1、7.1 假設(shè)檢驗的基本思想與概念7.2 正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)檢驗7.3 其它分布參數(shù)的假設(shè)檢驗7.4 分布擬合檢驗7.1 假設(shè)檢驗的基本思想與概念 7.1.1 假設(shè)檢驗問題 某產(chǎn)品出廠檢驗規(guī)定某產(chǎn)品出廠檢驗規(guī)定: 次品率次品率p不不超過超過4%才能出廠才能出廠. 現(xiàn)從一萬件產(chǎn)品中任意現(xiàn)從一萬件產(chǎn)品中任意抽查抽查12件發(fā)現(xiàn)件發(fā)現(xiàn)1件次品件次品, 問該批產(chǎn)品能否出問該批產(chǎn)品能否出廠？若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)廠？若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)3件次品件次品, 問能否出廠？問能否出廠？ 引例引例1 抽查抽查12件發(fā)現(xiàn)件發(fā)現(xiàn)1件按理不能出廠件按理不能出廠.分析分析04. 0083. 012/1直接算直接算求檢驗準則：求檢驗準則：抽取

2、的抽取的12個產(chǎn)品中至少有幾個次品則判個產(chǎn)品中至少有幾個次品則判斷不合格？斷不合格？思緒：思緒：假定假定p4%,該批產(chǎn)品不能出廠該批產(chǎn)品不能出廠.對總體對總體 提出假設(shè)提出假設(shè)1 ( ; )(1) ,0,1xxX f x pppx04. 0:;04. 0:10pHpH要求利用樣本觀察值要求利用樣本觀察值)13(121orxii對提供的信息作出接受對提供的信息作出接受 (可出廠可出廠) , 還還是接受是接受 (不準出廠不準出廠) 的判斷的判斷.0H1H),(1221xxx出廠檢驗問題的數(shù)學模型出廠檢驗問題的數(shù)學模型(1)(1)小概率原理小概率原理: :認為概率很小的事件在一次試驗認為概率很小的事

3、件在一次試驗中實際上不會出現(xiàn)中實際上不會出現(xiàn), ,并且小概率事件在一次試驗并且小概率事件在一次試驗中出現(xiàn)了中出現(xiàn)了, ,就被認為是不合理的就被認為是不合理的. .(2)(2)基本思想基本思想: : 先對總體的參數(shù)或分布函數(shù)的作先對總體的參數(shù)或分布函數(shù)的作出某種假設(shè)出某種假設(shè), ,然后找出一個在假設(shè)下發(fā)生可能性然后找出一個在假設(shè)下發(fā)生可能性甚小的小概率事件甚小的小概率事件. . 如果試驗或抽樣的結(jié)果使該小概率事件發(fā)生了如果試驗或抽樣的結(jié)果使該小概率事件發(fā)生了, ,這與小概率原理相違背這與小概率原理相違背, ,表明原來的假設(shè)有問題表明原來的假設(shè)有問題, ,應(yīng)拒絕這個假設(shè)應(yīng)拒絕這個假設(shè). . 若該小

4、概率事件在一次試驗或若該小概率事件在一次試驗或抽樣中并未出現(xiàn)抽樣中并未出現(xiàn), , 表明試驗或抽樣結(jié)果支持這個表明試驗或抽樣結(jié)果支持這個假設(shè)假設(shè), , 則接受原來的假設(shè)則接受原來的假設(shè). .需要根據(jù)實際問題的需要需要根據(jù)實際問題的需要, ,對總體參數(shù)或分對總體參數(shù)或分布函數(shù)的表達式做出某種假設(shè)布函數(shù)的表達式做出某種假設(shè)( (稱為統(tǒng)計假稱為統(tǒng)計假設(shè)設(shè)),),再利用從總體中獲得的樣本信息來對所再利用從總體中獲得的樣本信息來對所作假設(shè)的真?zhèn)巫龀雠袛嗷蜻M行檢驗作假設(shè)的真?zhèn)巫龀雠袛嗷蜻M行檢驗. .這種利用樣本檢驗統(tǒng)計假設(shè)真?zhèn)蔚倪^程叫做統(tǒng)計檢驗(假設(shè)檢驗)7.1.2 假設(shè)檢驗的基本步驟 一、建立假設(shè)一、建立

