1、非參數統計期末九題匯總目錄1. 單樣本 Wilcox on符號秩檢驗（SAS 22. Wald-Wolfowitz 游程檢驗法43. 兩樣本的 Kolmogorov-Smirnov 檢驗54. 兩個獨立樣本的 M-W-V檢驗（SAS 65. k個樣本的2檢驗 96. k個獨立樣本的Kruskal-Wallis 檢驗（R） 107. k個相關樣本的Friedman檢驗（R） 118. k個相關樣本的Cochran Q檢驗 129. 完全秩評定的Kendall協和系數（R） 141. 單樣本 Wilcoxon符號秩檢驗（SAS設E0.5是對稱的連續型分布的中位數，現隨機抽查了10名普通男子的血壓如

2、下：98160 136 128 130 114 123 134 129 107試用Wilcox on符號檢驗法檢驗假設 H 0 :名0.5 =130，H 1 : 0.5式130，顯著性水平為a =0.05。解手算：i）秩次和計算表編號血壓（x）D=x-130D|D的秩D的符號198-32329-216030308+3136664+4128-222-5130006114-16166-7123-775-8134443+9129-111-10107-23237-ii）根據表中D的符號和 D的秩，可以計算得到T_=9+2+6+5+1+7=30T =8+4+3=150.213，P=0.2132=0.42

3、6，P 值相對H 0 ,即認為 %.5 =130。根據n=9，T =15，T_=30，查表得T_的右尾概率為于顯著性水平:-=0.05已足夠大，因此抽查數據不拒絕機算：SPSS輸出結果表 1RanksNMean RankSum of RanksNegative Ranks6a5.0030.00Positive Ranks3b5.0015.00y - xTies1cTotal10y Z-.889 aAsymp. Sig. (2-tailed).374Exact Sig. (2-tailed).426Exact Sig. (1-tailed).213Point Probability.033表2T

4、est Statisticsba. Based on positive ranks.b. Wilcoxon Signed Ranks Test表1顯示：y-x的負秩即滿足y3的為3，同分的既滿 足x=y的為1，總共10。并且負秩和30,正秩和15。表2顯示：Z=-0.889，是以負秩為基礎計算的結果，其相應的雙側漸進顯著性概率為0.4260.05，因此在a =0.05的顯著性水平下沒有理由拒絕原假設，即認為坯.5=130。SAS程序：data work.wilcox on ; | in putm1 m2;d=m1-m2;cards ;98 130第15頁共15頁procuni variated

5、ata =work.wilcox onno rmal ;| var d; |run ; |結果t -0.75603 Pr .0.4690機算結果與手算結果一致。2. Wald-Wolfowitz游程檢驗法有低蛋白和高蛋白兩種料喂養大白鼠，以比較它們對大白鼠體重的增加是否有顯著不同的影響，為此對 m=10,n=10只大白鼠分別喂養低蛋白和高蛋白兩種飼料，得增重量X，Y (單位：g)的表如下：飼料增重量低蛋白X64717275828384909196咼蛋白Y42526165697578787881給定顯著性水平:-=0.05，試用游程檢驗法檢驗兩種飼料的影響有無顯著差異。解手算：設喂養低蛋白、高蛋

6、白的大白鼠體重增加量為X，Y,其分布函數為F(x)，G(x)，若飼料對增加重量無影響，即F(x)與G(x)應一致，故i) 提出假設 Ho : F(x)=G(x) ， F(x) - G(x)；ii) 二=0.05， m=10,n=10;iii) 將X,Y的數據按從小到大混合排列，得X,Y的混合樣本序列：Y Y Y X Y Y X X X Y Y Y Y Y X X X X X X故得游程總數 U=3+3=6,查表，m=1Q n=10，U=6的概率為0.019，這對于顯著性水平 0.025a(給定顯著性水平=0.05，該問題為雙側檢驗，故取=0.025比較)已足夠大，因此數2據不拒絕H0，認為兩種

