1、5.5 有限沖激響應濾波器的設計有限沖激響應濾波器的設計 1. 線性相位線性相位FIR濾波器特性濾波器特性 1) 對對h(n)的約束：的約束：)1()(212)1()(210nNhnhNnNhnhN2) 對零點分布的限制：對單位圓呈現共軛反演對稱分布；對零點分布的限制：對單位圓呈現共軛反演對稱分布；3) 對頻率特性的限制：對頻率特性的限制：由由h(n)的奇偶二種對稱性以及的奇偶二種對稱性以及N等于奇偶不同情況可以有四種頻等于奇偶不同情況可以有四種頻率特性與之對應。率特性與之對應。偶對稱情況：奇對稱情況：)()()(jjjeeHeH情況情況1： 經推導化簡得頻率特性：經推導化簡得頻率特性：odd

2、N)n1N(h)n(h21-N,2,1,mm)-21-N2h(0m)21-Nh(a(m)cos()()()cos()()()(210210)21()21(其中頻率幅度函數NmjNmNjNjjjmmaeHmmaeeeHeH)e (Hj 特 點： 對 0， ，2 呈 偶 對 稱。)(jeH 情況情況2： 經推導化簡得頻率特性：經推導化簡得頻率特性：evenNnNhnh)1()(20)21()21()21(cos()()()(NmNjNjjjmmbeeeHeH2N,2,1,mm)-2N2h(b(m)21(cos()()(20其中頻率幅度函數NmjmmbeH)e (Hj 特 點：當= 時，H()=0

3、，即在 z-1 處 有一個零點， 對=是奇對稱，因而不能用這種濾波器實現高通濾波特性 ； 當=0，2 時， 是偶 對 稱，可以實現低通濾波特性； 是以4為周期的周期性函數。 )e (Hj)e (Hj情況情況3： 經推導化簡得頻率特性：經推導化簡得頻率特性：oddN)n1N(h)n(h21-N,2,1,mm)-21-N2h(c(m)sin()()()sin()()()(210210)212()212(其中頻率幅度函數NmjNmNjNjjjmmceHmmceeeHeH)e ( Hj 特 點： 1 在 0，2處為零， 也就是 H( z ) 在 處為零； 2 對 0， 2 成 奇 對 稱，因而無法實現

4、 低通和高通； 3 是以4為周期的周期性函數； 4 有固定的 相移，適宜做微分器、希爾伯特變換器；)e (Hj1z)e (Hj)e (Hj2情況情況4： 經推導化簡得頻率特性：經推導化簡得頻率特性：evenNnNhnh)1()(2N,2,1,mm)-2N2h(d(m)21(sin()()()21(sin()()()(2020)212()212(其中頻率幅度函數NmjNmNjNjjjmmdeHmmdeeeHeH 特 點： 1 在0， 2處為 零， 即H( z )在 z=1處為零點； 2 對 0， 2 呈 奇 對 稱， 對 呈 偶 對 稱； 3 有固定的 相移，適宜做寬帶微分器和正交變換器；)e

5、(Hj)e (Hj2)(jeH線性相位FIR濾波器頻率特性：)e(He)e(H)e(He)e(Hj)21N(2( jjj)21N( jj)e (Hj為的實偶函數h(n)=h(N-1-n) 偶對稱條件 N=odd， =0， 不為0； N=even， =0 不為0, = 為0, 為的虛奇函數h(n)=h(N-1-n) 奇對稱條件 N=odd， =0， 都為0； N=even， =0 為0, = 不為0, 0)z(H1z0)z(H1z)e (Hj0)z(H1z(有 相移)2 4) FIR濾波器設計方法 窗函數法設計頻域方均誤差最?。?頻率采樣法設計函數插值法逼近； 等波紋法設計Chebyshev最佳

6、一致逼近； 2. 窗函數法設計 1) 窗函數法設計準則頻域方均誤差最小min)()(2122deHeHjjd推導得到：h(n)=hd(n)RN(n)矩形窗函數 2) 理想低通加矩形窗后頻率特性的變化 理想低通：nnnnnhuueeHccdccjjd)()(sin()()()()(矩形窗：)2sin()2sin()()()()21(NeeWnRnwNjjRN加矩形窗后理想低通頻率特性：ccdNedeWeHeWeHeHNjjRjdjRjdj)(21sin()(2sin(21)()(21)()(21)()21()(幾個特殊點的觀察 加窗處理后， 對理想矩形的頻率響應產生以下幾點影響： （1） 使理想

