1、中學數學建模的理論與實踐 隨著我國高中課程改革的逐步深入，新的教育隨著我國高中課程改革的逐步深入，新的教育理念和教育方法在不斷地沖擊著傳統教學，就高中理念和教育方法在不斷地沖擊著傳統教學，就高中數學而言，不能只停留在讓學生掌握基本的數學知數學而言，不能只停留在讓學生掌握基本的數學知識和技能上，更重要的是運用數學知識解決實際問識和技能上，更重要的是運用數學知識解決實際問題，培養學生的創新意識與創新能力題，培養學生的創新意識與創新能力普通高中普通高中數學課程標準數學課程標準把數學建模納入了其中同時，新把數學建模納入了其中同時，新課標也指出：課標也指出：“學生的數學學習活動不能局限于接學生的數學學習

2、活動不能局限于接受、記憶、模仿和練習，還應倡導自主探究，受、記憶、模仿和練習，還應倡導自主探究，動手實踐，合作交流，閱讀自學等學習教學方式動手實踐，合作交流，閱讀自學等學習教學方式”中學開展數學建模有利于學生增強學習數學的興趣，中學開展數學建模有利于學生增強學習數學的興趣，學會團結合作，提高分析和解決實際問題的能力，更學會團結合作，提高分析和解決實際問題的能力，更好地掌握數學知識的發生過程，培養數學創造能好地掌握數學知識的發生過程，培養數學創造能力可見，以數學建模為重要途徑來促進數學素質教力可見，以數學建模為重要途徑來促進數學素質教育的發展是大勢所趨育的發展是大勢所趨 目前，數學建模在大學已經

3、如火如荼地開展著，目前，數學建模在大學已經如火如荼地開展著，許多高校都開設了數學建模課程，一年一度的全國許多高校都開設了數學建模課程，一年一度的全國大學生數學建模競賽也進行了好多年反觀中學階大學生數學建模競賽也進行了好多年反觀中學階段，除有個別省市和社會團體外如，除段，除有個別省市和社會團體外如，除北京市北京市（上海市上海市）的的“高中生（高中生（中學生中學生）數學知識應用競數學知識應用競賽賽”；中國青少年發展服務中心的；中國青少年發展服務中心的“全國中學生數全國中學生數理化能力學科競賽理化能力學科競賽”等絕大多數地方和學校并未等絕大多數地方和學校并未有效地參與和實施分析原因：有效地參與和實施

4、分析原因： 1 1從教師的角度看，很多教師不愿意在這方從教師的角度看，很多教師不愿意在這方面花費過多時間和精力，認為搞這樣的活動與考試面花費過多時間和精力，認為搞這樣的活動與考試和教學無關，是浪費時間，擔心由于它而造成學生和教學無關，是浪費時間，擔心由于它而造成學生成績的下滑其次，受長期以來的傳統觀念和教學成績的下滑其次，受長期以來的傳統觀念和教學模式影響，教師的教學觀念陳舊，數學教學的重心模式影響，教師的教學觀念陳舊，數學教學的重心放在讓學生會解題，會計算，能在考試上拿高分上，放在讓學生會解題，會計算，能在考試上拿高分上，忽視了對學生數學綜合素質的培養同時，數學建忽視了對學生數學綜合素質的培

5、養同時，數學建模講究各學科知識的交叉，這對教師的知識儲備要模講究各學科知識的交叉，這對教師的知識儲備要求較高教師需要參加專門的培訓，需要不斷學習，求較高教師需要參加專門的培訓，需要不斷學習，無形中增加了負擔無形中增加了負擔 2 2從學生的角度看，我國中小學的課程難度從學生的角度看，我國中小學的課程難度大，學生的課業負擔重，在高考指揮棒下，學生的大，學生的課業負擔重，在高考指揮棒下，學生的壓力很大，高中生既要天天完成每科的家庭作業，壓力很大，高中生既要天天完成每科的家庭作業，還要應對各種考試同時，教師也無法在教學上有還要應對各種考試同時，教師也無法在教學上有更多的時間去讓學生進行探索長此以往，導

6、致學更多的時間去讓學生進行探索長此以往，導致學生自主意識缺乏，創造能力薄弱生自主意識缺乏，創造能力薄弱 3 3從學校和家長的角度看，雖然數學建模對從學校和家長的角度看，雖然數學建模對學生的長遠發展有利，但高考仍是評判學生、教師學生的長遠發展有利，但高考仍是評判學生、教師以及學校優劣的最重要標準，能否考上名牌大學才以及學校優劣的最重要標準，能否考上名牌大學才是家長最關心的，這必然導致對數學建模的重視程是家長最關心的，這必然導致對數學建模的重視程度不夠，部分學校即使在研究性學習中進行數學建度不夠，部分學校即使在研究性學習中進行數學建模活動，也要么流于形式，要么人數很少，時間很模活動，也要么流于形式

