1、 第六章第六章 旋轉圓盤的分析旋轉圓盤的分析 61 等速旋轉圓盤的分等速旋轉圓盤的分析析一、彈性分析一、彈性分析1. 基本方程基本方程v 等厚旋轉圓盤以等角速度等厚旋轉圓盤以等角速度 繞其中心軸轉動，若材料的繞其中心軸轉動，若材料的密度為密度為 ，則徑向離心力（即徑向體力分量）為：，則徑向離心力（即徑向體力分量）為：rfr2 平衡方程：平衡方程：02 rrdrdrr hbr 彈性本構方程：彈性本構方程：)(1rE )(1 rrE)( rzErudrdur 幾何方程：幾何方程：邊界條件：邊界條件：rSrF uuuS 由幾何方程得應變協調方程：由幾何方程得應變協調方程：0 drdrr 0) dd-

2、()(1(r drdrr0)(22 rdrrdr 將本構方程代入上式得：將本構方程代入上式得：由平衡方程：由平衡方程：取：取：rrr )(2解答：解答：22rdrd (r) 稱為應力函數。稱為應力函數。0)3(22222 rdrdrdrdr 222183rrCrC 2222183rrCCr 22221831rrCC 解得：解得：代入協調方程得：代入協調方程得：3. 實心圓盤：實心圓盤：半徑為半徑為 b ，厚度為，厚度為 h（h 遠小于遠小于 b ）的實心圓盤）的實心圓盤設外邊界為自由邊界。設外邊界為自由邊界。 r=0 處，處， r 與與 為有限值：為有限值：C2 = 0 r=b 處，無面力：處

3、，無面力：hbr 0 rbrrF 22183bC 2222183rrCCr 22221831rrCC )331(83)(83222222rbrbr )331(83)(83222222rbrbr 應力分量：應力分量： rb ro 2283:0brr hbr )1()3(81)1(3)3(81222222rbErbEr 應變分量：應變分量：)1 ()3(81222rbrEru 位移分量：位移分量：4空心圓盤：空心圓盤：內、外半徑為內、外半徑為a、 b ，厚度為，厚度為 h（h 遠大于遠大于 b ）的空心圓盤）的空心圓盤內孔表面與外邊界為自由邊界。內孔表面與外邊界為自由邊界。 r=a 處與處與 r=

4、b 處，無面力：處，無面力：0 brrarr 2222222183)(83abCabC 2222183rrCCr 22221831rrCC hbr a應力分量：應力分量：)331(83)(8322222222222222rrbaabrrbaabr ro ba rab)31(43:222maxabar )(83:222maxababrr hbr a31)1()(1(833)1(3)1()(1(832222222222222222rrbaabErrbaabEr 31)1()(1(8322222222rrbaabrEu 應變分量：應變分量：位移分量：位移分量： 內外半徑為內外半徑為b、a 的圓盤（的

5、圓盤（2）與內外半徑為）與內外半徑為 c、b 的軸的軸（1）套裝，套裝前的過盈量為）套裝，套裝前的過盈量為 ，軸在套裝處的徑向，軸在套裝處的徑向位移為：位移為：u1b；圓盤在套裝處的徑向位移為：；圓盤在套裝處的徑向位移為：u2b；套裝；套裝的幾何條件：的幾何條件：bbuu12 )(222brbbEbu )(111brbbEbu brbr21 )(12bbEb 套裝處軸和圓盤的邊界條件（徑向壓力相等）：套裝處軸和圓盤的邊界條件（徑向壓力相等）：5圓盤與軸的套裝問題：圓盤與軸的套裝問題：21為保證套裝的可靠性，套裝應力不能為零。為保證套裝的可靠性，套裝應力不能為零。工程上把套裝應力為零所對應的角速

6、度稱為松脫角速度，工程上把套裝應力為零所對應的角速度稱為松脫角速度，用用 * 表示。表示。當達到松脫角速度時，在當達到松脫角速度時，在 r=b 處的套裝壓力為零，則有：處的套裝壓力為零，則有：)1()3(*412222*1 bcbb)1()3(*412222*2 babb222)3(2*bcabEb 松脫角速度為：松脫角速度為：)3(2* bEa圓盤與實心軸套裝：圓盤與實心軸套裝：二、彈塑性分析（理想彈塑性材料）彈塑性分析（理想彈塑性材料）)331(83)(83222222rbrbr 2283:0brr hbr rb ro 1. 彈性極限狀態：（半徑為彈性極限狀態：（半徑為 b 的實心圓盤）的

