TnTbf tnt dtT( )f t0nb 1()F n( )f t0na 1()F n5 5，指數形式的傅里葉級數的分析指數形式的傅里葉級數的分析QH2.1.12由上一節的推導可知，由上一節的推導可知，兩邊同乘兩邊同乘T T，得：，得： ，其中，其中當當 時，時， 令令 ， 則則12121()( )TjntTF nf t edtT1212()( )TjntTTF nf t edt2TT 120T1n112()( )j tF nf t edt112( )()FF n()( )j tFf t edt1111()( )jntnF nf te6 6，傅里葉變換的推導傅里葉變換的推導QH2

10、.1.13 ，且且 ， 112( )()FF n1d( )1( )( )22j tj tFf tedFed6 6，傅里葉變換的推導傅里葉變換的推導2( )jftF f edfQH2.1.14（1 1）傅里葉變換對：傅里葉變換對： 式式2.1.72.1.7 式式2.1.82.1.8 規律：正變換為負，反變換為正。規律：正變換為負，反變換為正。（2 2）傅里葉變換的基本條件：無限區間絕對可積傅里葉變換的基本條件：無限區間絕對可積2( )( )jftf tF f edf2( )( )jftF ff t edt7 7，傅里葉變換的分析傅里葉變換的分析QH2.1.15第二節第二節 典型信號的傅里葉變換典

11、型信號的傅里葉變換1 1，沖擊函數沖擊函數2 2，沖擊偶函數沖擊偶函數3 3，單邊指數信號單邊指數信號4 4，雙邊指數信號雙邊指數信號5 5，符號函數符號函數6 6，指數函數指數函數7 7，余弦函數余弦函數8 8，矩形窗函數矩形窗函數QH2.2.1( )( )f tt2( )( )1jftF ft edt1 1，沖擊函數沖擊函數思考：思考：0 0頻率與沖擊的區別。頻率與沖擊的區別。QH2.2.2( )( )f tt22( )( )( )jftjftF ft edtt e2jf2( )(2)jfttjf edt2 2，沖擊偶函數沖擊偶函數QH2.2.3( )0atef t00tt2( )( )j

12、ftF ff t edt3 3，單邊指數信號單邊指數信號2012atjfteedtajfQH2.2.4( )atf te2( )( )jftF ff t edt2211222(2)aajfajfaf4 4，雙邊指數信號雙邊指數信號0220atjftatjfte edteedtQH2.2.5 可以看成是可以看成是 ，1( )sgn( )1f tt00ttsgn( ) t0limatae22( )( )jftjatjftF ff t edteedt2202 21lim(2)ajfjfaf5 5，符號函數符號函數QH2.2.6020( )()jf tf teff( )1t2( )jfttedf2(

13、)jftfedt0222( )( )jf tjftjftF ff t edteedt6 6，指數函數指數函數QH2.2.70001( )cos(2) ()()2f tf tffff002201cos(2)()2jf tjf tf tee001( ) ()()2F fffff7 7，余弦函數余弦函數QH2.2.8( )( )0TAf tG t22TTtother 2( )( )jftF ff t edt22 sin()22fTAjjf8 8，矩形窗函數矩形窗函數2222222()2TTTjfjfjftTAAedteejf()sin ()ATSinfTATc fTfTQH2.2.9第三節第三節 傅

14、里葉變換的性質傅里葉變換的性質1 1，對稱性對稱性2 2，尺度變換尺度變換3 3，時移特性時移特性4 4，頻移特性頻移特性5 5，奇偶虛實性奇偶虛實性6 6，傅里葉變換綜合例題傅里葉變換綜合例題QH2.3.11 1，對稱性對稱性 若若 ，則，則推導：推導： 互換互換 和和 ，得：，得： 也即也即( )( )f tF f( )()F tff2( )( )jftf tF f edf2()( )jftftF f edfft2()( )jftffF t edt( )()F tffQH2.3.22 2，尺度變換尺度變換若若 ，則，則推導：推導： 令令 則則 ( )( )f tF f1()()ff atF

15、aa21( )()jftF ff at edtxat1dtdxa2111( )( )()fjxafF ff x edxFaaa2111( )( )()fjxafF ff x edxFaaa1()()ff atFaa0a 0a QH2.3.33 3，時移特性時移特性若若 ，則，則推導：推導： 令令 則則 ( )( )f tF f020()( )jftf ttF f e210( )()jftF ff tt edt0 xtt 0txt02()1( )( )jf x tF ff x edx002221( )( )( )jftjftjfxF ff x edxeF f eQH2.3.44 4，頻移特性頻移

16、特性若若 ，則，則推導：推導： 令令 則則( )( )f tF f020()( )jf tF fff t e210( )()jftf tF ff edf0 xff0fxf02 ()1( )( )jxftf tF x edx022( )jf tjxtF x edxe02( )jf tf t eQH2.3.55 5，奇偶虛實性奇偶虛實性若若 ，則：，則：（1 1） （2 2） （3 3）推導：推導：（1 1） ( )( )f tF f()()ftFf*( )()ftFf*()( )ftFf2( )( )jftF ff t edt21( )()jftF fft edtxt ( 2)( )( 1)jf

17、 xf x edx( 2)( )()jf xf x edxFf( 2)()()()( 1)jftft edtQH2.3.65 5，奇偶虛實性奇偶虛實性（2 2）2( )( )jftF ff t edt*21( )( )jftF fft edt2* ( )jftf t edt( 2)*( )jf tf t edt*()Ff（3 3）由由(1)(2)(1)(2)即可得。即可得。QH2.3.76 6，傅里葉變換綜合練習題傅里葉變換綜合練習題（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）( )sin ( )f tc t( )()2TTf tgt( )()tf tT 1( )f tt2(