5、假設(shè) 在假設(shè)檢驗中，常把一個被檢驗的假設(shè)稱為原假設(shè)，用 表示，通常將不應(yīng)輕易加以否定的假設(shè)作為原假設(shè)。 當 被拒絕時而接收的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，用 表示，它們常常成對出現(xiàn)。0H0H1H在引例1中，我們可建立如下兩個假設(shè)： 0:4%Hp vs1:4%Hp 二、選擇檢驗統(tǒng)計量 由樣本對原假設(shè)進行判斷總是通過一個統(tǒng)計量完成的，該統(tǒng)計量稱為檢驗統(tǒng)計量。 找出在原假設(shè) 成立條件下,該統(tǒng)計量所服從的分布。0H三、選擇顯著性水平，給出拒絕域形式小概率原理中小概率原理中, ,關(guān)于關(guān)于“小概率的值通常根據(jù)實小概率的值通常根據(jù)實際問題的要求而定際問題的要求而定, ,如取如取=0.1,0.05,0.01=0.1,0.

6、05,0.01等等, , 為檢驗的顯著性水平為檢驗的顯著性水平( (檢驗水平檢驗水平).).根據(jù)所要求的顯著性水平根據(jù)所要求的顯著性水平,描寫小概率事件的描寫小概率事件的統(tǒng)計量的取值范圍稱為該原假設(shè)的拒絕域統(tǒng)計量的取值范圍稱為該原假設(shè)的拒絕域( (否定否定域域),),一般用一般用W W表示；一般將表示；一般將 稱為接受域。稱為接受域。拒絕域的邊界稱為該假設(shè)檢驗的臨界值拒絕域的邊界稱為該假設(shè)檢驗的臨界值. .W /2 /2X(x)接受域接受域P(|U|u1/2)=拒絕域拒絕域拒絕域拒絕域 u1/2 - u1/2例例7.1.1 某廠生產(chǎn)的合金強度服從某廠生產(chǎn)的合金強度服從 ，其中，其中 的設(shè)計值的

7、設(shè)計值 為不低于為不低于110(Pa)。為保證質(zhì)量，該。為保證質(zhì)量，該 廠每天都要對生產(chǎn)情況做例行檢查，以判斷生廠每天都要對生產(chǎn)情況做例行檢查，以判斷生 產(chǎn)是否正常進行產(chǎn)是否正常進行,即該合金的平均強度不低于即該合金的平均強度不低于 110(Pa)。某天從生產(chǎn)中隨機抽取。某天從生產(chǎn)中隨機抽取25塊合金，塊合金， 測得強度值為測得強度值為x1, x2 , , x25，其均值為，其均值為 (Pa)，問當日生產(chǎn)是否正常？，問當日生產(chǎn)是否正常？ ( ,16)N108x H0 : =110 原假設(shè)原假設(shè)原假設(shè)的對立面原假設(shè)的對立面: :H1 : H1 : 110 0)00(,1)/XUNnn當樣本容量當

8、樣本容量 一定時一定時, , 小小, , 就大就大, ,反之反之, , 小小, , 就大就大. .n在進行假設(shè)檢驗時在進行假設(shè)檢驗時, ,我們采取的原則是我們采取的原則是: :控制犯第一類錯誤控制犯第一類錯誤( (即即 事先給定且很小事先給定且很小) )的同時使犯的同時使犯第二類錯誤的概率達到最小第二類錯誤的概率達到最小. .關(guān)于原假設(shè)與備擇假設(shè)的選取關(guān)于原假設(shè)與備擇假設(shè)的選取H0H0與與H1H1地位應(yīng)平等地位應(yīng)平等, ,但在控制犯第一類錯誤的但在控制犯第一類錯誤的概率概率 的原則下的原則下, ,使得采取拒絕使得采取拒絕H0 H0 的決策變的決策變得較慎重得較慎重, ,即即H0H0得到特別的保

