1、會計學1數學選修數學選修(xunxi)橢圓的標準方程橢圓的標準方程第一頁，共27頁。第2頁/共27頁第二頁，共27頁。第3頁/共27頁第三頁，共27頁。平面內到兩個定點平面內到兩個定點F1F1、F2F2的距離的和等于的距離的和等于(dngy)(dngy)常數（常數（大于大于F1F2F1F2）的點的軌跡叫橢圓）的點的軌跡叫橢圓. .定點定點F1F1、F2F2叫做橢圓叫做橢圓(tuyun)(tuyun)的焦點。的焦點。PF1F22.2.橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為常數橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為常數(chngsh),(chngsh),記為記為2a2a；兩焦點之間的距離稱為焦距，記為兩焦點之

2、間的距離稱為焦距，記為2c,2c,即即:F1F2:F1F22c.2c.說明說明: :復習回顧復習回顧橢圓的定義：橢圓的定義：1. .平面上平面上-這一個條件不可少這一個條件不可少; ;3 3、2a2c= 2a2c= F F1 1F F2 2(1)(1)若若2a=F2a=F1 1F F2 2軌跡是什么呢？軌跡是什么呢？(2)(2)若若2aF2a0),2c(c0),則：則：F F1 1(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0)(c,0)以直線以直線(zhxin)F1F2(zhxin)F1F2為為x x軸，線段軸，線段F1F2F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為y y軸，建立如圖所示坐標系。軸

3、，建立如圖所示坐標系?；喎匠袒喎匠?建立建立(jinl)直角直角坐標系坐標系設點坐標設點坐標代入坐標代入坐標列等式列等式PFPF1 1+PF+PF2 2=2a=2a第9頁/共27頁第九頁，共27頁。2222)(2)(ycxaycx )ca(ayax)ca(22222222 22242222xccxa2a)yccx2x(a cx4a4y)cx(a4222 ,bca222 0b 0 ca0ca22 222222bayaxb )0ba(1byax2222 第10頁/共27頁第十頁，共27頁。PF2F1以直線以直線F1F2F1F2為為y y軸，線段軸，線段(xindun)F1F2(xindun)F

4、1F2的垂直平分線為的垂直平分線為x x軸，建立坐軸，建立坐標系。標系。設設P(x,y)P(x,y)為橢圓為橢圓(tuyun)(tuyun)上的任意一點，上的任意一點，FF1 1F F2 22c(c0),2c(c0),則：則：F F1 1(0(0，-c)-c)、F F2 2(0(0，c)c)a2x)cy(x)cy(2222 a2y) cx(y) cx(2222 )0ba(1bxay2222 PF PF1 1+PF+PF2 2=2a=2a第11頁/共27頁第十一頁，共27頁。)0ba(1byax2222 )0ba(1bxay2222 1 1、方程的右邊、方程的右邊(yu bian)(yu bia

5、n)是常數是常數1;1;2 2、方程、方程(fngchng)(fngchng)的左邊是和的形式，每一項的分子是的左邊是和的形式，每一項的分子是 x2 x2、y2y2，分母是一個正數。，分母是一個正數。 橢圓的標準橢圓的標準(biozhn)(biozhn)方程的特點：方程的特點：問問題題1 1（1）（2） 根據上述討論根據上述討論, ,如何判斷橢圓的焦點的位置？如何判斷橢圓的焦點的位置？問問題題2 2 若若 x x2 2 項的分母大，則其焦點就在項的分母大，則其焦點就在 x x 軸上，若軸上，若 y y2 2 項的分母大，則其焦點就在項的分母大，則其焦點就在 y y 軸上軸上. .xOyF1F2

6、xOyF1F2第12頁/共27頁第十二頁，共27頁。橢圓橢圓(tuyun)的標準方程的的標準方程的再認識：再認識：（1 1）橢圓標準方程）橢圓標準方程(fngchng)(fngchng)的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1 1；（2 2）橢圓）橢圓(tuyun)(tuyun)的標準方程中三個參數的標準方程中三個參數a a、b b、c c滿足滿足a2=b2+c2a2=b2+c2；（3 3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數）由橢圓的標準方程可以求出三個參數a a、b b、c c的值；的值；（4 4）橢圓的標準方程中，橢圓的標準方程中，x x2 2與與y y

