1、第三章 函數的應用3.1 函數與方程3.1.1 方程的根與函數的零點 我國古代數學家已比較系統地解決了部分方程的我國古代數學家已比較系統地解決了部分方程的求解的問題求解的問題. .如約公元如約公元5050100100年編成的年編成的九章算術九章算術，就給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具體就給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具體方法方法 1111世紀，北宋數學家賈憲給出了三次及三次世紀，北宋數學家賈憲給出了三次及三次以上的方程的解法。以上的方程的解法。 13 13世紀，南宋數學家秦九韶給出了求任意次世紀，南宋數學家秦九韶給出了求任意次代數方程的正根的解法代數方程的正根的解法今天我們

2、來學習方程的根與函數的零點！今天我們來學習方程的根與函數的零點！1.1.理解函數零點的概念，了解函數零點與方程根的理解函數零點的概念，了解函數零點與方程根的關系關系. .（難點）（難點）2.2.掌握函數零點的判斷方法并會判斷函數零點的個掌握函數零點的判斷方法并會判斷函數零點的個數數. .( (易錯點）易錯點）3.3.會求函數的零點會求函數的零點. .（重點）（重點）探究：探究：下列一元二次方程的根與相應的二次函數的下列一元二次方程的根與相應的二次函數的圖象有何關系？圖象有何關系？（1 1）方程）方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0與函數與函數y=xy=x2 2-2x-3-2x-3（2

3、2）方程）方程x x2 2-2x+1=0-2x+1=0與函數與函數y=xy=x2 2-2x+1-2x+1（3 3）方程）方程x x2 2-2x+3=0-2x+3=0與函數與函數y=xy=x2 2-2x+3-2x+3方程方程x x2 2-2-2x x+1=0+1=0 x x2 2-2-2x x+3=0+3=0y y= =x x2 2-2-2x x-3-3y y= =x x2 2-2-2x x+1+1函數函數函函數數的的圖圖象象方程的實方程的實數根數根x x1 1=-1,=-1,x x2 2=3=3x x1 1= =x x2 2=1=1無實數根無實數根(-1,0)(-1,0)、(3,0)(3,0)

4、(1,0)(1,0)無交點無交點x x2 2-2-2x x-3=0-3=0. . . . . .x xy yO O1 13 32 21 11 12 25 54 43 3y y= =x x2 2-2-2x x+3+3函數的圖象函數的圖象與與x x軸的交點軸的交點. . . . . .y yx x1 12 21 11 12 2O Ox xy y1 13 32 21 11 12 21 12 23 34 4. . . . .0 0. .方程方程axax2 2+ +bxbx+c+c=0(=0(a a0)0)的根的根函數函數y y= =axax+bxbx+ +c c( (a a0)0)的圖的圖象象判別式判

5、別式=b b2 24 4acac0 0=0=00 0函數的圖象函數的圖象與與x x軸的交點軸的交點有兩個相等的有兩個相等的實數根實數根x x1 1= =x x2 2沒有實數根沒有實數根x xy yx x1 1x x2 20 0 x xy y0 0 x x1 1x xy y0 0( (x x1 1,0),(,0),(x x2 2,0),0)( (x x1 1,0),0)沒有交點沒有交點兩個不相等兩個不相等的實數根的實數根x x1 1、x x2 2一般結論一般結論 一般地，方程一般地，方程f(x)=0f(x)=0的實數根，也就是其對的實數根，也就是其對應函數應函數y=f(x)y=f(x)的圖象與的

6、圖象與x x軸交點的橫坐標軸交點的橫坐標. .即方程即方程f(x)f(x)0 0有實數根有實數根 函數函數y yf(x)f(x)的圖象與的圖象與x x軸有交點軸有交點 對于函數對于函數y=f(x),y=f(x),我們把使我們把使f(x)=0f(x)=0的實數的實數x x叫做叫做函數函數y=f(x)y=f(x)的零點的零點. .函數零點的定義：函數零點的定義：注意：注意：零點不是零點不是一個點一個點零點指的是一個實數零點指的是一個實數方程方程f(x)f(x)0 0有實數根有實數根 函數函數y yf(x)f(x)的圖象與的圖象與x x軸有交點軸有交點 函數函數y yf(x)f(x)有零點有零點方程

