1、第4章 不定積分內容概要名稱主要內容刁tJ設f(x). xZ,若存在函數F(X).使得對任意xZ均有FXX) = fM 或dF(x) = fx)dx ,則稱F(X)為f(x)的一個原函數。f(x)的全部原函數稱為/(X)在區間/上的不定積分，記為/(x)Jx =F()+ C注：(1)若/(x)連續，則必可積；若F(x)tG(x)均為/(x)的原函數， 則F(X) = G(X) + C.故不左積分的表達式不唯一。性質 1:扌J= / W 或 J /(x)dx = f Zx :性質 2： FCT)(Zr = F(X) + C 或 JcF(x) = F(X) + C :性質 3： J(x)0g(x)

2、kh = j*/(X)(Z0Jg(X)dx, ,0 為非零常 數。第一換 元積分法 (湊微 分法)設/(“)的原函數為F(U), H = (P(X)可導，則有換元公式： f x), (x)dx = f(x)l(x) = F(x) + C第二類 換元積 分法設X = t)單調、可導且導數不為零，/0()0()有原函 數Fa),則 fMdx = f(t),(t)dt = F(t) + C = Fe (X) + C分部積 分法H(X)VXx)dx = M(X)(X) =M(X)V(X)一 V(X)JW(X)有理函 數積分若有理函數為假分式，則先將其變為多項式和真分式的和： 對真分式的處理按情況確定。

3、才 章白 地1在下一章定積分中由微積分基本公式可知一-求定積分的問題，實質上是求被積 函數的原函數問題：后繼課程無論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲而積分， 最終的解決都歸結為對定積分的求解：而求解微分方程更是直接歸結為求不左積分。 從這種意義上講，不泄積分在整個積分學理論中起到了根基的作用，積分的問題會 不會求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對這一章掌握的好壞。這一點隨著學IJ用習的深入，同學們會慢慢體會到!課后習題全解習題4TL1.求下列不定積分：知識點：宜接積分法的練習一一求不泄積分的基本方法。思路分析：利用不左積分的運算性質和基本枳分公式，直接求出不左積分!思路：被積函數-= =

4、 Xi,由積分表中的公式(2)可解。 xx解:dxX2 y/x=-3+c J (x -J= lX思路:根據不立積分的線性性質，將被積函數分為兩項，分別枳分。解訂(扳-丄 丄11(x3 -X 2Xv = Jx3Jx-Jx 23， 丄X 2dx = -X3 -2x2 +C4 (2t+x2to思路:根據不立積分的線性性質，將被積函數分為兩項,分別枳分。解：(2v +x2WX = 2+=+ C JV7(x-3)x思路:根據不龍積分的線性性質，將被積函數分為兩項,分別積分。3153解：f-7X(X-y)dx = XdX-3x2dx = -X2 -2x2 +C嚴Mr心3r4 + Sr2 + 11思路:觀察

5、到 = 3x2+-一后，根據不立積分的線性性質，將被積函數JC +1j +1分項，分別積分。解:j3A43.rltzvJ Q +1=J3x2dx + 、丫 = X3 + arctanx + Cy-Y-II _ 11思路:注意到一= _ r =1,根據不世積分的線性性質，將被積函數分l + x1 + j1 + /(r) = +C, dt又因為物體是由靜止開始運動的，. /(O) = O,. C = 0,. f(t) = t5o(1) 3秒后物體離開出發點的距離為：/(3) = 3? =27米：(2) 令戶=360 = / = 60 秒。習題421、填空是下列等式成立。知識點：練習簡單的湊微分。思

6、路分析：根據微分運算湊齊系數即可。解：()dx = - (I(IX - 3); (I)XdX =d(-x2 );(3)x3 JX = J(3x4 -2);7212(4)e2xdx = -d(e2x)(5)- =(5In I X 1);(6)= 一丄d(3-51n I xl);2X 5X 5(7)丄 dt = 2( JF); (8) = - d(km 2x); (9) r = - J (arctan 3x). ytcos IX 21+9q32、求下列不泄積分。知識點：（湊微分）第一換元積分法的練Al。思路分析：審題看看是否需要湊微分。直白的講，湊微分其實就是看看積分表達式中， 有沒有成塊的形式作

