1、中考復習之一一胡不歸問題從前，有一個小伙子在外地學徒，當他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路.由于思鄉心切，他只考慮了兩點之間線段最短的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A-B（如圖所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實際情況，當他氣喘吁吁地趕到家時，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭.鄰居勸慰小伙子時告訴說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”.這個古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風靡千百年的“胡不歸問題”.例1.（2012崇安模擬），如圖，ABC在平面直角坐標系中，AB=ACA（0,2 2 貶）,C（1,0

2、）,D為射線AO上一點，一動點P從A出發，運動路徑為A-AC,點P在AD上的運動速度是在CD上的3倍，要使整個過程運動時間最少，則點D的坐標應為（）A.（0,M2）B.（0,）C.（0,）D.（0,）【解答】解：假設P在AD的速度為3,在CD的速度為1,設D坐標為（0,y）,則AD=2/2-y,CD,.設t=入廣+#刊,J.t的最小值為v-v-近一、y y4.點D的坐標為(0,亞),4故選D.解法二：假設P在AD的速度為3V,在CD的速度為1V,總時間t=&L+包=工(里L+CD),要使t最小，就要更L+CD最小，3VyV33因為AB=AC=3,過點B作BHLAC交AC于點H,交OA于D,易證

3、ADHsACO,所以螞=世OCDH=3,所以&!=DH,因為ABC是等腰三角形，所以BD=CD,所以要挺L+CD最小，就是要DH+BD33例2.(2016?徐州)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A(-1,0),B(0,-爽)，C(2,0),其對稱軸與x軸交于點D(1)求二次函數的表達式及其頂點坐標；(2)若P為y軸上的一個動點，連接PD,則1PB+PD的最小值為;2(3)M(x,t)為拋物線對稱軸上一動點若平面內存在點N,使得以A,B,M,N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有個；連接MA,MB,若/AMB不小于60,求t的取值范圍.最小，就要B、D、H三點

4、共線就行了.因為AOCABOD,所以也0B需即平=工，所以OD0Dy的取值即可,信夕孚t+(L)F1,=(限反-2t)2-4X_(-t2+-b/l-t+1)09333所以點D的坐標應為(0,，拋物線解析式為y=冬2年xS二一攀（2）如圖1中，連接AB,作DHLAB于H,交OB于P,此時工PB+PD最小.2理由：. OA=1,OB=/3,.tan/ABO=上色OB./ABO=30,B+PD=PH+PD=DH,PB+PD最短（垂線段最短）3在RtAADH中，./AHD=90,AD=,ZHAD=60,【解答】解：（1）由題意c=0,4a+2b+c=0解得，,732.玉,2sin60DH=-y=PH=

5、PB,2二x2x2.J-PB+PD的最/、值為3、巧.24故答案為3 3 炳.|4(3)以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸也有兩個交點，線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，所以滿足條件的點M有5個，即滿足條件的點N也有5個，故答案為5.如圖，RtAOB中，tanZABO=OB3./ABO=30,作AB的中垂線與y軸交于點E,連接EA,則/AEB=120,以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點F、G.則/AFB=/AGB=60,從而線段FG上的點滿足題意，EB=?口=2cosSO3-73 .OE=OB-EB=,3 F(工t),EF2=EB2

6、,2，(g)2苧2=(等)2,解得t=半追或3產故F*&),G*,), .t的取值范圍-33gwtw6&練習鞏固：1. （2015無錫二模）如圖，菱形ABCM對角線AC上有一動點P,BC=6,ABC=150，則PA+PB+PD勺最小【解答】解：將ADC逆時針旋轉60,得到ADC C,連接BD交AC于P,交AC于E,連接PD, ./BAD=30,/DAD=60, ./BAD=90，又AB=AD=AD, BD，2=62=6 厄,/ABP=45,又/BAP=15, ./APE=ZPAE=60, .EAP為等邊三角形，PA=PE,又.APDAAED7, .PD=ED,根據兩點之間線段最短， .AP+B