9、護得到特別的保護. .因此因此, ,通常把有把握的、有經(jīng)驗的結(jié)論作為原通常把有把握的、有經(jīng)驗的結(jié)論作為原假設(shè)假設(shè), ,或者盡可能使后果嚴重的錯誤成為第一或者盡可能使后果嚴重的錯誤成為第一類錯誤類錯誤. .犯第一類錯誤的概率犯第一類錯誤的概率 和犯第二類錯誤和犯第二類錯誤的概率的概率 可以用同一個函數(shù)表示，即所可以用同一個函數(shù)表示，即所謂的勢函數(shù)。勢函數(shù)是假設(shè)檢驗中最重要謂的勢函數(shù)。勢函數(shù)是假設(shè)檢驗中最重要的概念之一，定義如下：的概念之一，定義如下： 定義定義7.1.1 設(shè)檢驗問題設(shè)檢驗問題0011:HvsH的拒絕域為的拒絕域為W W，則樣本觀測值落在拒絕域，則樣本觀測值落在拒絕域內(nèi)的概率稱為該

10、檢驗的勢函數(shù)，記為內(nèi)的概率稱為該檢驗的勢函數(shù)，記為 01( )(),gPWx (7.1.3)勢函數(shù)勢函數(shù) 是定義在參數(shù)空間是定義在參數(shù)空間 上的一上的一個函數(shù)。犯兩類錯誤的概率都是參數(shù)個函數(shù)。犯兩類錯誤的概率都是參數(shù) 的函數(shù)，的函數(shù)，并可由勢函數(shù)算得，即：并可由勢函數(shù)算得，即： ( )g01( ),( )1( ),g 對例對例7.1.17.1.1，其拒絕域為，其拒絕域為 ，由，由(7.1.3)(7.1.3)可以算出該檢驗的勢函數(shù)可以算出該檢驗的勢函數(shù)( )()4/54/54/5xccgP xcP Wx c這個勢函數(shù)是 的減函數(shù) 1vv0g同時可得如下結(jié)論：同時可得如下結(jié)論： 利用這個勢函數(shù)容易

11、寫出犯兩類錯誤的概率利用這個勢函數(shù)容易寫出犯兩類錯誤的概率分別為分別為( )4/5,c 0和和( )1,4/5c 1,1思索：思索： 嗎？嗎？ 當當 減小時，減小時，c 也隨之減小，必導(dǎo)也隨之減小，必導(dǎo)致致的增大；的增大； 當當 減小時，減小時，c 會增大，必導(dǎo)致會增大，必導(dǎo)致 的增大；的增大；闡明：在樣本量一定的條件下不可能找到一闡明：在樣本量一定的條件下不可能找到一個使個使 和和 都小的檢驗。都小的檢驗。 英國統(tǒng)計學家 Neyman 和 Pearson 提出水平為 的顯著性檢驗的概念。 ( ),g則稱該檢驗是顯著性水平為則稱該檢驗是顯著性水平為 的顯著性的顯著性檢驗，簡稱水平為檢驗，簡稱水

12、平為 的檢驗。的檢驗。 定義定義7.1.2 對檢驗問題對檢驗問題00:H對11:H如果一個檢驗滿足對任意的如果一個檢驗滿足對任意的 ，0都有都有 求勢函數(shù)求勢函數(shù)例：例： 見見P334 NO. 27.2 正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)檢驗 參數(shù)假設(shè)檢驗常見的有三種基本形式(1)0010:HvsH(2)0010:HvsH(3)0010:HvsH 當備擇假設(shè) 在原假設(shè) 一側(cè)時的檢驗稱 為單側(cè)檢驗；0H1H 當備擇假設(shè) 分散在原假設(shè) 兩側(cè)時的檢驗 稱為雙側(cè)檢驗。 0H1H 2) 確定檢驗統(tǒng)計量確定檢驗統(tǒng)計量:00|/HXun成 立)1 ,0(N H0:=0(知知); H1:0 (雙側(cè)檢驗）雙側(cè)檢驗）1) 提出原假