7、為一個整體變量,這種能夠馬上觀察出來的功夫來自對微積分基本公式 的熟練掌握。此外第二類換元法中的倒代換法對特定的題目也非常有效，這在課外例題中專 門介紹！ (1) e3ldt思路:湊微分。解：JVM = gj0d)= ge+C (3- 5x) dx思路:湊微分。解：(3-5xdx = -(3-5x)d(3-5x) = (3-5)4 + C (3) !dxJ 3-2x思路:湊微分。解：f dx = - f !(3-2x) = -ln 13-2xI +C.J 3 2x2 J 3 2x2思路:湊微分。x = -解 (Sin Or- eh )dx 思路:湊微分。XIX 開解:(Sin UX -eb l

8、x = Sin axdcx) 一 Z?Je不(j-)=COS ax - be + C思路:如果你能看到(心知t,湊岀皿易解。tcl(t) = 2 sin t +C解: (7) f tanH) xsec2xdx思路:湊微分。解：j tan10 x SeCiWZr = J tan10 Xd (tan x) = tan u x + C. JJ XInAelnlnX思路:連續三次應用公式(3)湊微分即可。解：訂如乜訂處業= InEW+CJ XInxlnlnX J InxInlnX J InInX (9) f tan l + x2Jl + x2思路:本題關鍵是能夠看到= 是什么，是什么呢就是dl+F !

9、這有一立難度! 1+ .V2解:7= tan Jl+ FdJl+ F = - In I COS 1 + x2 I +Cdx仃0)J SmXCOS X思路:湊微分。解：方法一:倍角公式Sin 2x = 2sin XCOSX odxSinxCOSXf 2dxJ Sin 2x= CSC 2xd2x = In I CSCIX - COt 2x I +C方法二：將被積函數湊出tanX的函數和tanX的導數。C dxJ SinXCOSXf COS X I= LinXCos2-JA =fsec2 XdX = fd tan X = InltanXl +CJ tan XJ tan x方法三：三角公式sin2x

10、+ cos2- = h然后湊微分。r dxJ SinxCOSXc sin2 x+ cos2 X tC Sin X f CCOSX f=IX= dx+ dx = _J SinJlCos J COSX J SinX d COS X fd Sin X= -ln ICOS xl +ln I Sin XI+C = InltanXl +C7思路濮微分：7-7dexe xdx _ de xe2x +11 +1 l + (x)2解:嗟C e xdxf de xX C=arctan e +CT J 戶+ J + ()2(12) J XCOS(X2 lx思路:湊微分。解：XCOS(X2)iZv = Jcos= s

11、inx11+C解:XdX= _lf(23C)=-IJ(2-3p6(2-3-2) = -l2-3x2C2-3x2 6J 2-3x2(14) J cos2 (COt) snt)dt思路:湊微分。解：JCOSe)sin(e)dr =丄JCOS2(t)sin(tdt = 一丄JCOSl(tlcos(t=-COS3 (COt) + C3co思路:湊微分。解J1心 J1心 JIYJ 八八 r SinX .(16) dxJ COS X思路:湊微分。ATt C SinX fC 111C解：I 一-x =ICOSX = + C.J COS XJ COS X2 COS- X(17)X92 己思路:經過兩步湊微分即

12、可。解 (18) f / A IIXJ 9-4x2思路:分項后分別湊微分即可。解：.1 A -v = f 1(.Ix - f . A (JXJ 9-4x2 J 9-4x2J 9-4-= F4對2J_()23-f f 1 =d- + -F I !f(9-4x2)2_(普)2 3 和婦77=丄 arcsin(-) + 9-4x2 + C 234f (IX* 2x2-1思路:裂項分項后分別湊微分即可O(IX_ r(11 M l(20)(2x +1)( 1)21 Tx +1C XdXJ (4 _ 5x)2思路:分項后分別湊微分即可。解:f XdXJ (4 _ 5x)2f l(4-5x-4J 5 (4