7、方程 的根是函數的根是函數 的圖象與的圖象與 軸的軸的交點的橫坐標交點的橫坐標. .( )0f x( )yf xx結論結論由此可知，求方程由此可知，求方程f(x)=0f(x)=0的實數根，就是求函數的實數根，就是求函數y= f(x)y= f(x)的零點的零點. .對于不能用公式法求根的方程對于不能用公式法求根的方程f(x)=0f(x)=0來說，可以將它與函數來說，可以將它與函數y=f(x)y=f(x)聯系起來，聯系起來，利用函數的性質找出零點，從而求出方程的根利用函數的性質找出零點，從而求出方程的根. .( )0f x函數零點既是對應方程的根，又是函數圖象與函數零點既是對應方程的根，又是函數圖

8、象與x x軸交點的橫坐標軸交點的橫坐標. .零點零點是是對于函數而言，根對于函數而言，根是是對于方程而言對于方程而言例例1 1 函數函數f(x)=x(xf(x)=x(x4)4)的零點為（的零點為（ ） A A(0(0，0)0)，(2(2，0)0) B B0 0 C C(4(4，0)0)，(0(0，0)0)， D D4 4，0 0D D由由x(xx(x4)=04)=0得得x=0 x=0或或x=4.x=4.注意：函數的零點是實數，而不是點注意：函數的零點是實數，而不是點.探究：探究：如何求函數的零點？如何求函數的零點？哪一組能說明小明的行程一定曾渡過河？哪一組能說明小明的行程一定曾渡過河？ （1

9、1）（2 2）如何求函數的零點？如何求函數的零點？1 12 23 3 4 4 5 51 12 23 34 45 5x xy yO O-1-1-2-2-1-1-4-4-3-3-2-2觀察二次函數觀察二次函數f f( (x x) )x x2 22 2x x3 3的圖象：的圖象：在區間在區間-2-2，11上有零點上有零點_；f f(-2)=_(-2)=_，f f(1)=_(1)=_，f f(-2)(-2)f f(1)_0(1)_0(填填“”或或“”) )在區間在區間(2(2，4)4)上有零點上有零點_；f f(2)(2)f f(4)_0(4)_0（填填“”或或“”） x= =1 14 45 5 x=

10、3=3 1 1 2 2 3 3 4 4 5 51 12 23 34 45 5xyO O-2-2 -1-1-4-4-3-3-2-2-1-1xyOabcd思考：觀察圖象填空，在怎樣的條件下，思考：觀察圖象填空，在怎樣的條件下，函數函數 在區間在區間 上存在零點？上存在零點？( )yfx,a d有有 有有 有有 在區間在區間(a,b)(a,b)上上,f(a)f(b)_0(,f(a)f(b)_0(填填“”或或“”) )在區間在區間(a,b)(a,b)上上,_(,_(填填“有有”或或“無無”) )零零點；點；在區間在區間(b,c)(b,c)上上,f(b)f(c) _0(,f(b)f(c) _0(填填“”

11、或或“”) )在區間在區間(b,c)(b,c)上上,_(,_(填填“有有”或或“無無”) )零零點；點；在區間在區間(c,d)(c,d)上上f(c)f(d) _0(f(c)f(d) _0(填填“”或或“”) )在區間在區間(c,d)(c,d)上上,_(,_(填填“有有”或或“無無”) )零點；零點；有有xyOabc【提升總結提升總結】如果函數如果函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間a,ba,b上的圖象是連續不斷的上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有一條曲線，并且有f(a)f(b)0f(a)f(b)0，那么，函數，那么，函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內有零點，即

12、存在內有零點，即存在c(a,b),c(a,b),使得使得f(c)=0,f(c)=0,這個這個c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的根。的根。例例2 2 判斷正誤，若不正確，請使用函數圖象舉出反例判斷正誤，若不正確，請使用函數圖象舉出反例（1 1）已知函數）已知函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間a,ba,b上連續，且上連續，且f(a)f(b)0f(a)f(b)0，則，則f(x)f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內有且僅有一個內有且僅有一個零點零點. .（ ）（2 2）已知函數）已知函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間a,ba,b上連續，且上連續，且f(a)f(b)0

13、f(a)f(b)0，則，則f(x)f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內沒有零點內沒有零點. .（ ）（3 3）已知函數）已知函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間a,ba,b上滿足上滿足f(a)f(b) 0f(a)f(b) 0，則則f(x)f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內存在零點內存在零點. .（ ）解：解：（1 1）已知函數）已知函數y=f (x)y=f (x)在區間在區間a,ba,b上連續，且上連續，且f(a)f(b) 0f(a)f(b) 0，則，則f(x)f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內有且僅有一個內有且僅有一個零點零點. .（ ）abOxy如圖如圖, ,函數