13、設(shè)和備擇假設(shè)提出原假設(shè)和備擇假設(shè): H0:=0; H1:0,3) 對給定對給定,由原假設(shè)成立時由原假設(shè)成立時P(|u| u1/2)=得得 拒絕條件為拒絕條件為 |u|u1/27.2.1 單個正態(tài)總體均值的檢驗一、知 時 的檢驗設(shè)總體設(shè)總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，為一組樣本， /2 /2X(x)接受域接受域P(|U|u1-/2)=否定域否定域否定域否定域 u1-/2 - u1-/2雙側(cè)統(tǒng)計檢驗雙側(cè)統(tǒng)計檢驗U檢驗檢驗該檢驗用該檢驗用 u u 檢驗統(tǒng)計量，故稱為檢驗統(tǒng)計量，故稱為u u 檢驗。檢驗。 2) 對統(tǒng)計量對統(tǒng)計量:1) 提出原假設(shè)和備擇假設(shè)提出原假設(shè)和備擇假設(shè): H0

14、:0; H1:0,3) 故故 拒絕條件為拒絕條件為U u1-0/XUn對給定的對給定的有有在H0下有,/0nXnX011/XXuunn所以所以011()()/XXPuPunnX(x)接受域接受域否定域否定域 u1-單側(cè)右側(cè)統(tǒng)計檢驗P( u1-)U 2) 選擇統(tǒng)計量選擇統(tǒng)計量:1) 提出原假設(shè)和備擇假設(shè)提出原假設(shè)和備擇假設(shè): H0:0; H1:0,3) 對給定對給定, 否定域為否定域為U- u1-,0/XunX(x)接受域接受域否定域否定域 -u1-單側(cè)左側(cè)統(tǒng)計檢驗P( 2.776，故拒絕原假設(shè)，認為該廠生產(chǎn)的鋁材的長度不滿足設(shè)定要求。 若取 =0.05，那么 t0.975(4)= 2.776.

15、239.5,0.4,xs故檢驗法條件檢驗統(tǒng)計量拒絕域u 檢驗t 檢驗原假設(shè)0H備擇假設(shè)1H00000011/2|uuuuuu0/xun0/xtsn11 /2( 1 )( 1 )| |( 1 )t tnt t nt tn000000表7.2.1 單個正態(tài)總體的均值的檢驗問題三、假設(shè)檢驗與置信區(qū)間的關(guān)系 這里用的檢驗統(tǒng)計量與6.5.5節(jié)中置信區(qū)間所用的樞軸量是相似的。這不是偶然的，兩者之間存在非常密切的關(guān)系。 設(shè) 是來自正態(tài)總體 的樣本，如今 未知場合討論關(guān)于均值 的檢驗問題?？紤]雙側(cè)檢驗問題: 1,nxx2( ,)N 0010:HvsH它可以改寫為1/ 201/ 2(1)(1)ssWxtnxtn

16、nn并且有0()1,PW若讓0 在(- )內(nèi)取值，就可得到 的1- 置信區(qū)間： 這里0并無限制.1/2(1)sxtnn01/ 2|(1)sWxtnn則水平為的檢驗接受域為 00:H關(guān)于 的水平為 的顯著性檢驗。00:H是一一對應(yīng)的。 類似地，“參數(shù) 的1- 置信上限與“關(guān)于00:H 的單側(cè)檢驗問題的水平 的檢驗”反之若有一個如上的1- 置信區(qū)間，也可獲得所以: “正態(tài)均值 的1- 置信區(qū)間與“關(guān)于 的雙側(cè)檢驗問題的水平 的檢驗”參數(shù) 的1-置信下限與另一個單側(cè)檢驗也是一一對應(yīng)的。是一一對應(yīng)的。 假設(shè)檢驗與置信區(qū)間對照假設(shè)檢驗與置信區(qū)間對照2211(,)x ux unn201xun接受域置信區(qū)間