13、5x)2)=z/(arctan x) O x(l + x) 1 + (x)2ATt C ai ctan x I 解:rk.二屮(I 長=J 2 arctan fxd (arctan x)=(arctan yx)2 + Cr IntanX fdxJ Cosxsinx思路:被積函數中間變量為tanx,故須在微分中湊出tanx,即被積函數中湊岀sec2 X ,In tan XIn tan Xf fIn tan X 7 I In tan X fdx =；dx =sec XdX =a tan XCOSxSin X cos Xtan X tan Xtan X=In tan Xd (In tan x) =

14、(g(ln tan Xy)n jn 八 d tan x= f In tan (ln tan x) tan XJIn tan Xtan x.t r In IanX f C IntanX r C解：Idx= I一；dx= IJ COSXSInXJ cos* XtanX J=(Intan x)2 + C思路：CKX In X) = (1 + In x)dxATt f 1 + ln.r f f 1 f/ I1 C解：J(XInX) = + CJ (XInx)J (xlnxJlInX(33) (iJ _0解：方法一：思路:將被積函數的分子分母同時除以則湊微分易得。P dxJ IF= -FZ() = /(

15、嚴 _1) = _Inl 嚴 ex -1-1I+C方法二：思路:分項后湊微分c-ex+ex必= JkA + J 在M=XT 占(IT)= X-InI 1 夕 I+C = X-In0 I 廠一Il) +C = X-(In 6x-InkI-II)+ C=-In lv-II+C方法三：f E _ l 1 JJ ex-exLeX 1-此P dx _ exdxJ 1-，一 J 叭1-，)思路：將被積函數的分子分母冋時乘以裂項后湊微分。dex = In ex J - (1 ex)= X-InlI- e I+C = - In I e 一 11 +Cdxx(x6 + 4)解：方法一:思路：分項后湊積分。X5X

16、6+4、dxdx4dx _ 1 r X6 +4-x6x _ x(x6+4)4J Xa6+4)一7J _4 X=jin,-4ini-InlA+4i+c方法二：思路:利用第二類換元法的倒代換。則 dx = _ dtdxF(I-F)(I-F)(I+ F)(1 + F)8d-1 2 *)dx +Jdxl-x2r 1 + x思路：分項后湊積分。 + x6訂?方法二 思路：利用第二類換元法的倒代換。令X = 1,則dx = -dt = J*7Tx(V 力)=T z Ta6+m+jr1= -(r6+r4+r2+l)6z-Inl.)jz = -(r6+z4+r2 + l)jr-l斗)力r + 1f l7+T+

17、c =1 11 I11IIl II-XIC；In II +C7 X5 X3 x3X2 + x3、求下列不泄積分。知識點：（真正的換元，主要是三角換元）第二種換元積分法的練習。思路分析:題目特征是-一-被積函數中有二次根式，如何化無理式為有理式三角函數中, 下列二恒等式起到了重要的作用。sin2 X+ cos2 x = l;為保證替換函數的單調性，通常將交的范用加以限制，以確保函數單調。不妨將角的范 用統統限制在銳角范WI內，得出新變量的表達式，再形式化地換回原變量即可。1思路:令sin訓V，先進行三角換元，分項后,再用三角函數的升降幕公式。解：令X = SinrJrI 則T = COSMf。1

18、 1 2 dx =CCOStdt=dt1 + Jl _2 1 + COS J J 1+ COSf+ C)=r - tan + C = arcsin X+ C.(或=arcsin X2 l + l-x2.八八亠tSinrI-COSf(h 旋公式 tan -=2 1 + COS tSint又Sinr = X時，cos/ =Jl-F ) L思路:令x = 3SeCmOZ),三角換元。2解：令 X = 3sectJ (0,),則 dx = 3sect Iantdt O2dx = : W 3 SeC t tan tdt = 3 tan Jr = 3 (sec 7 - I)CIt A3 SeC t= 3t

