1、1昌黎縣第三中學昌黎縣第三中學 張麗艷張麗艷2整體思想概述：整體思想概述： 整體思想方法是指用整體思想方法是指用“集成集成”的眼光，把某些式的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握已知和所求之間的關聯，子或圖形看成一個整體，把握已知和所求之間的關聯，進行有目的、有意識的整體處理來解決問題的方法進行有目的、有意識的整體處理來解決問題的方法. 從整體出發的處理方法，體現了一種著眼全局、通盤從整體出發的處理方法，體現了一種著眼全局、通盤考慮的整體觀念考慮的整體觀念. 中學數學中，整體思想的應用廣泛中學數學中，整體思想的應用廣泛. 運用整體思想方法的三部曲：（）從整體出發，高運用整體思想方法的三部曲

2、：（）從整體出發，高瞻遠矚地統帥局部；（）通過對局部的研究，醞釀瞻遠矚地統帥局部；（）通過對局部的研究，醞釀總體解決的方案；（）回到整體，實現解決整個問總體解決的方案；（）回到整體，實現解決整個問題的總目標題的總目標. 整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。3知識點中的整體思想知識點中的整

3、體思想 第五章第五章 數量與數量之間的關系數量與數量之間的關系 第六章第六章 整式的加減整式的加減 第九章第九章 二元一次方程組二元一次方程組 第十章第十章 整式乘法與因式分解整式乘法與因式分解 第十一章第十一章 三角形三角形 第十四章第十四章 分式分式 第十五章第十五章 軸對稱軸對稱 第十六章第十六章 勾股定理勾股定理 第十七章第十七章 實數實數 第二十二章第二十二章 四邊形四邊形 第二十五章第二十五章 一次函數一次函數 第二十八章第二十八章 一元二次方程一元二次方程 第二十九章第二十九章 相似形相似形4整體思想的具體分析整體思想的具體分析第五章第五章 數量與數量之間的關系數量與數量之間的關

4、系1 1、求含絕對值的式子的值或解含絕對值的方程求含絕對值的式子的值或解含絕對值的方程 例：（）已知例：（）已知 ，求，求 的值。的值。 分析分析 ：應把和分別看做一個：應把和分別看做一個整體，由已知條件討論出和的正整體，由已知條件討論出和的正負，從而求出原式的值；負，從而求出原式的值； （）（） 解方程解方程. 分析分析 ：同樣要把看做一個整體，：同樣要把看做一個整體，因為它的絕對值等于，所以因為它的絕對值等于，所以 ，從而可以求出方程的解從而可以求出方程的解. 21xx21x52、求代數式的值求代數式的值-整體代入法整體代入法（1）代數式代數式 +x+3的值為的值為7，則代數式，則代數式2

5、 +2x3的值為的值為_分析：若用常規方法求代數式的值，必須由條分析：若用常規方法求代數式的值，必須由條件求出件求出x的值，而目前并不能由的值，而目前并不能由 +x+3=7求出求出x的值，但可以考慮用整體代入處理，把的值，但可以考慮用整體代入處理，把 +x=73=4整體代入求值，這樣將十分簡捷。整體代入求值，這樣將十分簡捷。解：因為解：因為 +x+3=7，所以，所以 +x=4，所以，所以2 +2x3=2（ +x）3=243=52x2x2x2x2x2x2x2x6（2）若若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，則，則x+y+z=_分析：若想由條件求出的值，再代入代數式計分析：若想由條件求出

6、的值，再代入代數式計算，則無法求出結果，若用算，則無法求出結果，若用“整體代入整體代入”法嘗法嘗試，將會出現柳暗花明又一村的現象。試，將會出現柳暗花明又一村的現象。解：因為解：因為x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15 所以（所以（x+2y+3z）+（4x+3y+2z）=25 所以所以 5x+5y+5z =25 所以所以 x+y+z =57（3）如果如果 +x-1=0,那么代數式那么代數式 +2 -7的值。的值。 分析：由題可知，若采用一般方法解方程求，分析：由題可知，若采用一般方法解方程求，目前來說不可能且十分繁瑣，但通過觀察發目前來說不可能且十分繁瑣，但通過觀察發現，故可把看作一個整