7、實心圓盤）srbTorM 2283: )3(81 sebssrbrbr )3311()1(2222 屈服條件：屈服條件：彈性極限角速度：彈性極限角速度：應力分量：應力分量： r bo s02 rrdrdrr 22)(rdrrdpsr rCrpsr32231 2. 彈塑性狀態彈塑性狀態平衡方程：平衡方程：實心圓盤：實心圓盤：r =0 時，時， r 為有限值：為有限值：C3 = 0)rr (rpspsr 0 3122 e :,ppr 此此時時角角速速度度為為的的圓圓線線為為以以半半徑徑為為彈彈性性區區與與塑塑性性區區的的分分界界0: r 在在塑塑性性區區sT :塑性區的應力分量為：塑性區的應力分量

8、為：2222183rrCCpr peprerpbrrrr)()( )()(:0 22221831rrCCp )3(3)31(2)31(2424311231422422222221brbrbrCrCppsppppps 彈性區內的應力分量：彈性區內的應力分量：邊界條件：邊界條件：解得：解得：2422)(1231)(243183rrrrrpppsr 2422)(1231)(2431831rrrrrppps 彈性區內的應力分量：彈性區內的應力分量：)rr (rpspsr 0 3122 塑性區的應力分量：塑性區的應力分量： r bo srpr )1(22ssrbr 146. 121118. 131 8)

9、3( 3 el應力分量為：應力分量為：塑性極限角速度與彈性極限角速度之比為：塑性極限角速度與彈性極限角速度之比為：超速工序：超速工序：0p 0 e 當塑性區擴大到外邊界時，進入塑性極限狀態，此時當塑性區擴大到外邊界時，進入塑性極限狀態，此時rp=b，角速度達到塑性極限角速度角速度達到塑性極限角速度 l ： slb31 3. 塑性極限狀態塑性極限狀態4. 位移分量：位移分量：塑性區：塑性區：平面應力狀態：平面應力狀態： z=0體積不可壓縮：體積不可壓縮： z= -（ r+ ）形變理論：（形變理論：（ r- z）：（）：（ - z）= r： 連續條件：連續條件：r=rp時：時：u連續連續)(1rE

10、ru )( 48532532322422brrrrrrrErupppps =1/2， ij=e ij 彈性區：彈性區：)0( 3131223222522 rrrrErupspspps ur=bulueo l e位移分量：位移分量：徑向位移與角速度的關系：徑向位移與角速度的關系：在外邊界處，塑性極限狀態與彈性極限狀態位移之比：在外邊界處，塑性極限狀態與彈性極限狀態位移之比： 5 . 3 brebrluu等強度條件：等強度條件：constr 設旋轉圓盤的厚度設旋轉圓盤的厚度 h 為為 r 的函數的函數.三、工程中的等強度旋轉圓盤工程中的等強度旋轉圓盤取微元體考慮平衡條件取微元體考慮平衡條件平衡方程

11、：平衡方程：0)(2 rhhdrhrdr 012 rdrdhhdrrhdh 2 drrhdh 2 22 rrCeh rEErrur 1)( 位移分量：位移分量：00hhr 202 rrehh 一、基本方程一、基本方程 v 等厚旋轉圓盤以角速度等厚旋轉圓盤以角速度 、角加速度、角加速度 d /dt 繞其中心繞其中心軸轉動。軸轉動。v 若材料的密度為若材料的密度為 ，則徑向離心力（即徑向體力分量），則徑向離心力（即徑向體力分量）和切向慣性力為：和切向慣性力為： rfrfr ,2v 若不考慮剛體位移，圓盤的幾何形狀及體力與若不考慮剛體位移，圓盤的幾何形狀及體力與 無關，無關，故應力分量、應變分量及位

12、移分量均為故應力分量、應變分量及位移分量均為r的函數。的函數。 0202 rrdrdrrdrdrrrr )(12 rrE rrG )(12rE 彈性本構方程：彈性本構方程： 平衡方程：平衡方程： 幾何方程：幾何方程： rvdrdvrudrdurr rSrF uuuS 邊界條件：邊界條件： 二、彈性分析：二、彈性分析： 將幾何方程代入本構方程中，再代入平衡方程得：將幾何方程代入本構方程中，再代入平衡方程得： 01122222 rErudrdurdrud 解得：解得： 22281rErBAru 2222183rrCCr 22221831rrCC BECAEC 1 ,12132)(02rdrrdrr