17、檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布樞軸量及其分布 0 0（ 2 知) 1 , 0 (0NnXU（ 2 知)(0,1)XUNn原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1待估參數(shù)接受域置信區(qū)間檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布樞軸量及其分布原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1待估參數(shù) 0 0（ 2未知）) 1(0nTnSXT（ 2未知）) 1(0nTnSXT)2nstx20tnsx,(2nstx接受域置信區(qū)間11假設(shè)檢驗區(qū)間估計統(tǒng)計量 樞軸量對偶關(guān)系相似函數(shù)假設(shè)檢驗與區(qū)間估計的聯(lián)系假設(shè)檢驗與區(qū)間估計的聯(lián)系7.2.2 兩個正態(tài)總體均值差的檢驗檢驗法條件原假設(shè)備擇假設(shè)檢驗統(tǒng)計量拒絕域u檢驗知t 檢驗未知0H1H12, 12, 12

18、12121212122212xyumn11/ 2|uuuuuu11wxytsmn11/2(2)(2)| |(2)ttm ntt m nttm n 12121212121212大樣本檢u 驗 未知m,n充分大近似t 檢驗未知m,n不很大12,12,22yxxyussmn11/ 2|uuuuuu22yxxytssmn11/2(1)(1)| |(1)ttlttlttl121212121212121212121212444022/,11yxsslsmmnn2220/xyssmsn例7.2.3 某廠鑄造車間為提高鑄件的耐磨性而 試制了一種鎳合金鑄件以取代銅合金鑄件， 為此，從兩種鑄件中各抽取一個容量分別

19、為 8和9的樣本，測得其硬度為 鎳合金： 76.43 76.21 73.58 69.69 65.29 70.83 82.75 72.34銅合金： 73.66 64.27 69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61 根據(jù)經(jīng)驗，硬度服從正態(tài)分布，且方差保持不變。試在顯著性水平下判斷鎳合金的硬度是否有明顯提高。解：用X 表示鎳合金的硬度，Y 表示銅合金的硬 度，則由假定， 21(,),XN 22(,).YN 要檢驗的假設(shè)是： 012112:HvsH經(jīng)計算， 89221173.39,68.2756,()205.7958,()91.1552iiiixyxxyy從而

20、1(205.795891.1552)4.4494892ws 73.3968.27562.2210114.449478t查表知0.95(15)1.7531,t由于0.95(15)tt故拒絕原假設(shè)，可判斷鎳合金硬度有顯著提高。7.2.3 正態(tài)總體方差的檢驗一、單個正態(tài)總體方差的檢驗 設(shè) 是來自 的樣本，對方差亦可考慮如下三個檢驗問題： 1,nxx2( ,)N 22220010:HvsH22220010:HvsH22220010:HvsH通常假定 未知，它們采用的檢驗統(tǒng)計量是相同的，均為 若取顯著性水平為 ，則對應(yīng)三個檢驗問題的拒絕域依次分別為22201,ns2211 ;Wn221 ;Wn22222

21、1211Wnn或例7.2.4 某類鋼板每塊的重量X 服從正態(tài)分布， 其一項質(zhì)量指標是鋼板重量的方差不得超過 0.016 (kg2)?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的鋼板中隨機抽取 25塊，得其樣本方差S2=0.025(kg2)，問該天生 產(chǎn)的鋼板重量的方差是否滿足要求。解：原假設(shè)為20:0.016,H備擇假設(shè)為21:0.016,H此處n=25，若取=0.05，則查表知20.952436.4152220124 0.02537.536.4150.016ns由此，在顯著性水平0.05下，我們拒絕原假設(shè)，認為該天生產(chǎn)的鋼板重量不符合要求。現(xiàn)計算可得接受域置信區(qū)間2222221(1)(1)(,)(1)(1)nsnsnn2