7、體，由條件式給出現，故可把看作一個整體，由條件式給出 的的值，爾后整體代入即可值，爾后整體代入即可解：由題意，得解：由題意，得 +x +2 -7 （ ） 7 2x2x2x2x2x2x2x2x2x3x3x3x8第六章第六章 整式的加減整式的加減一、整體代入法一、整體代入法已知已知x2m1,y12m,計算計算 的值。的值。思路分析思路分析本題注意到本題注意到xy,xy的值都很簡單的值都很簡單,而原式而原式用用(xy),(xy)表示也很容易表示也很容易,用整體代入法用整體代入法.解解:x2m1,y12m. xy2,xy4m. 原式原式 (xy)(xy) 24m16 8m. )()()( 222xyy

8、xxyyx2)( yx2)4 ( m2m規律總結規律總結把計算式中的某部分看作整體或先作適把計算式中的某部分看作整體或先作適當變形轉化當變形轉化,再整體代入再整體代入,是經常使用的一種方法是經常使用的一種方法.9二、整體轉化法二、整體轉化法計算(3a2bc5)(3a2bc5)思路分析思路分析將將(3a5)看成相同的項看成相同的項,將將(2bc)看成相反的項看成相反的項,問題就轉化平方差公式問題就轉化平方差公式,計算起計算起來就方便了來就方便了.解解:原式原式 規律總結規律總結將整式運算中的相同將整式運算中的相同(或相反或相反)的部的部分作為整體進行轉化分作為整體進行轉化,可使問題簡易獲解可使問

9、題簡易獲解.222224425309)2() 53(cbcbaacba10三、整體加減法三、整體加減法 已知已知 求求 的值的值.思路分析思路分析所給條件式中的兩個未知數所給條件式中的兩個未知數,難以難以求出各自的值后代入求值求出各自的值后代入求值,因此可通過整體加因此可通過整體加減的方法求出待求式的值減的方法求出待求式的值. 解解:將已知兩式左右兩邊分別相加將已知兩式左右兩邊分別相加,兩邊再同兩邊再同乘以乘以2得得52.規律總結規律總結對所給條件式難以或無法直接求出對所給條件式難以或無法直接求出各自的值各自的值,則可以通過變換條件式則可以通過變換條件式,整體求出待整體求出待求式的值求式的值.

10、,1923 , 7342222yxyx22214yx 11四、整體合并法四、整體合并法 計算計算4(xy)3(xy)2(xy)3(xy). 思路分析思路分析本題按照常規解法是先去括號本題按照常規解法是先去括號,再再合并同類項合并同類項.但這樣做比較麻煩但這樣做比較麻煩,若把若把xy,xy各看作一個各看作一個“整體整體”先行合并先行合并,再去括號再去括號,就就方便快捷多了方便快捷多了. 解解:原式原式(43)(xy)(23)(xy)7(xy)(xy)7x7yxy6x8y.規律總結規律總結括號內所含內容相同的多項式運算括號內所含內容相同的多項式運算,可將括號看作一個可將括號看作一個“整體整體”先行

11、合并先行合并,再去括再去括號號,可簡化運算可簡化運算.12五、整體去括號五、整體去括號 化簡22224)23( 2322xyxyyxyxxyyx 思路分析思路分析 受一個受一個“”號影響號影響,應變號應變號; 受受兩個兩個“”號影響號影響,不變號不變號;規律總結規律總結在含有多重括號的運算式中在含有多重括號的運算式中,括號里的項括號里的項是否變號是否變號,只與該項以及該項所在的各層括號前面的只與該項以及該項所在的各層括號前面的“”號有關號有關,而與其前面的而與其前面的“”號無關號無關.因此只因此只要從外向里逐層確定影響該項的要從外向里逐層確定影響該項的“”號的個數就號的個數就可整體去括號可整體