13、drdrrr 22341rrCr 內半徑為內半徑為a、外半徑為、外半徑為b，厚度為，厚度為h（h遠小于遠小于b）的空心圓）的空心圓盤，設內孔表面與外邊界為自由邊界（無面力）。盤，設內孔表面與外邊界為自由邊界（無面力）。 )(41022222brrbbrbrr 邊界條件：邊界條件：0 brrarr 2222222183)(83abCabC )331(83)(8322222222222222rrbaabrrbaabr 設材料為理想彈塑性體，服從設材料為理想彈塑性體，服從Mises條件。條件。 )31(43 0:222abarr 2444aabr 2222226)()()(srzzrr 22223s

14、rrr v 彈性極限狀態：彈性極限狀態： 彈性極限角速度與角加速度的關系：彈性極限角速度與角加速度的關系： 12max22max2 eeee 222max134abse 442max34abase 三、彈塑性分析：三、彈塑性分析： 442max222max2max22max2)3(41341abaabseseeeee 彈性區內的應力分量：彈性區內的應力分量： 2222183rrCCpr 22221831rrCCp )(4122222brrbbr 0: r 在在塑塑性性區區02 rrdrdrr 22223srrr 0212342222 rrdrdrrsrr 邊界條件：邊界條件： peprerpb

15、rrrr)()( )()(:0 數值解法求塑性極限狀態數值解法求塑性極限狀態當塑性區擴大到外邊界時，進入塑性極限狀態，此時當塑性區擴大到外邊界時，進入塑性極限狀態，此時rp=b，角速度達到塑性極限角速度角速度達到塑性極限角速度 l： b/a=2；=0.3AB、CD：由剪應力不超過剪切屈服條件確定，否則在最：由剪應力不超過剪切屈服條件確定，否則在最大剪應力處產生切向塑性流動。大剪應力處產生切向塑性流動。 442maxmax)3(43abaseess 結論：結論：1.角加速度的存在，使旋轉圓盤達到彈性極限角加速度的存在，使旋轉圓盤達到彈性極限或塑性極限狀態時的角速度都比等角速度旋轉或塑性極限狀態時

16、的角速度都比等角速度旋轉圓盤在相應狀態下的極限值小，且角加速度越圓盤在相應狀態下的極限值小，且角加速度越大，極限狀態時的角速度越小。大，極限狀態時的角速度越小。2.剪應力具有靜定性質，即由平衡方程和邊界剪應力具有靜定性質，即由平衡方程和邊界條件確定，與應力組合是否進入塑性狀態無關。條件確定，與應力組合是否進入塑性狀態無關。剪應力的存在，使旋轉圓盤的主應力方向隨時剪應力的存在，使旋轉圓盤的主應力方向隨時間而變化。間而變化。 6-3 等速旋轉圓軸的分析等速旋轉圓軸的分析一、彈性分析一、彈性分析圓軸以等角速度圓軸以等角速度 繞其中心軸轉動（平面應變問題）。繞其中心軸轉動（平面應變問題）。若材料的密度

17、為若材料的密度為 ，則徑向離心力（即徑向體力分量）為：，則徑向離心力（即徑向體力分量）為：rfr2 02 rrdrdrr )1(12 rrE平衡方程：平衡方程：彈性本構方程：彈性本構方程：)1(12rE )( rzrudrdur 0 drdrr 0) dd-)1(r rrdrdrr 0)1(22 rdrdrdrdrdrdrrr 011)(2 rdrdr 幾何方程：幾何方程：由幾何方程得應變協調方程：由幾何方程得應變協調方程：將本構方程代入上式得：將本構方程代入上式得：由平衡方程：由平衡方程：積分得：積分得：22221)1(823rrCCr 22221)1(821rrCC )( rz)(zrEr

18、ru 1實心圓軸：實心圓軸： 對半徑為對半徑為 b 的實心圓軸，設外邊界為自由邊界、端部的實心圓軸，設外邊界為自由邊界、端部不受外力作用。不受外力作用。 r=0 處，處， r與與 為有限值：為有限值：C2=0 r=b 處，無面力處，無面力:0 rbrrF 221)1(823bC )2321()1(823)()1(823222222rbrbr 22maxmax)1( 823:0brr brzbzzArdrErdrdA000)(02 應力分量：應力分量：若端部不受外力作用：若端部不受外力作用：Nz=0222bEz 0 232)1 ( 4)23(2)1 ( 4z222222 zzconstrbrb 當應變為常數時得：當應變為常數時得：2. 空心圓軸：空心圓軸： 內半徑為內半徑為a、外半徑為、外半徑為 b 的空心圓軸，設內孔表面與外邊的空心圓軸，設內孔表面與外邊界為自由邊界。界為自由邊界。 r=a 處與處與 r=b 處，無面力：處，無面力：0 brrarr 22222221)1(823)()1(823abCabC )2321()1(823)()1(82322222222222222rrbaabrrbaabr 0