7、飼料的影響無顯著差異。機算：步驟：1) 選項為 An alyze Non parametric Tests 2 In depe ndent Samples 。2) 把變量(x)選入Test Variable List ;再把用1和2分類的變量y輸入到Grouping Variable，在 Define Groups 輸入 1 和 2。3) 在 Test Type 選中 Wald-Wolfowitz runs 。在點Exact時打開的對話框中可以選擇ASYMTOTIC ONLY最后OK即可。輸出結果：FrequenciesyN1x2Total101020Test StatisticsNumber

8、 of RunsZExact Sig. （1-tailed）xMinimum Possiblea6-2.068.019Maximum Possible8a-1.149.128a. There are 1 inter-group ties involving 2 cases.b. Wald-Wolfowitz Testc. Grouping Variable: y機算得出的P值與手算結果一致。3. 兩樣本的 Kolmogorov-Smirnov 檢驗甲乙兩臺機床加工相同規格的主軸，從這兩臺機床所加工的主軸中分別隨機的抽取7個,然后測量他們的外徑(單位：mm得數據如下：機床主軸外徑尺寸甲(X)20

9、.519.819.720.420.120.019.0乙(Y)19.720.820.519.819.420.619.2試用Kolmogorov-Smirnov檢驗法來判斷兩臺機床加工的主軸外徑是否有顯著差異。 解 手算：假設組為：H0 : F(x)=G(x), H1 : F(x) =G(x)，F(x)，G(x)分別為甲，乙兩臺機床加工的主軸外徑尺寸X與Y的分布函數。 檢驗統計量D的計算表機床分組(x)絕對頻數累積頻數經驗分布函數|S1（x）- S2（xpf1f2Z f2S1（x）S2（x）1910101/701/719.201111/71/7019.40112 |1/72/71/719.7112

10、L 22/72/7019.811343/74/71/72010444/74/7020.110545/74/71/720.410646/74/72/720.5117515/72/720.6017616/71/720.80177110檢驗統計量 D=maxS| x - S2 X ：。m=7,n=7, Ho 的拒絕域為 DDm,n,a=D7,7,o.o5=O.7269，由表知D=2/7=0.2860.7269,所以不拒絕H。，認為兩臺機床加工的主軸外徑無顯著差異。機算：步驟：1） 選項為 An alyze Non parametric Tests 2 In depe ndent Samples 。2

11、）把變量（x）選入Test Variable List ;再把用1和2分類的變量y輸入到GroupingVariable，在 Define Groups 輸入 1 和 2。3）在 Test Type 選中 Kolmogorov-Smirnov 。在點Exact時打開的對話框中可以選擇精確方法（Exact），Monte Carlo抽樣方法（MonteCarlo ）或用于大樣本的漸近方法（ Asymptotic only ）。最后OK即可。輸出結果：Freque nciesYN17x27Total14Test StatisticsxAbsolute.286Most Extreme Differe

12、ncesPositive.286Negative-.143Kolmogorov-Smir nov Z.535Asymp. Sig. (2-tailed).938Exact Sig. (2-tailed).916Point Probability.388a. Group ing Variable: y機算結果與手算結果一致。4. 兩個獨立樣本的M-W-V檢驗（SAS某航空公司的CEOi意到飛離亞特蘭大的飛機放棄預定座位的旅客人數在增加，他特別有興 趣想知道，是否從亞特蘭大起飛的飛機比從芝加哥起飛的飛機有更多的放棄預定座位的旅 客。獲得一個從亞特蘭大起飛的 9次航班和從芝加哥起飛的 8次航班上放棄