12、去括號.當某項受奇數個當某項受奇數個“”號影響時該項號影響時該項變號變號,受偶數個受偶數個“”號影響時該項不變號號影響時該項不變號.13第九章第九章 二元一次方程組二元一次方程組一、巧用巧用“整體思想整體思想”妙解方程組妙解方程組-整體代整體代入或整體加減入或整體加減例例1、解方程組、解方程組 ：析解：由析解：由得得 把把 看成一個整體，代入看成一個整體，代入得得到到 解得解得 ，再代入，再代入得到：得到： 從而得到原方從而得到原方程組的解為程組的解為 ： 11) 1( 2231yxyx1x1162yy1y5x15yx14例2、解方程組：解析：此例若用此例若用“正宗正宗”的代入或加減，往往會使

13、解題過的代入或加減，往往會使解題過程復雜冗長，運算量大，稍有疏忽便會前功盡棄，若能根程復雜冗長，運算量大，稍有疏忽便會前功盡棄，若能根據方程組的具體特點，靈活運用據方程組的具體特點，靈活運用“整體思想整體思想”這一方法與這一方法與技巧，可使問題化繁為簡，迅捷獲解。先把方程技巧，可使問題化繁為簡，迅捷獲解。先把方程化簡整化簡整理得，理得， 注意到方程組的常數項之間的關注意到方程組的常數項之間的關系，將方程系，將方程整體代入整體代入，消去常數，消去常數2800，得到之間的，得到之間的倍數關系，從而很容易求出方程組的解倍數關系，從而很容易求出方程組的解。將方程將方程整體代入整體代入，消去常數，消去常

14、數2800，得到，得到 整理整理 代入代入消去消去x得到得到：=350所以原方程組的解為所以原方程組的解為： =2450 =350 2800 yx%922800%64%96yx2328001624yx23)(1624yxyxyx7yxy15例3、解方程組 解析：此題數字較大，若按常規加減，解析：此題數字較大，若按常規加減，運算量大，費時費功，仔細觀察方程組運算量大，費時費功，仔細觀察方程組的未知數的系數具有對稱輪換的特征，的未知數的系數具有對稱輪換的特征，可采用整體相加減，使系數絕對值減小，可采用整體相加減，使系數絕對值減小，從而可以得到一個同解的簡易方程組，從而可以得到一個同解的簡易方程組，

15、新穎別致，簡捷明快。新穎別致，簡捷明快。601720052006yx601620062005yx16二、整體思想在應用題中的應用二、整體思想在應用題中的應用有甲、乙、丙三種商品，若甲購得有甲、乙、丙三種商品，若甲購得3件、乙購得件、乙購得7件、丙購得件、丙購得1件共需件共需315元；若購得甲元；若購得甲4件、乙件、乙10件、丙件、丙1件共需件共需420元，現購得甲、乙、丙各元，現購得甲、乙、丙各1件，件，共需多少元？共需多少元？解：設購甲、乙、丙解：設購甲、乙、丙1件分別需要件分別需要x元、元、y元、元、z元，由題意得：元，由題意得： 3x+7y+z=315 4x+10y+z=420此題方程個

16、數少于未知數，若按常規思考，則望題興嘆，不可能把此題方程個數少于未知數，若按常規思考，則望題興嘆，不可能把x、y、z都出來，但深思慎慮，原來題目要求的只是都出來，但深思慎慮，原來題目要求的只是x+y+z的值，并非要把的值，并非要把x、y、z分別求出來，于是對方程組作如下變形分別求出來，于是對方程組作如下變形 3- 2，得到，得到x+y+z=145本例若直接設未知數，很難列出等量關系，故采用間接設法，它雖改變本例若直接設未知數，很難列出等量關系，故采用間接設法，它雖改變了解題的角度，但體現了了解題的角度，但體現了“整體處理整體處理”的思想。的思想。17第十章第十章 整式乘法與因式分解整式乘法與因

17、式分解一、因式分解要注意整體思想方法的運用一、因式分解要注意整體思想方法的運用分解因式：分解因式： 1、 x(mx)(my)m(xm)(ym) x(mx)(my)m(mx)(my) (mx)(my)(xm) (my) 2、 -4(x-y-1). 分析分析: 所給的多項式沒有公因式可提所給的多項式沒有公因式可提,也不能直接利也不能直接利用公式法分解用公式法分解.觀察其結構特點觀察其結構特點,可視（可視（x-y)為一個為一個整體，將整體，將-4(x-y-1)整理為整理為-4(x-y)+4后能用完全平方后能用完全平方公式分解公式分解. 2)(xm2)(yx18二、整式乘法中的整體思想二、整式乘法中的

