1、第十章第十章 彎曲變形彎曲變形 10-1 梁變形的根本概念梁變形的根本概念 撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角10-2 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程10-3 積分法計算梁的變形積分法計算梁的變形10-4 疊加法計算梁的變形疊加法計算梁的變形1-05 簡單超靜定梁簡單超靜定梁-彎曲剛度的計算彎曲剛度的計算 梁彎曲變形的計算梁彎曲變形的計算目的：要控制梁的最大變形目的：要控制梁的最大變形在一定的限制內(nèi)。在一定的限制內(nèi)。 工程中對梁的設計，除了必需滿足強度條件外，還必工程中對梁的設計，除了必需滿足強度條件外，還必需限制梁的變形，使其變形在允許的范圍之內(nèi)。需限制梁的變形，使其變形在允許的范圍之內(nèi)。 梁的撓度

2、，橫截面的轉(zhuǎn)角。梁的撓度，橫截面的轉(zhuǎn)角。度量梁變形的參數(shù)度量梁變形的參數(shù)-二、撓度：橫截面形心沿垂直于二、撓度：橫截面形心沿垂直于 軸線方向的位移。軸線方向的位移。 一、撓曲線：梁變形后的軸線。一、撓曲線：梁變形后的軸線。 性質(zhì)：延續(xù)、光滑、彈性、 極其平坦的平面曲線。三、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過三、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。用的角度。用“ 表示。表示。q q用用“y y 表示。表示。FCyq q10-1 10-1 梁變形的根本概念梁變形的根本概念 撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角xxy = yx 撓曲線方程。撓曲線方程。 撓度向下為正；向上為負。撓度向下為正；向上為負。=(x) =(x) 轉(zhuǎn)角方程

3、。轉(zhuǎn)角方程。 由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后，由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后， 順時針為正；逆時針為負。順時針為正；逆時針為負。 四、撓度和轉(zhuǎn)角的關系四、撓度和轉(zhuǎn)角的關系撓度：橫截面形心沿垂直于撓度：橫截面形心沿垂直于 軸線方向的位移。軸線方向的位移。 轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。用的角度。用“ 表示。表示。用用“y y 表示。表示。yxydxdytg)(qytgqqqq qFCyxxq q ( (撓曲線為一條平坦的曲線撓曲線為一條平坦的曲線) )x一、曲率與彎矩的關系：一、曲率與彎矩的關系：EIMr1二、曲率與撓曲線的關系數(shù)學表達式二、曲率與撓曲線的關系數(shù)學表達式) )2

4、32)(1)(1yyx ryx )(1r2 2三、撓曲線與彎矩的關系：三、撓曲線與彎矩的關系： 聯(lián)立聯(lián)立1 1、2 2兩式得兩式得yx EIM)()(xyMEI 1zEIxMx)()(1r, 1y10-2 10-2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程q qCyxq qyM 00)( xy撓曲線近似微分方程的近似性撓曲線近似微分方程的近似性忽略了忽略了“FsFs以及以及 對變形對變形的影響的影響 2)(y運用條件：彈性范圍內(nèi)任務的細長梁。運用條件：彈性范圍內(nèi)任務的細長梁。M xy)(xMy EI結(jié)論：撓曲線近似微分方程結(jié)論：撓曲線近似微分方程xyxy)(22xMdxydEI)(xyME

5、I )()(xMxyEI 1)()()(CdxxMxEIxyEIq21)()(CxCdxdxxMxEIy 10-3 10-3 積分法計算梁的變形積分法計算梁的變形步驟：步驟：EI為常量為常量1 1、根據(jù)載荷分段列出彎矩方程、根據(jù)載荷分段列出彎矩方程 M Mx x。2 2、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進展積分、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進展積分3 3、根據(jù)彎曲梁變形的邊境條件和延續(xù)條件確定積分常數(shù)。、根據(jù)彎曲梁變形的邊境條件和延續(xù)條件確定積分常數(shù)。0Ay0By0Dy0 Dq q右右左左CCq qq q 延續(xù)條件：延續(xù)條件：右右左左CCyy 邊境條件：邊境條件：DPPABCF

6、1 1、固定端處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。、固定端處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。2 2、固定鉸支座處；可動鉸支座處：撓度等于零。、固定鉸支座處；可動鉸支座處：撓度等于零。3 3、在彎矩方程分段處：、在彎矩方程分段處： 普通情況下左、右的兩個截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。普通情況下左、右的兩個截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。4 4、確定撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程、確定撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程5 5、計算恣意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。、計算恣意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。1 1、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程 M Mx x。2 2、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方

7、程并進展積分、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進展積分3 3、根據(jù)彎曲梁變形的邊境條件和延續(xù)條件確定積分常數(shù)。、根據(jù)彎曲梁變形的邊境條件和延續(xù)條件確定積分常數(shù)。積分法計算梁變形的步驟積分法計算梁變形的步驟21)()(CxCdxdxxMxEIy 邊境條件：邊境條件：延續(xù)性條件：延續(xù)性條件：)()(xMxyEI 1)()()(CdxxMxEIxyEIq解：a) 建立坐標系并寫出彎矩方程EIFLLy3)(3例：求圖示懸臂梁自在端的撓度及轉(zhuǎn)角例：求圖示懸臂梁自在端的撓度及轉(zhuǎn)角( EI=( EI=常數(shù)。常數(shù)。)()(xLFxMb) 寫出微分方程并積分c) 運用位移邊境條件求積分常數(shù))()(xLFx