7、，要么人數很少，時間很短，無法形成規模，起不到應有的作用短，無法形成規模，起不到應有的作用 4 4關于數學應用和數學建模的理論研究很多，關于數學應用和數學建模的理論研究很多，但中學階段的數學建模成果較少，沒有成熟的案例但中學階段的數學建模成果較少，沒有成熟的案例和經驗借鑒；且可操作性不強，也沒有足夠可供教和經驗借鑒；且可操作性不強，也沒有足夠可供教師參考的資料師參考的資料 5 5教育資源分布不夠均衡，地區差異、學校教育資源分布不夠均衡，地區差異、學校差異及生源質量對數學建模的開展產生影響差異及生源質量對數學建模的開展產生影響 以上幾點是中學數學建模不能大規模進行的以上幾點是中學數學建模不能大規

8、模進行的原因，既有客觀因素，也有主觀原因，但這并不意原因，既有客觀因素，也有主觀原因，但這并不意味著應放棄事實證明，一些沖破阻力、克服困難味著應放棄事實證明，一些沖破阻力、克服困難結合教學，開展應用和建模活動的學校有著共同的結合教學，開展應用和建模活動的學校有著共同的感受感受在中學數學教學過程中，加強數學知識應在中學數學教學過程中，加強數學知識應用的教學，有機地開展數學建模活動，培養了學生用的教學，有機地開展數學建模活動，培養了學生數學實踐能力及創新精神，也促進了學校科研水平數學實踐能力及創新精神，也促進了學校科研水平的提升，培養了拔尖創新人才因此，的提升，培養了拔尖創新人才因此，開展這樣的活

9、動是十分有益的，也是可以施行開展這樣的活動是十分有益的，也是可以施行的的. .那么如何開展呢那么如何開展呢? ? 首先，教師作為課題的策劃者和引導者，要改變首先，教師作為課題的策劃者和引導者，要改變落后的觀念，正確認識和對待數學建模，不斷加強學落后的觀念，正確認識和對待數學建模，不斷加強學習新知識要有讓學生初步掌握數學建模的思想和方習新知識要有讓學生初步掌握數學建模的思想和方法，從而更積極主動地學習數學，使學生終生受益；法，從而更積極主動地學習數學，使學生終生受益；其次，學校要為教師創造良好的環境和具體的一些幫其次，學校要為教師創造良好的環境和具體的一些幫助，從外部環境上來看，要給教師營造一個

10、相對寬松助，從外部環境上來看，要給教師營造一個相對寬松和民主的氛圍，為教師自主的開展活動創造一個有利和民主的氛圍，為教師自主的開展活動創造一個有利的外部條件。定期邀請專家到學校講座，對教師進行的外部條件。定期邀請專家到學校講座，對教師進行系統的培訓發揮系統的培訓發揮學校學校教研室的作用，成立有專人負教研室的作用，成立有專人負責的數學建模指導小組，做好各學科之間的協調和配責的數學建模指導小組，做好各學科之間的協調和配 合從日常生活出發，結合本校實際，編寫教材合從日常生活出發，結合本校實際，編寫教材 數學建模對學生有一個逐步的學習和適應的過數學建模對學生有一個逐步的學習和適應的過程，在開展數學建模

11、活動時，特別應考慮學生實際程，在開展數學建模活動時，特別應考慮學生實際能力和水平，分層次，循序漸進開始時，起點要能力和水平，分層次，循序漸進開始時，起點要低，要給學生留有充分思考的余地；形式應有利于低，要給學生留有充分思考的余地；形式應有利于更多的學生能參與數學教學中，教師可以在講解更多的學生能參與數學教學中，教師可以在講解知識的同時有意識地介紹知識的應用背景，在應用知識的同時有意識地介紹知識的應用背景，在應用的重點環節有比較多的訓練如，數學符號的表示、的重點環節有比較多的訓練如，數學符號的表示、列方程和列不等式解應用題等，逐步擴展到讓學生列方程和列不等式解應用題等，逐步擴展到讓學生用已有的數

12、學知識解釋一些實際結果，描述一些實用已有的數學知識解釋一些實際結果，描述一些實際現象，模仿地解決一些比較確定的應用問題，再際現象，模仿地解決一些比較確定的應用問題，再到獨立地解決教師提供的數學應用問題和建到獨立地解決教師提供的數學應用問題和建模問題，最后發展成能獨立地發現、提出一些實際模問題，最后發展成能獨立地發現、提出一些實際問題，并能用數學建模的方法解決這些問題總之，問題，并能用數學建模的方法解決這些問題總之，在數學建模中，我們應更多地關注學生將實際問題在數學建模中，我們應更多地關注學生將實際問題轉化為數學模型，以及解決這一問題的方法和過程，轉化為數學模型，以及解決這一問題的方法和過程，不