18、整體思想已知已知 求求 的值的值。 分析：分析： 這道題從已知條件出發都求不出這道題從已知條件出發都求不出，的值，但整體利用己知條件就，的值，但整體利用己知條件就迎刃而解了迎刃而解了.由冪的逆運算可知：由冪的逆運算可知： , 4, 3 mymx2233ymxm4343)()(2323 mymx19第十一章第十一章 三角形三角形1、如圖，DBC2ABD，DCB2ACD，試說明A與D之間的關系.評注：本例應用整體思想得到評注：本例應用整體思想得到A與與D之間的之間的關系，主要應用三角形的內角，三角形內角和關系，主要應用三角形的內角，三角形內角和定理結合整體思想進行說理定理結合整體思想進行說理.20

19、第十四章第十四章 分式分式整體代入在分式化簡求值中的妙用整體代入在分式化簡求值中的妙用1、已知、已知 求下列各式的值求下列各式的值： 2310 xx 1xx221xx212、已知已知 ，求，求的值的值 分析：把分析：把 看作一個整體，先整理看作一個整體，先整理再做。再做。 4xyxy2322xxyyxxyyyx2322xxyyxxyy=211243422)(3)( 2xyxyxyxyxyyxxyyx22第十五章第十五章 軸對稱軸對稱 軸對稱和軸對稱圖形的聯系體現了整體思軸對稱和軸對稱圖形的聯系體現了整體思想。想。 把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體就是把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體就是軸對稱圖

20、形。軸對稱圖形。 例：例：觀察下圖中各組圖形，其中成軸對稱的為觀察下圖中各組圖形，其中成軸對稱的為_（只寫序號）。（只寫序號）。 23第十六章第十六章 勾股定理勾股定理利用勾股定理求面積中的整體思想利用勾股定理求面積中的整體思想例：如圖，已知例：如圖，已知RtABC的周長為的周長為2+ ，其中斜邊為其中斜邊為2，求這個三角形的面積。，求這個三角形的面積。 分析：若要直接求出分析：若要直接求出a與與b的值，要用二次方程求解較的值，要用二次方程求解較繁。但由聯想到運用整體思想（將繁。但由聯想到運用整體思想（將ab視為一個整體），視為一個整體），問題便可順利獲解。問題便可順利獲解。解：在解：在RtA

21、BC中，根據勾股定理，得中，根據勾股定理，得即即又由已知得又由已知得 所以所以解得解得 所以所以624第十七章第十七章 實數實數 觀察全局，就是從全局上對已知條件進觀察全局，就是從全局上對已知條件進行觀察分析，綜合考察，從而得出解決問題行觀察分析，綜合考察，從而得出解決問題途徑。途徑。例：若實數滿足例：若實數滿足則則 從全局看，式子要有意義，實數需滿足從全局看，式子要有意義，實數需滿足 ，解得，解得x= ，進一步得到，進一步得到y =2。2232004322003xxyxy032x023x2325第二十二章第二十二章 四邊形四邊形整體思想就是根據問題的整體結構特征，把整體思想就是根據問題的整體

22、結構特征，把一組圖形視為一個整體去觀察、分析、研究一組圖形視為一個整體去觀察、分析、研究問題的一種方法，運用它往往可以起到化繁問題的一種方法，運用它往往可以起到化繁為簡的作用。為簡的作用。例：如圖，菱形例：如圖，菱形ABCD的面積為的面積為8，則陰影部，則陰影部分的面積為分的面積為 。26第二十五章第二十五章 一次函數一次函數一次函數中把一些相關量做為整一次函數中把一些相關量做為整體來處理的思想。體來處理的思想。例：已知例：已知y與與x+1成正比例，如成正比例，如果果x=4時，時，y=2，那么，那么x=3時，時，y=_分析：把 x+1當作整體，設函數當作整體，設函數解析式為解析式為y=k(x+1),在代入在代入x、y的值，求的值，求k.27 第二十八章一元二次方程第二十八章一元二次方程 解一元二次方程的方法中的因式解一元二次方程的方法中的因式分解法