8、MyEI 12)(21CxLFyEI213)(61CxCxLFEIyFx322161 ; 21FLCFLCd) 確定撓曲線、轉(zhuǎn)角方程3236)(xLxEIFxyLxxEIFy222qEIFLL2)(2qe) 自在端的撓度及轉(zhuǎn)角 x=0處處 : y(0) = 0 ; q (0)=0yLqlABxC解：解：a) 建立坐標系并寫出彎矩方程建立坐標系并寫出彎矩方程b)寫出撓曲線近似微分方程并積分寫出撓曲線近似微分方程并積分c)運用位移邊境條件求積分常數(shù)運用位移邊境條件求積分常數(shù)d)確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程e)最大撓度及最大轉(zhuǎn)角最大撓度及最大轉(zhuǎn)角ql/2ql/2)(222)(22xlxq

9、qxxqlxM)(22xlxqyEI x = 0 ： y = 0 ; x = l ： y = 0 . )46(24)2(24323323xlxlEIqyxlxlEIqxyq0,24231CqlCEIqlEIqlyBALx2438453max42maxqqq例：求圖示簡支梁的最大撓度例：求圖示簡支梁的最大撓度 和最大轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角 ( EI = 常數(shù)常數(shù) 132)32(2CxlxqyEI2143)126(2CxCxlxqEIy222323222222222226)(62)(2)(DxCaxFxLFbEIyCaxFxLFbyEIaxFxLFbyEI 11)(xLFbxMFC解：解：a)a)建立坐標

10、系并寫出彎矩方程建立坐標系并寫出彎矩方程b)b)寫出微分方程并積分寫出微分方程并積分例：求圖示梁的跨中的撓度和轉(zhuǎn)角例：求圖示梁的跨中的撓度和轉(zhuǎn)角 EI=常數(shù)常數(shù)左側(cè)段左側(cè)段0 x1 a：右側(cè)段右側(cè)段a x2 L：11131112111162DxCxLFbEIyCxLFbyEIxLFbyEI 1xABab2xLba)()(222axFxLFbxMlFblFaAC段段CB段段222323222222222226)(62)(2)(DxCaxFxLFbEIyCaxFxLFbyEIaxFxLFbyEI FC左側(cè)段左側(cè)段0 x1a： 右側(cè)段右側(cè)段ax2L：11131112111162DxCxLFbEIyC

11、xLFbyEIxLFbyEI 1xABab2xlFblFac) 運用位移邊境條件和延續(xù)條件求積分常數(shù)延續(xù)條件：延續(xù)條件：y1(a) = y2(a), y1(a) = y2(a); 邊境條件：邊境條件：y1(0) = 0 , y2(L) =00);(6212221DDbLLFbCCb)寫出微分方程并積分寫出微分方程并積分222323222222222226)(62)(2)(DxCaxFxLFbEIyCaxFxLFbyEIaxFxLFbyEI FC左側(cè)段左側(cè)段0 x1a： 右側(cè)段右側(cè)段ax2L：11131112111162DxCxLFbEIyCxLFbyEIxLFbyEI 1xABab2xlFbl

12、Fa0);(6212221DDbLLFbCCd) d) 確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程2122112122113)(66xbLLEIFbyxbLLEIFbxyq)(31)(2)()(62222222222232322bLxaxbLLEIFbyxbLxaxbLLEIFbyqe) e) 跨中點撓度及兩端端截面的轉(zhuǎn)角跨中點撓度及兩端端截面的轉(zhuǎn)角d) d) 確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程2122112122113)(66xbLLEIFbyxbLLEIFbxyq)(31)(2)()(62222222222232322bLxaxbLLEIFbyxbLxaxbLLEIFbyq);43(4

13、82212bLEIFbyyLxC;6)()0(1LEIbLFabAqq兩端支座處的轉(zhuǎn)角兩端支座處的轉(zhuǎn)角FC1xABab2xlFalFbLEIaLFabLB6)()(2qq跨中點撓度跨中點撓度討論：討論：1 1、此梁的最大轉(zhuǎn)角。、此梁的最大轉(zhuǎn)角。 LEIaLFabB6)(maxqqFC1xABab2xlFblFa當當 a b 時時LEIaLFabLEIbLFabBA6)(;6)(qq討論：討論：2 2、此梁的最大撓度、此梁的最大撓度FC1xABab2xlFblFa當當 a b 時時最大撓度發(fā)生在最大撓度發(fā)生在AC段段2122112122113)(66xbLLEIFbyxbLLEIFbxyq)(3