19、anr-3r + C = 7_3arccos_ + C.(x = 3sec;V時，COSX =-,sinx = ,tanx = )XX3思路:令X= tanr ,三角換元。龍1解：令 X = tan 則 dx = sec2 tdt。_ see2 tdt(fJX=COStdt = Sin / + C=,廠 - + Csec/ J1 + X2dx J dXy(x2 +1)3 J SeM t思路:令X = atanr ,三角換元。1 1 2解：令 X = a tan Id ,則 d = asec2 tdt。I 1 2dxr a sec2 tdt C dt 1 p f 1Cf二= =COSMf = -

20、snf + CJ(x2 + 2)3 J a SeC t J Cr SCCt Cr Ja思路:先令“，進行第一次換元;然后令心an創今進行第二次換元。Ix2,令U = x2W:x277T+ 7r tan r+ 19 J Irtan / +1ISeC- tat =2j tanrsec/2du ,令“ =tan r ,則 Chl = sec2 tdt,SCCtCltIant.訂jx7712 打2,= (CSC t + SeC tdt = In ISeC r + tan + -In ICSC r-cotr + C2 2 24,n+ U + -In21H+c4in+ x2 +-In2+ C.（與課本后答

21、案不同） J 5 - 4x - X2 dx思路:三角換元，關鍵配方要正確。解:令 x + 2 = 3sin則 dx = Scostdt。.,.5-4x-x2dx = j*9cos2tclt = 9 + cosf = 9( + -Sin 2r) + C9. x + 2 x + 2 rT=arcsnF5 - 4X-X +C.232U 求一個函數/(X),滿足 f (X) = -=!=,且/(O) = 10思路:求岀Jl + X的不左積分，由條件/(0) = 1確立出常數C的值即可。解：. 一丫=一(兀 + 1) =2jl + X + J l + xJ l + x令/(x) = 2+7+C,又/(0

22、) = 1,可知C = -I,. f(x)=2*yl + x 1 5.設 In = tan XdXy,求證:tan 1 X 一 .2,并求 J tan5 XdX。思路：由目標式子可以看岀應將被積函數tan,r X分開成ta-2xtan2x ,進而寫成:tan2 X(SeC2 x-1) = tann2 XSeC2 x-tann-2 X ,分項積分即可。tan XdX = J(tan2 XSCCl x-tan,2 x)dx = Jtan12 xsec2 XdX-tan2 XdX=f tanh2 Xd IanX-In I = tan1 X-IllJ- n _ 1n = 5W, I5 =tanf A

23、+ 1.1解TE右 XdX =丄tan4 X-L = tan4 x-tan2 x + 14342,= Itanv-itaxftan = ltax-ltan42；-4. ； X-InlCOSxl + C.習題4-31、求下列不泄積分：知識點：基本的分部積分法的練習。思路分析：嚴格按照“反、對、幕、三、指順序，越靠后的越優先納入到微分號下 湊微分的原則進行分部積分的練習。 (1) arcsin XdX思路:被積函數的形式看作X0 arcsinX,按照“反、對、幕、三、指順序，幫函數X0優先納入到微分號下，湊微分后仍為dx解：f arcsinXdX = XarCSinX- x =ClX = XarC

24、Sinx + - f .(1 -x2)JJ l-x22J l-2= XarCSin % yj-x2 + C. (2) In(I + x2)dx 思路：同上題。= XIn(I+ )-2x + 2CIXl + x2解：J In(I + X2 XiX = ln(l + x2) - x -YdX = X In(I + x2) - IdX=XIn(I + x2)-f 2( V + 1J 1 + 2=XIn(I + x2) - IX + 2 arctan X + C. (3) J arctanXdX思路：同上題。解:J arctan XdX = XarCtan X-Pdxl + x21 f J(l + x