13、必過分追求結果的完美性和嚴謹性，激發他們參不必過分追求結果的完美性和嚴謹性，激發他們參與的積極性與的積極性 教師應在教授數學各個模塊時，選擇恰當的實教師應在教授數學各個模塊時，選擇恰當的實際問題，引導學生進行建模活動比如：在學習函際問題，引導學生進行建模活動比如：在學習函數模塊中，可引入的實際問題有：銀行存貸款，商數模塊中，可引入的實際問題有：銀行存貸款，商品銷售與利潤，非線性組合和預測，人口或其他生品銷售與利潤，非線性組合和預測，人口或其他生物增減變化的規律；漁場養魚與資金分配，出租車物增減變化的規律；漁場養魚與資金分配，出租車計價等在學習數列模塊中，可引入的實際問題有：計價等在學習數列模塊

14、中，可引入的實際問題有：銀行的存貸款、證券、期貨、保險、企業的產值、銀行的存貸款、證券、期貨、保險、企業的產值、成本、倉儲；社會問題中的人口增加、人口成本、倉儲；社會問題中的人口增加、人口質量、土地及資源的利用及配置；空氣污染、森林質量、土地及資源的利用及配置；空氣污染、森林覆蓋等在概率統計模塊中有：有獎促銷，考試成覆蓋等在概率統計模塊中有：有獎促銷，考試成績的評價等在三角函數模塊中，有停車場最多績的評價等在三角函數模塊中，有停車場最多停車設計問題，加工精度的間接測量，搬運家具停車設計問題，加工精度的間接測量，搬運家具問題，電流、聲波、爆炸物爆炸后引起的振動，問題，電流、聲波、爆炸物爆炸后引起

15、的振動，單擺運動等在解析幾何模塊中有：臺風移動對單擺運動等在解析幾何模塊中有：臺風移動對城市的影響，貨物運輸等城市的影響，貨物運輸等 導向性：選編的數學應用建模問題，應在思導向性：選編的數學應用建模問題，應在思想內想內 容上富于時代信息，并將真實性、科學性、容上富于時代信息，并將真實性、科學性、適應性、挑適應性、挑 戰性、趣味性和探索性作為其出發點，戰性、趣味性和探索性作為其出發點，同時使問題具同時使問題具 有過程的完整性、方法的多樣性、有過程的完整性、方法的多樣性、計算工具的先進計算工具的先進 性，既有助于中學素質教育，又性，既有助于中學素質教育，又能培養分析問題、解決問題的能力能培養分析問

16、題、解決問題的能力 隱蔽性：建模條件應具有適度的隱蔽性，盡隱蔽性：建模條件應具有適度的隱蔽性，盡量是量是“原胚型原胚型”問題問題 原始性：所給材料應保持其原始性來自廣原始性：所給材料應保持其原始性來自廣播電播電 視、報刊雜志的信息，政府機關、企事業單視、報刊雜志的信息，政府機關、企事業單位的報告、位的報告、 計劃、統計資料等等，都是數學建模計劃、統計資料等等，都是數學建模問題原始資料的問題原始資料的 重要來源；也可以引導學生親自重要來源；也可以引導學生親自到一線調查研究，注意積累課題資料到一線調查研究，注意積累課題資料 模擬性：限于中學生知識水平和年齡特征，模擬性：限于中學生知識水平和年齡特征

17、，因此應對實際問題進行加工、處理和創造，省略因此應對實際問題進行加工、處理和創造，省略若干次要若干次要 干擾因素，將問題轉化為易于發現和建干擾因素，將問題轉化為易于發現和建立數學模型立數學模型 的的“準實際問題準實際問題” 綜合性：應用與建模例題應具有：綜合性：應用與建模例題應具有：(1)社會交社會交流層次上的綜合性，包括生活知識、語言知識、流層次上的綜合性，包括生活知識、語言知識、相關學科知識等的綜合；相關學科知識等的綜合；(2)素質層次上的綜合性，素質層次上的綜合性，包括基本知識、基本技能、基本數學思想方法和包括基本知識、基本技能、基本數學思想方法和能力的能力的“多位一體多位一體”的綜合的

