1、善于構造 活用性質安徽 張雷 幾何問題中,若出現角平分線這一條件時,可聯想角平分線的特性,靈活利用角平分線的特性來解決問題.1.顯“距離”, 用性質 很多時候,題意中只給角平分線這個條件,圖上并沒有出現“距離”,而角平分線性質的運用又離不開這個“距離”,所以同學們應大膽地讓“距離”現身（過角平分線上的一點向角的兩邊作垂線段）例：三角形的三條角平分線交于一點，你知道這是為什么嗎？ 分析：我們知道兩條直線是交于一點的，因此可以想辦法證明第三條角平分線通過前兩條角平分線的交點 已知：如圖，ABC的角平分線AD與BE交于點I，求證：點I在ACB的平分線上 證明：過點I作IHAB、IGAC、IFBC，垂

2、足分別是點H、G、F 點I在BAC的角平分線AD上，且IHAB、IGAC IH=IG（角平分線上的點到角的兩邊距離相等） 同理 IH=IF IG=IF（等量代換） 又IGAC、IFBC 點I在ACB的平分線上（到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上）.即：三角形的三條角平分線交于一點【例2】已知：如圖，PA、PC分別是ABC外角MAC和NCA的平分線，它們交于點P，PDBM于D，PFBN于F求證：BP為MBN的平分線 【分析】要證BP為MBN的平分線，只需證PD=PF，而PA、PC為外角平分線，故可過P作PEAC于E根據角平分線性質定理有PD=PE，PF=PE，則有PD=PF，故問題

3、得證 【證明】過P作PEAC于E PA、PC分別為MAC與NCA的平分線且PDBM，PFBN PD=PE，PF=PE,PD=PF 又PDBM，PFBN,點P在MBN的平分線上， 即BP是MBN的平分線2.構距離,造全等有角平分線時常過角平分線上的點向角兩邊引垂線，根據角平分線上的點到角兩邊距離相等,可構造處相應的全等三角形而巧妙解決問題例3ABC中，C=90，AC=BC，DA平分CAB交BC于D點，問能否在AB上確定一點E使BDE的周長等于AB的長請說明理由 解：過D作DEAB，交AB于E點，則E點即可滿足要求 因為C=90，AC=BC， 又DEAB，DE=EB AD平分CAB且CDAC、ED

4、AB， CD=DE 由“HL”可證RtACDRtAED AC=AE LBDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB例4如圖，B=C=90，M是BC上一點，且DM平分ADC，AM平分DAB求證：AD=CD+AB 證明：過M作MEAD，交AD于E DM平分ADC，C=90 MC=ME 根據“HL”可以證得RtMCDRtMED，CD=ED 同理可得AB=AECD+AB=ED+AE=AD 即AD=CD+AB3.巧翻折, 造全等以角平分線為對稱軸，構造兩三角形全等即在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形例5.如圖，已知ABC中BAC=90，AB=AC，CD

5、垂直于ABC的平分線BD于D，BD交AC于E，求證：BE=2CD 分析：要證BE=2CD，想到要構造等于2CD的線段，結合角平分線，利用翻折的方法把CBD沿BD翻折，使BC重疊到BA所在的直線上，即構造全等三角形（BCDBFD），然后證明BE和CF（2CD）所在的三角形全等 證明：延長BA、CD交于點F BDCF（已知） BDC=BDF=90 BD平分ABC（已知） 1=2 在BCD和BFD中 BCDBFD（ASA） CD=FD， 即CF=2CD 5=4=90，BDF=90 3+F=90，1+F=90。1=3。 在ABE和ACF中 ABEACF（ASA）BE=CF， BE=2CD。例6.如圖，已知ACBD、EA、EB分別平分CAB和DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由 【分析】要證明兩條線段的和與一條線段相等時常用的兩種方法 1可在長線段上截取與兩條線段中一條相等的一段，然后證明剩余的線段與另一條線段相等（割） 2把一個三角形移到另一位置，使兩線段補成一條線段，再證明它與長線段相等（補） 證法一：如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結EF在ACE和AFE中 ACEAFE（SAS）,又,6=D在EFB和BDE中 EFBEDB（AAS） FB=DB AC+BD=AF+FB=AB 證法二：如圖（2），延長BE，與AC的延