25、2)=XarCtan X 2j 1 + x2= XarCtan X-In(I + x2)+ C 21 Sin IJX思路：嚴格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。解：. ex Sin IX = Sin(-ge2x) = -e2x Sin+ -e2x gCOS扌dxSi顯丄亠2CoSf-Le-sin2嚴Tr(4sin-+ cos) + C.2 2 (5) J X2 arctan XdX思路：嚴格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。解:X2 arctan XdX = arctan z(-)= larctanx-fi-L.x3 J 3 + x21 31 r-v +x-x I 1 3If,

26、 X X I=-x arctanX dx = -X arctanX (X)dx33j 1 + x2 33j 1 + x2lf7I31 2 1 f 1；Z1 3j 1 + x236 6j 1 + x2= -x3 arctan 兀-丄x2 + In(I + x2) + C.366= l3 arctan x-xJx +33j思路：嚴格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。解： XCOS lX = 2az Sin 中=2xsin 扌一 2 f Sin -CIX = 2xsin =2xsin + 4cos + C2 2(7) Xtan2AzAr思路：嚴格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。解：

27、Xtan2AzZv = JX(SeC2 X-I)心= J(Xsec2 X X)ClX = XSeC2 XdX -XdX= (tan .r) 一 XdX = XtanX-J tan XdX x2 = X tan X + In ICOS x-x2 +C.2 2(8) Urxdx思路：嚴格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。 解 In2zX = XIn2 x - x 2 In x dx = X In2 x-2 In XClX = x In2 x - 2x In x + 2 x dx YX=%In2 X-2xnX + 2 dx = xn2 x-2xnx + 2x + C. JXln(X - Iy

28、ZV思路：嚴格按照“反.對、幕、三、指”順序湊微分即可。解：xln( iZr = In(X-Iy/ = -x2 In(X-I)J 222 a 1-CIX=x2 In(X-1)- IX = -x2 In(X-1)- (x+1hLrMV22X-* 122x-1ln(A-I)-i-lIn(X-I)+c(10) flJJ Jr思路：嚴格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。In2 X .Jx =X解：fln2 Xd(丄)=_丄InJ x+ f JX XJ X1X=-In2 x + 2f lv(-) = - In2 X-InX+ 2f-/7,則X = tdx = 3t2dt,-6et + 6J et

29、dt = 3et - 6ett + 6el + C Jedx = 3t2dt = 3ett1dt = 3Fdd = 3t2ef 一32tetdt = 3t2e, -32tde, =3t2e,=3好皈-67+6 + C = 3 尹(妹-27 + 2) + C. (21) (arcsin XydX思路：嚴格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。解： (arcsin XydX = x(arcsin2 arcsin .v f IXl-x2=x(arcsin .v)2 + d (I-X) = (arcsin x) + 2 arcsin z(1-x2)=x(arcsin .v)2 +2 Jl -L a

30、rCSin x-2 1-X2=x(arcsin x)2+ 21 -X2 arcsinx-2arcsinx)2 + 21 -X2 arcsin x-2x + C.(22) HSin訟思路：嚴格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。 解：方法一：XdXex sin2 XClX = ISin2 XdeX =ex sin2K2sinXCOS-ex Sin 2xdx. ex Sin 2xdx = Sin 2xdex = ex Sin 2x - x-4arctan x-C所以原積分 In(IjlV)Jx = 2rln(l + x)-4x+4 arctan J7 + C。 (24) In(I lxJ e思路：嚴格按照“反.對、幕、三、指”順序湊微分即可。解：J n( + e )d = IIn(I + 小(-嚴)=YT In(I + ex) + ex p7xI-X= - ln(l + 6,r) +=YT ln(l + eJ)-In(I+ t) + C.注：該題中JFT7厶的其他計算方法可參照習題4-2, 2 (