14、函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)上有上有3 3個零點個零點, ,故故“在區間在區間(a,b) (a,b) 內有且僅有一個零點內有且僅有一個零點”的說法是錯誤的的說法是錯誤的. .（2 2）已知函數）已知函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間a,ba,b上連續，且上連續，且f(a)f(b) 0f(a)f(b) 0，則，則f(x)f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內沒有零點內沒有零點. .（ ）a ab bO Ox xy y可知，函數可知，函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間a,ba,b上連續，且上連續，且f(a)f(a)f(b)0f(b)0，但，但f(x)

15、f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內有零點內有零點. .故論斷不正確。故論斷不正確。 如圖如圖, , （3 3）已知函數）已知函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間a,ba,b上滿足上滿足f(a)f(b)0f(a)f(b)0，則則f(x)f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內存在零點內存在零點. .（ ）abOxy雖然函數雖然函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間a,ba,b上滿足上滿足f(a)f(b) 0,f(a)f(b) 0,但是圖象不是連續的曲線，則但是圖象不是連續的曲線，則f(x)f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內內不存在零點不存在零點. .如圖如圖, , 若函數

16、若函數y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在區間在區間a,ba,b上的圖象上的圖象是連續不斷的曲線，且函數是連續不斷的曲線，且函數y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在在(a,(a,b)b)內有零點，則內有零點，則f(a)f(b)f(a)f(b)的值的值( )( )A.A.大于大于0 B.0 B.小于小于0 0 C.C.無法判斷無法判斷 D.D.等于等于0 0C C 【變式練習變式練習】由表可知由表可知f(2)0f(2)0f(3)0，由于函數由于函數f(x)f(x)在定義域在定義域(0,+)(0,+)內是增函數，所內是增函數，所以它僅有一個零點以它僅有一個零點用計算器或計算機作出用

17、計算器或計算機作出x x、f(x)f(x)的對應值表和圖象；的對應值表和圖象；例例3.3.求函數求函數f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6的零點的個數的零點的個數. .解：解：-4-4-1.306 9-1.306 91.098 61.098 63.386 33.386 35.609 45.609 47.791 87.791 89.945 99.945 912.079 412.079 4 14.197 214.197 2方法一方法一f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6從而從而f(2)f(3)0,f(2)f(3)0,函數函數f(x)f(x)在區間在區間(2,3)(2,3

18、)內有零點內有零點10108 86 64 42 2-2-2-4-45 51 1 2 23 34 46 6x xy yO Oy=y=2x+62x+6y=lnxy=lnx6 6Ox x1 1 2 2 3 3 4 4y y即求方程即求方程lnx+2x-6=0lnx+2x-6=0的根的個數，即求的根的個數，即求lnx=6-2xlnx=6-2x的根的的根的個數，即判斷函數個數，即判斷函數y=lnxy=lnx與函數與函數y=6-2xy=6-2x的交點個數的交點個數如圖可知，只有一個如圖可知，只有一個交點，即方程只有一交點，即方程只有一根，函數根，函數f(x)f(x)只有一只有一個零點個零點. .方法二：方

19、法二： 如果函數如果函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間a,ba,b上的圖象是連上的圖象是連續不斷的一條曲線續不斷的一條曲線, ,并且有并且有f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,那么那么, ,函數函數y=f(x)y=f(x)在區間在區間(a,b)(a,b)內有零點內有零點. .【提升總結提升總結】求方程求方程2 2-x-x =x =x的根的個數，并確定根所在的區間的根的個數，并確定根所在的區間nn，n+1(nZ)n+1(nZ) 解：解：求方程求方程 的根的個數，即求方程的根的個數，即求方程 的根的個數，即判斷函數的根的個數，即判斷函數 與與 的圖象交點個數的圖象交點個數. .由圖可由圖可知只有一個解知只有一個解. .2xx1( )2xxyx1( )2xyy=x y=x 1 1Ox x1 1 2 2 3 3 4 4y y1( )2xy【變式練習變式練習】估算估算f(x)f(x)在各整數處的取值的正負：在各整數處的取值的正負：1( )()2xf xx令令由上表可知，方程的根所