7、P+PD的最/、值=PB+PE+ED=672,故答案為：6、匣2. (2015內江)如圖，在ACE中，CA=CE,ZCAE=30,。O經過點C,且圓的直徑AB在線段AE上.(1)試說明CE是。的切線；(2)若ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數式表示OO的直徑AB;(3)設點D是線段AC上任意一點(不含端點)，連接OD,當1CD+OD的最小值為6時，求OO的2【解答】解：(1)連接OC,如圖1,.CA=CE,/CAE=30,.ZE=ZCAE=30,/COE=2/A=60,.CE是。O的切線;(2)過點C作CHLAB于H,連接OC,如圖2,在RtOHC中，CH=OC?sinZCOH,(3)作

8、OF平分/AOC,交。于F,連接AF、CF、DF,如圖3,圄3則/AOF=ZCOF=-1-ZAOC=y(180-60)=60-，OA=OF=OC,.AOF、COF是等邊三角形,.-.AF=AO=OC=FC,，四邊形AOCF是菱形，根據對稱性可得DF=DO.過點D作DH，OC于H,.OA=OC,./OCA=ZOAC=30,.DH=DC?sin/DCH=DC?sin30.CD+OD=DH+FD.2根據垂線段最短可得：當F、D、H三點共線時，DH+FD(即 LCD+OD)最小，2 2此時FH=OF?sin/FOH=OF=6,2則OF=471，AB=2OF=8-73.當_|_CD+OD的最小值為6時，

9、OO的直徑AB的長為&”12,一3. (2015日照)如圖，拋物線y-x2mxn與直線y2點，連接AGBC,已知A(0,3),C(3,0).(1)拋物線的函數關系式為,tan/BAC=(2)P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA,過點P作PQLPA交y軸于點Q問：是否存在點P使以A、P、Q為頂點的三角形與ABCffi似？若存在，求出所有符合條件的P點坐標，若不存在，請說明理由(3)設E為線段AC上一點(不含端點)，連接DE,一動點M從點D出發，沿線段DE以每秒一個單位的速度運動到E點，再沿線段EA以每秒J2個單位的速度運動到點A后停止，當點E的坐標是多少時，點M【解答】解：(I)把A(0,3),

10、C(3,0)代入y=yx2+mx+n,得%二39+皿U+n=0L占x3交于A、B兩點，交x軸于DC兩2在整個運動過程中用時最少?解得：1 亍.，拋物線的解析式為y=x2-x+322如圖1.,.C(3,0),B(4,1),A(0,3),AB2=20,BC2=2,AC2=18,BC2+AC2=AB2,.ABC是直角三角形,(n)方法一：(1)存在點P,使得以A,P,Q為頂點的三角形與ACB相似.過點P作PGy軸于G,則/PGA=90.設點P的橫坐標為x,由P在y軸右側可得x0,則PG=x.PQXPA,/ACB=90,./APQ=ZACB=90.若點G在點A的下方，如圖2，當/PAQ=ZCAB時，則

11、4PAQACAB.ZPGA=ZACB=90,/PAQ=/CAB,.PGAABCA,PGBC1=AGAC3AG=3PG=3x.貝UP(x,33x).I Iy=3y=ly=3y=l.點B的坐標為(4,1).tan/BAC=BCAC1x2_x+3=3-3x,22整理得：x2+x=0解得：xi=0(舍去)，x2=-1(舍去).如圖2，當/PAQ=/CBA時，則4PAQACBA.同理可得：AG=J_PG=J_x,則P(x,3Lx),把P(x,3-A_x)代入y=_Lx2至x+3,得整理得：x2-絲x=0T-1R解得：xi=0（舍去），*2=號，P（基,1A）;39若點G在點A的上方，當/PAQ=ZCAB