22、2221022(1)nS檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布樞軸量及其分布原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1待估參數(shù) 2 02 2= 02 2(未知) 1() 1(22022nSn(未知)2222( 1 ) ( 1 )nSn二、兩個正態(tài)總體方差比的F 檢驗 設(shè) 是來自 的樣本， 是來自 的樣本?？紤]如下三個假設(shè)檢驗問題 1,mxx211(,)N 1,nyy222(,)N 2222012112:HvsH通常 , 均未知，記 , 分別是由算得的 的無偏估計和由 算得的 的無偏估計.122xs2ys1,nyy1,mxx21222222012112:HvsH2222012112:HvsH可建立檢驗統(tǒng)計量:22xy

23、sFs三種檢驗問題對應(yīng)的拒絕域依次為11,1 WFFmn1,1WFFmn21,1WFFmn121,1FFmn。 或例7.2.5 甲、乙兩臺機床加工某種零件，零件 的直徑服從正態(tài)分布，總體方差反映了加工 精度，為比較兩臺機床的加工精度有無差別， 現(xiàn)從各自加工的零件中分別抽取7件產(chǎn)品和8 件產(chǎn)品，測得其直徑為 X (機床甲)16.2 16.4 15.8 15.5 16.7 15.6 15.8Y (機床乙)15.9 16.0 16.4 16.1 16.5 15.8 15.7 15.0這就形成了一個雙側(cè)假設(shè)檢驗問題，原假設(shè)是 備擇假設(shè)為 此處 m=7，n=8，經(jīng)計算22012:,H22112:H20.

24、2729,xs 0.27291.2610.2164F 查表知0.9756,75.12F于是 ，若取 =0.05，20.2164,ys 0.0250.975110.1757,65.70FF其拒絕域為0.175 5.12WFF或 由此可見，樣本未落入拒絕域，即在0.05水平下可以認為兩臺機床的加工精度一致。 問問 題題母親嗜酒是否影響下一代的健康母親嗜酒是否影響下一代的健康 美國的Jones醫(yī)生于1974年觀察了母親在妊娠時曾患慢性酒精中毒的6名七歲兒童稱為甲組）.以母親的年齡，文化程度及婚姻狀況與前6名兒童的母親相同或相近，但不飲酒的46名七歲兒童為對照租(稱為乙組). 測定兩組兒童的智商，結(jié)果

25、如下：甲 組 6 78 19乙 組 46 99 16人數(shù)智商平均數(shù)樣本標準差nxs智商組別 由此結(jié)果推斷母親嗜酒是否影響下一代的智力？若有影響，推斷其影響程度有多大?提示提示 前一問題屬假設(shè)檢驗問題 后一問題屬區(qū)間估計問題 智商一般受諸多因素的影響.從而可以),(),(222211uNuN和 本問題實際是檢驗甲組總體的均值是否比乙組總體的均值偏小? 若是，這個差異范圍有多大? 前一問題屬假設(shè)檢驗，后一問題屬區(qū)間估計.解解假定兩組兒童的智商服從正態(tài)分布. 由于兩個總體的方差未知，而甲組的樣本容量較小，因此采用大樣本下兩總體均值比較的U檢驗法似乎不妥. 故2221122210:;:HH當 為真時，統(tǒng)計量 0H)45, 5 (2221FSSF 采用方差相等 (但未知) 時，兩正態(tài)總體均值比較的 t 檢驗法對第一個問題作出回答. 為此 , 利用樣本先檢驗兩總體方差是否相等，即檢驗假設(shè)拒絕域為 1 . 0取/21/2(5,45)(5,45)FFFF或/20.05(5,45)(5,45)FF1/20.95(5,45)(5,45)2.43FF0.951/(45,5)0.22F202191.41,16F 得0.9500.05(5,45)(5,45)FFFF 的觀察值的觀察值未落在拒絕域內(nèi)，故接受 . 即可認為0H兩總體方差