7、頻率特性不連續點處形成一個過渡帶， 其寬度正 比于窗的頻率響應的主 瓣寬度；8.95%N421dB （2） 在截止頻率的兩邊的地方即過渡帶的兩邊，出現最 大的肩峰值， 肩峰的兩側形成起伏振蕩， 其振蕩幅度取決 于旁瓣的相對電平， 而振蕩的多少， 則取決于旁瓣的多少。 (即Gibbs現象) 。 （3） 改 變N，只能改變窗譜的主瓣寬度， 改變的 坐標比例以及改變WR( ) 的絕對值大小， 但不能改變主瓣與旁瓣 的相對比例此比例由窗函數的形狀決定）。 結論：在窗函數設計中 與N成反比； 與窗函數主瓣寬度成正比； 與N無關； 與窗函數旁瓣電平(面積)成正比；過渡帶寬度阻帶衰減je3) 窗函數的主要指

8、標及類型窗函數的主要指標及類型 (1)窗函數的主要指標窗函數的主要指標 主瓣寬度：主瓣寬度：3 dB 帶寬帶寬 ：主瓣歸一化幅度降到：主瓣歸一化幅度降到 3 dB 時的帶寬；或直接用主瓣時的帶寬；或直接用主瓣零點間的寬度；零點間的寬度；B04 /BN2 / NB 旁瓣最大峰值電平 A (dB）；A 旁瓣譜峰衰減速度 D( dB/oct） (2)窗函數的主要類型 結構型窗：由簡單窗函數的相加、相乘、卷積等組合成性能較好的窗函數；-4-3-2-101234-2-1012345678例：漢寧(Hanning)窗-4-3-2-101234-2-1012345678)1N2)(21N( j)( jR)1

9、N2)(21N( j)( jR)21N( jjR)1N2( jR)1N2( jRjRjn)1N2( jn)1N2( je )e (W21e )e (W21e )e (W21)e (W21)e (W21)e (W21)e (We41e4121)1Nn2cos(1 21)n(w-4-3-2-101234-1012345678)1N2)(21N( j)( jR)1N2)(21N( j)( jR)21N( jjR)1N2( jR)1N2( jRjRjn)1N2( jn)1N2( je )e (W21e )e (W21e )e (W21)e (W21)e (W21)e (W21)e (We41e4121

10、)1Nn2cos(1 21)n(w Kaiser窗：定義：OthersNnInInw,)(/ )(/010102120令：1020logAps可確定：210502121078860215842050781102040AAAAAA),(.)(.).(.128528)./()(AN 按優化準則構造的窗函數： DolphChebyshev Window 給定時寬T和旁瓣電平，讓主瓣寬度最窄；為旁瓣衰減其中1-11j10)(10coshN1coshcoshNcosh)2cos( (cosNcos)e (W05101520253000.010.020.030.040.050.060.07DolphChe

11、byshev Window (N=31, 10360dB)020040060080010001200-120-100-80-60-40-200dB4) 不同窗函數和不同N對濾波器頻率特性的影響：5) 窗函數法設計舉例：參考教材6) 窗函數法設計優缺點： 優點：1. 無穩定性問題； 2. 容易做到線性相位； 3. 可以設計各種特殊類型的濾波器(例如微分器)； 4. 方法特別簡單。缺點：1. 不易控制邊緣頻率； 2. 幅頻性能不理想； 3. h(n) 較長；3. 頻率取樣法設計頻率取樣法設計頻率抽樣法是指定離散的理想頻率響應頻率抽樣法是指定離散的理想頻率響應Hd(k)抽樣值，通抽樣值，通過內插求得

12、過內插求得H(z) ，因而是插值法逼近。，因而是插值法逼近。 1) 頻率取樣法設計原理頻率取樣法設計原理 由由Hd(k)求求Hd(z)的插值公式：的插值公式：101111NkkNdNdzWkHzNzH)()()()kN2(21sin)kN2(2NsineN1)k(HeeW1)k(H)e1 (N1)e(H1N0k)1N(Nkjd)21N( j1N0kjkNdjNjdS(,k)假設 具有線性相位特性，那么：)e (Hjd)kN2)(21N( jdkN2)21N(jjdkN2jde)k(He)e(H)e(H因而頻域內插公式：)kN2(21sin)kN2(2NsinN1)k(He)e(H1N0kd)2