7、2 2的分母哪一個大，則焦點在對應的分母哪一個大，則焦點在對應 哪一個軸上。哪一個軸上。第13頁/共27頁第十三頁，共27頁。)0c2a2(a2PFPF21 ) 0ba , 0ca (cba222 第14頁/共27頁第十四頁，共27頁。EX1.求適合(shh)下列條件的橢圓方程1 1、a a4 4，b b3 3，焦點，焦點(jiodin)(jiodin)在在x x軸上；軸上；2.b=12.b=1， ，焦點在，焦點在y y軸上軸上15c 19y16x22 4a)1( 1x16y)2(22 第15頁/共27頁第十五頁，共27頁。2 2、已知橢圓的方程為：、已知橢圓的方程為：則則a a_，b b_，

8、c c_， 焦點焦點坐標坐標(zubio)(zubio)為為_，焦距等，焦距等于于_。該橢圓上一點。該橢圓上一點P P到焦點到焦點F1F1的距的距離為離為8 8，則點，則點P P到另一個焦點到另一個焦點F2F2的距離的距離等于等于_。1100y36x22 第16頁/共27頁第十六頁，共27頁。3 3、若橢圓、若橢圓(tuyun)(tuyun)滿足滿足: a: a5 , c5 , c3 , 3 , 求它的標準方程。求它的標準方程。116y25x22 125y16x22 焦點在焦點在x x軸上軸上第17頁/共27頁第十七頁，共27頁。第18頁/共27頁第十八頁，共27頁。5 5、求下列橢圓的焦點、

9、求下列橢圓的焦點(jiodin)(jiodin)坐標坐標1y9x)1(22 112y3x)2(22 4y2x)3(22 144y9x16)4(22 0 ,22F,0 ,22F21 )3 , 0(F,)3, 0(F21 0 ,2F,0 ,2F21 7, 0F,7, 0F21 第19頁/共27頁第十九頁，共27頁。181.0y25.2x22 )0ba( 1byax2222 解：以兩焦點所在直線解：以兩焦點所在直線(zhxin)(zhxin)為為X X軸，線段軸，線段 的垂直平分線為的垂直平分線為y y軸軸, ,建立平面直角坐標系建立平面直角坐標系xOyxOy。則這個橢圓的標準則這個橢圓的標準(bi

10、ozhn)(biozhn)方程為方程為: :根據題意根據題意:2a=3, 2c=2.4,:2a=3, 2c=2.4,所以：所以：b b2 2=1.5=1.52 2-1.2-1.22 2=0.81=0.81因此，這個橢圓的方程為：因此，這個橢圓的方程為：21FF2, 1FFF1F2xy0M待定系數法待定系數法第20頁/共27頁第二十頁，共27頁。2. 2. 標準標準(biozhn)(biozhn)方程的簡單應用方程的簡單應用: :1.1.兩類方程兩類方程(fngchng)(fngchng)(焦點分別在焦點分別在x x軸軸,y,y軸上的標準方程軸上的標準方程(fngchng):(fngchng):

11、)0ba(1byax)1(2222 )0ba(1bxay)2(2222 第21頁/共27頁第二十一頁，共27頁。422 yx解解: :設所得曲線設所得曲線(qxin)(qxin)上任一點上任一點坐標為坐標為P(x,y),P(x,y),圓上的圓上的對應點的坐標對應點的坐標P(x,y),P(x,y),由題意可得：由題意可得： y2yxx因為因為422 yx所以所以4422 yx即即1422 yx這就是變換后所得曲線的方程，它表示一個橢圓。這就是變換后所得曲線的方程，它表示一個橢圓。oxyPP坐標轉移法：即利用坐標轉移法：即利用中間變量求曲線方程中間變量求曲線方程第22頁/共27頁第二十二頁，共27頁。 思考題思考題設動點設動點P P到點到點F F（1 1，0 0）的距離是到直線）的距離是到直線x x9 9的距離的的距離的 ，求點，求點P P的軌跡方程，的軌跡方程， 并判斷此軌跡是什么圖形？并判斷此軌跡是什么圖形？31第23頁/共27頁第二十三頁，共27頁。.x18y9x9x31y)1x(2222軸上的橢圓軸上的橢圓故此軌跡為一個焦點在故此軌跡為一個焦點在化簡得化簡得有有解題過程：