13、預定座位的旅客 人數樣本，見表中的第 2列和第4列所示。（一=0.05 ）次數放棄人數秩放棄人數秩15113404242647113459361448123935521437264484610758164378415551596117秩和Wy100Wx53解手算如果假定放棄預定座位旅客人數的總體是正態分布且有相等的方差，我們可以采用兩樣本比較的t檢驗。但航空公司的CE以為這兩個假設條件不能滿足，因此采用非參數的Wilcoxon秩和檢驗。Ho :兩組放棄預定座位旅客人數的分布是相同的。m=8,n=9, Wx=53，Wy=ioo；查表知 P=0.037給定顯著性水平:=0.05，由于是雙邊檢驗，P

14、=0.037二=0.025，所以不能拒絕原假設。2機算(SPSS):RanksyNMean RankSum of Ranks1911.11100.00x286.6253.00Total17Test StatisticsxMann-Whitney U17.000Wilcoxon W53.000Z-1.828Asymp. Sig. (2-tailed).068Exact Sig. 2*(1-tailed Sig.).074 aExact Sig. (2-tailed).074Exact Sig. (1-tailed).037Point Probability.008a. Not corrected

15、 for ties.b. Grouping Variable: y機算結果與手算一致。(SAS :data temp;do group= 1 to 2; in put n;do i= 1 to n;input x ; output ;en d;en d;cards ;951 42 45 48 52 44 58 41 61840 47 36 39 37 46 43 55 proc npar1way data =temp wilcoxon ;class group;var x;run;程序說明：建立輸入數據集temp,先輸入本組數據的總數，然后輸入組中每個數據。分組變量為group，共有兩組取值為

16、1和2。輸入變量為x，存放每組中的數據。過程步調用npar1way 過程，后面用選擇項 wilcoxon要求進行wilcoxon秩和檢驗。如果兩組樣本是配對樣本，應 該使用配對t檢驗或wilcoxon符號檢驗，因為使用 wilcoxon秩和方法，將損失配對信息。 class語句后給出分組變量名 group , var語句后給出要分析的變量 X。主要結果見下表。用npar1way過程進行 Wilcox on秩和檢驗的輸出結果groupMSun ofExpected Std DevScaresUhder HOUnder HOMeanSconeo- O030 5817210.3923哺11.1111

17、1110.9923056.625000-JT- L yo a1 唏 aj1空竊WiIcoxon Scores (Rank Slas) for Variable x Chsif isd by Yariabfe roupWi Ic&Mn Two-Seiibple TestStatistic53.0000Normal ApprciXinationOhe-Sided Pr |Z|t Approximat iarOne-Sided Pr |ZI0.09401 include? a coni inuity correction of 0.5KruskaJ-WalI is TestCJii-Square3*

18、?4?EOF1Pr Chi-Souare0.D675結果說明： Wilcox on 兩樣本秩和統計量（較小的秩和）S=53.0000，正態近似檢驗統計量Z= 1.7802 （連續性修正因子為 0.5，加在分子上），正態分布的單尾p值之和為0.0375，不能拒絕原假設。5. k個樣本的2檢驗觀察三種藥物A,B,C治療心絞痛的效果，得下表數據:藥劑顯效有效無效合計A15 (12.4 )37 (36.6 )7 (10.0 )59B11 (15.1 )48 (44.6 )13 (12.2 )72C16 (14.5 )39 (42.8 )14 (11.7 )69合計（n j ）4212434200P丄n

19、0.210.620.171試根據所得資料說明三種藥物的療效有無顯著差異？（給定顯著性水平:=0.05 ）解手算：i）提出假設H。：三種藥物療效相同，Hi：至少有兩種藥物療效顯著不同;ii）乂 =0.05， r=3,k=3,；iii）H 0的拒絕域：上； 鼻爲宀）=9.488 ；ni n jiv）先求出數據相應的理論期望函數，E?j1 jnj.Pj，標記在上表（）中，如n備=n =59*42/200=12.4，同理可得 呂伐 呂3則 Q=3.8139.488故不拒絕H。，即從已有資料看不出三種藥物的療效有顯著差異。機算：輸出結果Case Process ing SummaryCasesValid

