1、高三數學選修（高三數學選修（）第三章）第三章 導數與微分導數與微分Maximum Value & Minimum Value of Function Maximum Value & Minimum Value of Function 授課教師：游建龍授課教師：游建龍更多資源更多資源xiti123.taobao 實際問題實際問題 如圖，有一長如圖，有一長80cm寬寬60cm的矩形不銹鋼薄板，用的矩形不銹鋼薄板，用此薄板折成一個長方體無蓋容器，要分別過矩形四個頂此薄板折成一個長方體無蓋容器，要分別過矩形四個頂點處各挖去一個全等的小正方形，按加工要求點處各挖去一個全等的小正方形，按加

2、工要求, 長方體長方體的高不小于的高不小于10cm且不大于且不大于20cm,設長方體的高為設長方體的高為xcm，體積為體積為Vcm3問問x為多大時，為多大時，V最大最大?并求這個最大并求這個最大值值解：由長方體的高為解：由長方體的高為xcm， 可知其底面兩邊長分別是可知其底面兩邊長分別是802x） cm，（602x)cm, (10 x20). 所以體積所以體積V與高與高x有以下函數關系有以下函數關系V=（802x）（）（602xx=440 x）（）（30 xx.( )f x 一般地，在閉區間a,b上連續的函數 在a,b上必有最大值與最小值.( ),(1,2).f xx x若改為若改為(a,b)

3、(a,b)情況情況如何如何? ?a,ba,b最值存在定理最值存在定理xyo1212( )f x 一般地，在閉區間a,b上連續的函數 在a,b上必有最大值與最小值.).1( 0),10( )(xxxxf若改為不連續呢若改為不連續呢? ?連續連續最值存在定理最值存在定理xyo11( ),(1,2).f xx xxyo1212求函數求函數 在在 內的極值；內的極值； )(xf),(ba求求 上的連續函數上的連續函數 的最大值與最小值的步驟的最大值與最小值的步驟:,ba將將 f (x) f (x)的各極值與的各極值與f (a)f (a)、f (b)f (b)比較，其中最大比較，其中最大的的 一個是最大

4、值，最小的一個是最小值一個是最大值，最小的一個是最小值 例例1 求函數求函數 在區間在區間 上的最大值與上的最大值與最小值最小值4225yxx2 , 2 求求a,ba,b上連續函數上連續函數 最值的方法最值的方法( )f x( )f x例題講解例題講解 例例1 求函數求函數 在區間在區間 上的最大值與上的最大值與最小值最小值4225yxx2 , 2 解：解：xxy443 從表上可知，最大值是從表上可知，最大值是1313，最小值是，最小值是4 413454132(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2+00+0當當x 變化時，變化時， 的變化情況如下表：的變化情況如下表：yy

5、, 0 y令令，有，有0443 xx，解得，解得1 , 0 , 1 xx yy單調性單調性（2 2將將 的解對應的函數值的解對應的函數值f(x)f(x)與與f(a)f(a)、f(b)f(b)比較，其比較，其 中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值( )0fx( )0fx（1 1在在(a,b)(a,b)內解方程內解方程 , , 但不需要判斷是否是極值點但不需要判斷是否是極值點, , 更不需要判斷是極大值還是極小值；更不需要判斷是極大值還是極小值；例題講解例題講解 例例1 求函數求函數 在區間在區間 上的最大值與最小值上的最大值與最小值4225yxx2 ,

6、 2 解：解：xxy443 從上表可知，最大值是從上表可知，最大值是13，最小值是，最小值是4當當x x 變化時，變化時， 的變化情況如下表：的變化情況如下表：yy , 0 y令令，有，有0443 xx，解得，解得1 , 0 , 1 x13454132(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2+00+0 x yy例題講解例題講解(0)5,f(1)4,f(2)13.f所求最大值是所求最大值是1313，最小值是，最小值是4 4 例例1 求函數求函數 在區間在區間 上的最大值與上的最大值與 最小值最小值42( )25yf xxx2 , 2 解：解：xxy443 0 y令令，有，有04

7、43 xx,解得解得1 , 0 , 1 x( 1)4,f (2)13,f又又（2 2將將 的解對應的函數值的解對應的函數值f(x)f(x)與與f(a)f(a)、f(b)f(b)比較，其比較，其 中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值( )0fx( )0fx（1 1在在(a,b)(a,b)內解方程內解方程 , , 求求 上的連續函數上的連續函數 的最大值與最小值的簡化步驟的最大值與最小值的簡化步驟:,ba( )f x課堂練習課堂練習2:( )1 3,( )033,().3332 3(),(0)0,(2)6,392 36,.9fxxfxxxfff 解令得舍

8、去所求最小值為最大值為2( )3211( )0, 1.315( ), ( 1) 1,327( 2)2, (1) 1,2f xxxf xxffff解：令，得所求最小值為，最大值為1.求下列函數在所給的區間上的最大值與最小值求下列函數在所給的區間上的最大值與最小值. . 3321( ),0,2.(2) ( ), 2,1.f xxxxf xxxx x 實際問題實際問題 例如圖，有一長例如圖，有一長80cm寬寬60cm的矩形不銹鋼薄板，用此的矩形不銹鋼薄板，用此薄板折成一個長方體無蓋容器，要分別過矩形四個頂點處各挖去薄板折成一個長方體無蓋容器，要分別過矩形四個頂點處各挖去一個全等的小正方形，按加工要求

9、一個全等的小正方形，按加工要求, 長方體的高不小于長方體的高不小于10cm且不且不大于大于20cm,設長方體的高為設長方體的高為xcm，體積為，體積為Vcm3問問x為多大時，為多大時，V最大最大?并求這個最大值并求這個最大值解：由長方體的高為解：由長方體的高為xcm， 可知其底面兩邊長分別是可知其底面兩邊長分別是802x） cm，（602x)cm, (10 x20). 所以體積所以體積V與高與高x有以下函數關系有以下函數關系V=（802x）（）（602xx=440 x）（）（30 xx=4x3280 x24800 x.0,V 令令得得比較可知當比較可知當70 10 13,3xV有最大值有最大值

10、280000 104000 13.272314012000.xx7010 37010 3,10,20 ,33x但舍去.解得解得70 10 13280000 104000 13(),327(10)24000,(20)16000,fff由所以體積所以體積V與高與高x有以下函數關系有以下函數關系解：由長方體的高為解：由長方體的高為xcm， 可知其底面兩邊長分別是可知其底面兩邊長分別是802x)cm，（，（602x)cm, (10 x20). V=f (x)=（802x）（）（602xx=4x3280 x24800 x. 2. 2.求閉區間上連續函數的最值的方法與步驟求閉區間上連續函數的最值的方法與步驟; ; 1. 1.在閉區間在閉區間a,ba,b上連續的函數在上連續的函數在a,ba,b上必有最大上必有最大 值與最小值值與最小值; ;課堂小