12、時，則4PAQACAB,同理可得：點P的坐標為（11,36）.當/PAQ=ZCBA時，則4PAQACBA.同理可得：點P的坐標為P（二段）.綜上所述：滿足條件的點P的坐標為（11,36）、（竺，坦方法二：作APQ的“外接矩形AQGH,易證AHPAQGP,APHPAPHPPQQG.以A,P,Q為頂點的三角形與ACB相似，.APHPEC1-APHPAC。PQQGAC3同QGBC設P(2t,2t25t+3),A(0,3),H(2t,3),10把P(x,3-3x)代入y=_x2-Lx+3,得2t1=v2t2=v(2)方法過點E作EN，y軸于N,如圖3.在RtAANE中，EN=AE?sin45=2-AE

13、,即AE=&EN,點M在整個運動中所用的時間為牛+y=DE+EN.作點D關于AC的對稱點D,連接DE,則有DE=DE,DC=DC,/DCA=/DCA=45,./DCD=90,DE+EN=DE+EN.根據兩點之間線段最短可得：當D、E、N三點共線時，DE+EN=DE+EN最小.此時，./DCD=/DNO=ZNOC=90,，四邊形OCDN是矩形，.ND=OC=3,ON=DC=DC.對于y=x2-x+3,222.當y=0時，有一x-x+3=0,22解得：x1=2,x2=3.D(2,0),OD=2,.-，ON=DC=OC-OD=3-2=1,NE=AN=AO-ON=3-1=2,點E的坐標為(2,1).方

14、法二：作點D關于AC的對稱點D,DD交AC于點M,顯然DE=DE,作DNy軸，垂足為N,交直線AC于點巳如圖4,11在RtAANE中，EN=AE?sin45=2AE,即AE=/2EN,2 2.當D、E、N三點共線時，DE+EN=DE+EN最小，,.A(0,3),C(3,0),.lAC：y=-x+3,M(m,m+3),D(2,0),.DMXAC,KDMXKAC=1,一m=.M為DD的中點, D(3,1),EY=DY=1,E(2,1).5,過A作射線AF/x軸，過D作射線DF/y軸，DF與AC交于點E.,.A(0,3),C(3,0), IAC：y=-x+3.OA=OC,/AOC=90,.ZACO=

15、45,AF/OC,./FAE=45.AFEF=AE?sin45=%.Vs 當且僅當AFDF時，DE+EF取得最小值，點M在整個運動中用時最少為：t=*生+I1 拋物線的解析式為y=-x2-1-x+3,且C(3,0),，可求得D點坐標為(2,0)則E點橫坐標為2,將x=2代入 IAC：y=-x+3.,得y=1.所以E(2,1).12方法三：如圖,=DE+EF,，M313k.4.(2014成都)如圖，已知拋物線y(x2)(x4)(k為常數，k0)與x軸從左至右依次交于點A、8B,與y軸交于點C,經過點B的直線y避xb與拋物線的另一個交點為D.3(1)若點D的橫坐標為-5,求拋物線的函數關系式.(2

16、)在(1)的條件下，設F為線段BD上一點(不含端點)，連接AF,一動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標為多少時，點M在整個運動過程中用時最少？巳使彳導以A、B、P為頂點的三角形與ABC相似，求k的值.【解答】解：(1)拋物線y=?(x+2)(x-4),令y=0,解得x=-2或x=4,A(2,0),B(4,0).14直線BD解析式為：y=-x+;直線y=-+b經過點B(4,0),X4+b=0,解得b=當x=-5時，y=3行， D(-5,3/3).點D(-5,373)在拋物線y=k(x+2)(x-4)上,8 1(-5

17、+2)(-5-4)=3/j,，拋物線的函數表達式為：y=H1(x+2)(x-4).即y=心x2Jx-.999.C(0,-k),OC=k.因此若兩個三角形相似，只可能是ABCAAPB或ABCSPAB.若ABCSAPB,則有/BAC=/PAB,如答圖2-1所示.設P(x,y),過點P作PNx軸于點N,則ON=x,PN=y.tanZBAC=tanZPAB,即:x+k.2 2P(8,5k).若ABCSFAB,則有/ABC=/FAB,如答圖2-2所示.設P(x,y),過點P作PNx軸于點N,則ON=x,PN=y.15(2)由拋物線解析式，令x=0,得y=-k,因為點P在第一象限內的拋物線上，所以/ABP