13、1N( jjd設計結果的評價： 取樣點與要求的特性完全吻合，其 他點由內插決定； 在截止頻率附近形成平滑的過渡帶； 阻帶衰減小于20dB；)2sin()2Nsin(N1)k,(S2) 阻帶頻率特性的改善阻帶頻率特性的改善 措施：在通帶和阻帶之間設置措施：在通帶和阻帶之間設置“非約束頻率取樣非約束頻率取樣點，點，改變其點數和幅度，使阻帶衰減達到最大；改變其點數和幅度，使阻帶衰減達到最大； 原理：原理：-4-3-2-101234-10-50510152025303540-4-3-2-101234-10-50510152025303540-4-3-2-101234-10-50510152025303

14、5-4-3-2-101234-10-505101520253035-4-3-2-101234-10-505101520253035-4-3-2-101234-10-50510152025303540-4-3-2-101234-10-50510152025303540-4-3-2-101234-505101520253035-4-3-2-101234-505101520253035-4-3-2-101234-505101520253035H1=0.5H1=0.3904H1=0.5886H2=0.1065 一個：4454dB 二個：6575dB 三個：8595dB 過渡帶的樣本點數與阻帶衰減的估算

15、 3) 設計原則：設計原則： 選擇非約束頻率點的個數和幅度，使阻帶衰減達到最大；選擇非約束頻率點的個數和幅度，使阻帶衰減達到最大； 與N成反比； 與非約束頻率點的個數成正比； 與N無關； 與非約束頻率點的個數和幅度有關； 過渡帶寬度阻帶衰減4. 等波紋逼近等波紋逼近 1) 函數逼近法簡介：函數逼近法簡介： 用用PN(x)N階多項式來逼近函數階多項式來逼近函數f(x) 最小均方逼近：最小均方逼近：mindx)x(f)x(Pab1ba2N 插值法逼近：多項式PN(x)，在x=xk點有 PN(xk)=f(xk), k=1，2，3， ，N 最佳一致逼近：著眼于在a, b區間內使誤差函數 E(x)= 均

16、勻一致 且使)x(fPN)x(EminmaxaxbChebyshev最佳一致逼近理論解決了 PN(x) 的存在性、唯一性及構造方法等問題。Chebyshev交錯定理：設f(x)是定義在a, b上的連續函數，PN(x)是N次多項式集中的一個階次不超過N的多項式，令 )x(f)x(PmaxENbxaNPN(x)是 f(x) 最佳一致逼近的充要條件是， 在a, b上PN(x)至少存在(N+2)個交錯點：ax1x2 xN+2b 使： )1x(E)x(EE)x(EiiNii=1, 2, 3, , N+2 010203040506070-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2+E

17、N-ENabx1 x2 x3xE(x)=PN(x) f(x)02等波紋設計要求及參數等波紋設計要求及參數)()()()(ssppjjdeeH00過渡帶過渡帶)()(jjjeHeeH通帶內以最大誤差1逼近1阻帶內以最大誤差2逼近0用統一的加權誤差函數表示：)e (H)e (H)e (W)e (Ejjdjj其中：100)e(Wsspp12j Chebyshev逼近問題是尋求H(ej), 使加權誤差函數E(ej) 在區間0，具有等波動性 且： 對于如圖所示的低通濾波器頻域容差圖共有5個參數： M(極值點的個數)，1，2，p, s 設計時不可能獨立地規定全部5個參數，而是根據不同的 算法，規定某幾個參

18、數，然后用疊代法得到其余參數的 最佳值。 Parks-McClellan算法。 )e (Emaxminj0)e (Emax)e (E)e (Ejjj1ii數字濾波器設計中常用的Matlab函數 1) 與結構有關的m函數 直接型：tf2zp、zp2tf由H(z)求零、極點或反之； zplane畫零、極點分布； filter系統對輸入信號的響應； freqz求系統的頻率特性； 級聯型(sos)：zp2sos由零、極點求級聯型結構； 并聯型：residuez由直接型求并聯型結構(部分分式 展開)； 格型結構：poly2rc、rc2poly由多項式求K或反之； tf2latc、latc2tf由H(z)求格型結構或反之； latcfilt格型結構對x(n)的響應；2與IIR濾波器設計有關的m函