20、Missi ngTotalNPerce ntNPerce ntNPerce ntx * y200100.0%0.0%200100.0%x * y Crosstabulati onCou ntyTotal12311537759x211481372316391469Total4212434200Chi-Square TestsValuedfAsymp. Sig. (2-sided)Pears on Chi-Square3.823 a4.430Likelihood Ratio3.9884.408Lin ear-by-L in ear Associati on.8451.358N of Valid C

21、ases200a. 0 cells (.0%) have expected count less tha n 5. The mi nimum expected count is10.03.6. k個獨立樣本的Kruskal-Wallis 檢驗（R）12 6277 1217252十3 79有3個不同的減肥飲食療法（A,B,C ），人們希望知道這三種方法之間有沒有效果上的區別。 為此，把7個人分成3組，每組試一種方法。一個療程后減去的重量列在下表中。ABC1064315520解手算：減去的重量的等級ABC5421637合計（Rj）6175建立的假設組為H。： M, =M2 =M3，Mj j -1,

22、2,3中至少有兩個不等;顯著性水平a =0.05，df=k-1=2，臨界值當=5.99，顯然H=3.179叱審=5.99，數據在5%的顯著性水平上不能拒絕 H。，表明3種減肥療法沒有顯著差異。機算:Rankspla nNMean RankA23.00B35.67loseweightC22.50Total7Test StatisticsloseweightChi-Square3.179df2Asymp. Sig.204a. Kruskal Wallis Testb. Group ing Variable: pla n結果表明，Kruskal-Wallis H統計量的漸進分布2 =3.179，相應

23、的p值大于給定的顯著性水平0.05，沒有理由拒絕零假設，與手算結果一致。R:x=c(10,3,6,15,20,4,5)y=c(1,1,2,2,2,3,3)kruskal.test(x,y)輸出結果:Kruskal-Wallin ranktest0.2041機算結果與手算結果一致。A:通用，B:福特,F表是美國三大汽車公司(7. K個相關樣本的Friedman檢驗(R)IIIIIIIVV合計(Rj)A20.3 (1)21.2 (1)18.2 ( 1)18.6 (1)18.5 (1)5B25.6 (3)24.7 (3)19.3 ( 2)19.3 (2)20.7 (2)12C24.0 (2)23.1

24、 (2)20.6 ( 3)19.8 (3)21.4 (3)13尺寸的車(I :超小型，II小型，III :中型,C:克萊斯勒，作為三個處理)的五種不同IV :大型，V:運動型，作為五個區組)某年產品的油耗及在相應區組中的秩(括號中)為檢測三個公司的汽車油耗是否有顯著差異。解手算:假設組為H0 : M1=:M2=M3 , H1 : M j j =1,2,3中至少有兩個不等;|2 2 2 251213-3 53 1 =7.65 33 1給定顯著性水平0.05，自由度df=3-1=2，查表得臨界值0.05 =5.99。顯然r2 =7.6 0.05 =5.99，因此拒絕Ho，三個公司產的汽車油耗有顯著

25、差異。機算：RanksMean RankA1.00B2.40C2.60Test StatisticsN5Chi-Square7.600df2Asymp. Sig.022a. Friedma n Test機算結果與手算結果一致。SASd=read.table(C:/R/Friedma n.txt)friedma n. test(as.matrix(d)輸出結果:Friedman rank testdata:us. tnacrix (d)FrlediEan chL-sqiaredfrevalue 0 022378. K個相關樣本的Cochran Q檢驗在一個防水試驗中，有四個處理方法（ A,B,C,D ）及六種纖維（l,llll,IV,V,VI）作為區組，結果只有滿意（用0表示）及不滿意（用1表示）兩種，列于下表中處理區組合計(yi)IIIIllIVVVIA1111116B1101115C0001001D0100113合計/23133315(Xj )檢驗六種纖維的防水性是否有顯著差異。解手算：假設組為H。：-M4，H,：Mj j =1,2,3,4中至少有兩個不等；q =