18、為鈍角.P(x,kx+k),代入拋物線解析式y=2(x+2)(x4),=kx+k,整理得：x2-6x-16=0,2解得：x=8或x=-2(與點A重合，舍去)，(x+2)(x4)ABCAAPB,解得：k=-.P(6,2k).ABCAPAB,AB_CB,虹AB-6_八1-264+4k26解得k=；k0,11k=y/2.y/2., ,綜上所述，k=JbZ1或k=V2.5(3)方法如答圖3,由(1)知：D(5,3/3),1.P(x,kx+k),代入拋物線解析式y=_(x+2)(x-4),解得：x=6或x=-2(與點A重合，舍去)，16如答圖22,過點D作DN，x軸于點N,則DN=3/3，ON=5,BN

19、=4+5=9,.tanZDBA=H=2V3=V3,BNg3./DBA=30.過點D作DK/x軸，則/KDF=ZDBA=30由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF,運動時間:，t=AF+FG,即運動的時間值等于折線AF+FG的長度值.由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段.過點A作AHXDK于點H,則t最小=AH,AH與直線BD的交點，即為所求之F點.A點橫坐標為-2,直線BD解析式為：y=-苧x+*3,，y=-返x（-2）+33F（-2,2百）.綜上所述，當點F坐標為（-2,2/3）時，點M在整個運動過程中用時最少.方法二：作DK/AB,AHDK,AH交直線B

20、D于點F,./DBA=30,./BDH=30,FDFH=DFXsin30=-,2，當且僅當AHLDK時，AF+FH最小，一人一，AFFD點M在整個運動中用時為：t=T骨廠研”H,17過點F作FGXDK于點G,則FG=t=AF+DF,2-IBD：y=FX=AX=-2,F(2,25. (2017徐州二模)二次函數yax2xc圖象與x軸交于A A、C兩點，點C(3,0),與y軸交于點B(0,-3).1 1)a,c;(2)如圖，P是x軸上一動點，點D(0,1)在y軸上，連接PD求J2PDPC的最小值.(3)如圖，點蟲拋物線上，若 SAMBC3,求點M的坐標.【解答】解：(1)把C(3,0),B(0,-

21、3)代入y=ax22x+c得到，解得.L9a-6-Fc=0(c=-3故答案為1,-3.(2)如圖1中，作PHLBC于H.18.OB=OC=3,/BOC=90,2 .ZPCH=45,在RtAPCH中，PH=亞PC.23 V2DP+PC=V2(PD+*_PC)=&(PD+PH),根據垂線段最短可知，當D、P、H共線日&DP+PC最小，最小值為正DH,在RtADHB中，BD=4,/DBH=45DH=2L_BD=2V2,24 .V2DP+PC的最小值為V2?22=4.(3)如圖2中，取點E(1,0),作EGLBC于G,易知EG=J.過點E作BC的平行線交拋物線于Mi,M2,則 SABCM=3,AECM

22、=3,121920直線BC的解析式為y=x-3,直線M1M2的解析式為y=x-1,4),M4(2,-3).6. (2016隨州)已知拋物線ya(x3)(x1)(a0),與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸交于點C,經過點A的直線yJ3xb與拋物線的另一個交點為D.(1)若點D的橫坐標為2,則拋物線的函數關系式為.(2)若在第三象限內的拋物線上有一點巳使得以A、BP為頂點的三角形與ABC相似，求點P的坐標.(3)在(1)的條件下，設點E是線段AD上一點(不含端點)，連接BE,一動點Q從點B出發，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E,再沿線段ED以每秒把3個單位運動到點D停止，問當點E的坐標3為多少時，點Q運動的時間最少?”手根據對稱性可知，直線M1M2關于直線BC的對稱的