14、1)(2)()(62222222222232322bLxaxbLLEIFbyxbLxaxbLLEIFbyq221max3)2(30baabLxy1y3221max)(391bLLEIFbyyxxFC1xABab2xlFblFa當載荷接近于右支座，即b很小時，由上式可得：EIFbLEIFbLy22max0642. 039而此時梁跨中截面處的撓度為：EIFbLEIFbLy220625. 016跨中兩者相差也不超越中點撓度的3%。 因此，在簡支梁中，只需撓曲線無拐點，即可用中點撓度來替代最大撓度。221max3)2(30baabLxy1y3221max)(391bLLEIFbyyxx 3、a = b

15、 時此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。時此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。EIFLyyEIFLLxCBA48;163max2max2qqqFCABab寫出以下各梁變形的寫出以下各梁變形的邊境條件和延續(xù)條件邊境條件和延續(xù)條件.,; 02121CCCCBEBAyyLyyqq1C截面左側(cè)截面左側(cè)2C截面右側(cè)截面右側(cè)ABFCL/2L/2EABC.; 0; 0, 021CCBAAyyyyq1 1、梁在簡單載荷作用下?lián)隙取⑥D(zhuǎn)角應為知或有變形表可查；、梁在簡單載荷作用下?lián)隙取⑥D(zhuǎn)角應為知或有變形表可查；2 2、疊加法適用于求梁個別截面的撓度或轉(zhuǎn)角值。、疊加法適用于求梁個別截面的撓度或轉(zhuǎn)角值。)()()(),(221121nB

16、nBBnBFFFFFFqqqq )()()(),(221121nBnBBnBFyFyFyFFFy 一、前提條件：彈性、小變形。一、前提條件：彈性、小變形。二、疊加原理：各載荷同時作用下，梁任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，二、疊加原理：各載荷同時作用下，梁任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等于各載荷分別單獨作用下同一梁同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。等于各載荷分別單獨作用下同一梁同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。三、疊加法的特征：三、疊加法的特征：10-4 10-4 疊加法計算梁的變形疊加法計算梁的變形aaF=+例：疊加法求例：疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角和截面的轉(zhuǎn)角和C截面截面 的撓度的撓度.解解: a): a)載荷分解如圖載荷分解

17、如圖b)b)由梁的簡單載荷變形表，由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。查簡單載荷引起的變形。EIFaEIFLyCF64833EIFaEIFLAF41622qEIqaEIqLyCq245384544EIqaEIqLAq32433qaaqFA AC CAaaqaaF=+例：疊加法求例：疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角和截面的轉(zhuǎn)角和C截面截面 的撓度的撓度.EIFaEIFLyCF64833EIFaEIFLAF41622qEIqaEIqLyCq245384544EIqaEIqLAq32433qaaqFA AC CAaaqEIFaEIqayyyCqCFC624534AqAFAqqqc)c)疊加疊加)43(

18、122qaFEIa=+L/2qFL/2ABC例：確定圖示梁例：確定圖示梁C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。截面的撓度和轉(zhuǎn)角。解：解：1 1、載荷分解如圖、載荷分解如圖2 2、查梁的簡單載荷變形表、查梁的簡單載荷變形表EIqLEIqLyCqCq6;834qL/2qL/2;243)2(33EIFLEILFyBFEIFLLEIFLEIFLLyyBFBFCF48528242323qEIFLBFCF82qqEIFLEILFBF82)2(22q)(a)(a)(bL/2FL/2)(bB由由F引起的引起的C點位移：點位移：3 3、疊加、疊加,485834EIFLEIqLyyyCFCqCEIFLEIqLCFCqC8623qq

19、qL/2L/2qA AC CA=+例：求圖示梁例：求圖示梁C截面的撓度。截面的撓度。解：解：1 1、載荷分解如圖、載荷分解如圖2 2、查梁的簡單載荷變形表、查梁的簡單載荷變形表EIqLEILqyyyyCaCbCaC7685384)2(50443 3、疊加、疊加0;384)2(54CbCayEILqyL/2A AC CAq/2L/2(a)L/2L/2A AC CAq/2q/2(b)=+ABLa aCqqaABL CM=qa2/2b例：求圖示梁例：求圖示梁B截面的撓度截面的撓度EI 知。知。解：解：1) 1) 構(gòu)造分解如圖構(gòu)造分解如圖2) 2) 查梁的簡單載荷變形表查梁的簡單載荷變形表3) 3)

20、疊加疊加B CqaEILqaaEILqaayEIqayCbBbBa63)21(;8324qEILaqaEILqaEIqayyyBbBaB24)43(68334例：求圖示梁例：求圖示梁C截面的撓度。截面的撓度。解：解：1 1、構(gòu)造分解如圖、構(gòu)造分解如圖2 2、查梁的簡單載荷變形表、查梁的簡單載荷變形表L/2FL/2ABC2EIEIL/2FL/2ABCa=+L/2FL/2ABCbM=FL/2EIFLEILFyCa243)2(333 3、疊加、疊加EIFLEIFLEIFLyyyCbCaC163487243332LyyBbBbCbqEIFLLEILFLEILFEILFLEILF48722)2(2)2(2)2()2(22)2(2)