18、)()2jffH freceW QH2.3.80( )cos(2)cf tf t6 6，傅里葉變換綜合練習題傅里葉變換綜合練習題（1 1）( )sin ( )f tc t( )sin ()TG tATc fT1( )sin ( )G tc f11sin ( )()( )c tGfG fQH2.3.96 6，傅里葉變換綜合練習題傅里葉變換綜合練習題（2 2）( )()2bTTf tG t( )sin ()TG tATc fT( )sin ()Tb bbG tATc fT22()sin ()2bTjfTb bbTG tATc fT esin ()bjfTb bbATc fT eQH2.3.106

19、6，傅里葉變換綜合練習題傅里葉變換綜合練習題（3 3）( )()tf tT ( )sin ()sin ()jfTjfTf tAc fT eAc fT esin ()2 sinAc fTjfTsin2sin ()fTATjfc fTfT22sin()ATjfcfT2( )()sin()tf tATcfTT QH2.3.116 6，傅里葉變換綜合練習題傅里葉變換綜合練習題（4 4）1( )f tt1sgn( ) tjf1sgn( )jtf1sgn()sgn( )jfjft QH2.3.126 6，傅里葉變換綜合練習題傅里葉變換綜合練習題（5 5）0( )cos(2)cf tf tQH2.3.130

20、0(2)(2)1( )2ccjf tjf tf tee002212ccjf tjjf tjeeee001( ) ()()2jjccF fff eff e特別地：當特別地：當 時時0906 6，傅里葉變換綜合練習題傅里葉變換綜合練習題（6 6）2()( )2sin ( 2)2WtrectGtWc f WW22sin (2)()WWc WtGf222sin (2()( )jfWWc W tGf e 2( )()2jffH freceW 22sin (2)( )WWc WtGfQH2.3.14第四節第四節 周期信號的傅里葉變換及周期信號的傅里葉變換及抽樣定理抽樣定理1 1，周期信號的傅里葉變換周期信

21、號的傅里葉變換2 2，抽樣抽樣3 3，對抽樣的理解對抽樣的理解4 4，低通抽樣定理低通抽樣定理5 5，帶通抽樣定理帶通抽樣定理QH2.4.11 1，周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換設設 為周期信號，周期為為周期信號，周期為T T。則。則 可以展成傅里葉級數：可以展成傅里葉級數： 式式2.4.12.4.1對對式式2.4.12.4.1兩邊進行傅里葉變換可得：兩邊進行傅里葉變換可得： 式式2.4.22.4.2其中其中 為數值。為數值。由傅里葉變換的知識，由傅里葉變換的知識，式式2.4.22.4.2變為：變為：( )f t112( )jntjnf tnnnnf tF eF e12( )()jn

22、f tnnF fFenF121()jnf tefnf( )f t1( )()nnF fFfnfQH2.4.21 1，周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換其中其中 為為 的傅里葉級數的系數，即：的傅里葉級數的系數，即： 式式2.4.32.4.3現現在構造函數在構造函數 為為 在在 的一段，其他部分為的一段，其他部分為0 0，則，則 的傅里葉變換為：的傅里葉變換為： 式式2.4.42.4.4對照式對照式2.4.32.4.3與式與式2.4.42.4.4可知，可知， 12221( )( )Tjnf tTF nf t edtT,2 2T T1( )f t22212( )( )( )TjftjftTF

23、 ff t edtf t edt1111()( )fnfF nfF fTnF( )f t( )f t1( )f t1111( )() ()nF fF nffnfTQH2.4.31 1，周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換特例：特例：( )()nf ttnT1( )1f t 11( )()nf tfnfT當周期信號為沖擊序列時：當周期信號為沖擊序列時：1( )( )f tt 周期沖擊序列的傅里葉變換為：周期沖擊序列的傅里葉變換為：QH2.4.41 1，周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換周期信號傅里葉變換的另一種推導方法：周期信號傅里葉變換的另一種推導方法：11( )()TntfnfT1

24、1( )( )f tF f111( )( )()nf tF ffnfT1111() ()nF nffnfTQH2.4.5（1 1）抽樣的概念理解抽樣的概念理解（2 2）設連續信號設連續信號 的傅里葉變換為的傅里葉變換為 ，抽樣序列，抽樣序列 的的傅里葉變換為傅里葉變換為 。抽樣之后所得序列。抽樣之后所得序列 ，其，其傅里葉變換為傅里葉變換為 。（3 3）抽樣序列為周期信號，抽樣序列為周期信號， 其中用到了其中用到了 函數的卷積性質函數的卷積性質( )f t( )F f( )P f( )( ) ( )sf tf t p t( )sF f1( )()nnP fPfnf1( )( )* ( )( )

25、*()snnF fF fP fF fPfnf1()nnPF fnf( ) t ( )p t2 2，抽樣抽樣QH2.4.63 3，對抽樣的理解對抽樣的理解這是在這是在 影響下，影響下， 在頻域的平移，平移的周期是在頻域的平移，平移的周期是 。1( )()snnFfP F fnfnP( )F f1fQH2.4.73 3，對抽樣的理解對抽樣的理解（1 1）若若 是理想沖擊序列，則其傅里葉變換是理想沖擊序列，則其傅里葉變換 為：為：由周期信號傅里葉變換的性質，由周期信號傅里葉變換的性質， 也即抽樣后的頻譜為原信號的搬移，幅度僅變化為以也即抽樣后的頻譜為原信號的搬移，幅度僅變化為以前的前的 ，也即一種無失真的抽樣。，也即一種無失真的抽樣。( )p t( )P f1( )()nnP fPfnf1111()( )fn