18、綜合 創新性：編制應用與建模例題時，必須考慮創新性：編制應用與建模例題時，必須考慮培養學生的創新精神和創造能力為此應注重一培養學生的創新精神和創造能力為此應注重一題多模或多題一模、統計圖表等例題的編擬，密題多模或多題一模、統計圖表等例題的編擬，密切關注現代科學技術的發展，使學生創新和高技切關注現代科學技術的發展，使學生創新和高技術密切結合，融入當代科學發展的主流術密切結合，融入當代科學發展的主流 編制應用與建模的例題主要從以下幾方面著編制應用與建模的例題主要從以下幾方面著手：第一，改造課本例題和習題；第二，結合教手：第一，改造課本例題和習題；第二，結合教學實踐經驗改編；第三，從國內外相關教參和

19、期學實踐經驗改編；第三，從國內外相關教參和期刊中優選；第四，從大學建模刊中優選；第四，從大學建模“成品成品”中簡化移中簡化移植；第五，從教師自己生活實踐中提煉和挖掘；植；第五，從教師自己生活實踐中提煉和挖掘；第六，發動學生關注生活、體驗生活，從中尋求第六，發動學生關注生活、體驗生活，從中尋求問題問題 例例1 某商人如果將進貨單價為某商人如果將進貨單價為8元的商品按每元的商品按每件件10元出售時，每天可銷售元出售時，每天可銷售50件件.現在他采用提高現在他采用提高售價，減少進貨的辦法增加利潤，已知這種商品售售價，減少進貨的辦法增加利潤，已知這種商品售價每提高價每提高1元，銷售量就減少元，銷售量就

20、減少5件件.問每件售價定為問每件售價定為多少時，才能使每天的利潤最大？并求出最大利潤多少時，才能使每天的利潤最大？并求出最大利潤.分析分析 因為每天所獲利潤等于每件的利潤與銷售量因為每天所獲利潤等于每件的利潤與銷售量之積，而銷售量又隨單價的提高而減少，所以不妨之積，而銷售量又隨單價的提高而減少，所以不妨設每件提高設每件提高x元，則每件所獲利潤為（元，則每件所獲利潤為（2+x）元）元 ，每天銷售量將減少到（每天銷售量將減少到（50-5x）件，每天所獲利潤）件，每天所獲利潤為為f(x)= (2+x) (50-5x) (0 x10) .原題就轉化為求二原題就轉化為求二次函數次函數f(x)在區間在區間

21、0,10內的最大值內的最大值.當且僅當當且僅當2+x=10-x時，等號成立，即每件售價定為時，等號成立，即每件售價定為4元時，元時， 每天的利潤最大為每天的利潤最大為180元元.2210( )5(2)(10)51802xxf xxx 例例2 有一種商品，有一種商品，A A、B B兩地均有售且兩地價格兩地均有售且兩地價格相同，但某地區的居民從兩地往回運時，每單位距相同，但某地區的居民從兩地往回運時，每單位距離離A A地的運費是地的運費是B B地運費的地運費的3 3倍已知倍已知A A、B B兩地相距兩地相距1010公里，顧客購買這兩種商品選擇從公里，顧客購買這兩種商品選擇從A A地買或從地買或從B

22、 B地地買的標準是包括運費在內的總費用比較便宜，求買的標準是包括運費在內的總費用比較便宜，求A A、B B兩地的售貨區域的分界線的軌跡圖形，并指出軌兩地的售貨區域的分界線的軌跡圖形，并指出軌跡圖形上、圖形內、圖形外的居民如何選擇從跡圖形上、圖形內、圖形外的居民如何選擇從A A地地或或B B地購買最劃算？地購買最劃算？ 分析分析 首先建立坐標系，首先建立坐標系， 取取ABAB的中點為原點，的中點為原點，直線直線ABAB為為x x軸建立直角坐標系，則軸建立直角坐標系，則A A(-5,0),(-5,0),B B(5,0).(5,0).設設P P( (x x, ,y y) )是分界線上任一點，是分界線

23、上任一點， 從從B B地往地往P P地運貨的單地運貨的單位位3a|PA|=a|PB|，9(x+5)2+y2=(x-5)2+y2，即，即2222515.44xy故故A、B兩地售貨的區域分界線是以兩地售貨的區域分界線是以 為為 圓心，以圓心，以 為半徑的圓，圓周內的居民從為半徑的圓，圓周內的居民從A地買地買劃算；圓周外的居民從劃算；圓周外的居民從B地買劃算；圓周上的居民地買劃算；圓周上的居民從從A、B兩地買的費用相同兩地買的費用相同.25,04154距離運費為距離運費為a元元.由題意得由題意得 例例3 在邊防沙漠地帶，巡邏車每天行駛在邊防沙漠地帶，巡邏車每天行駛200200千千米，每輛巡邏車可載供

24、行駛米，每輛巡邏車可載供行駛1414天的汽油天的汽油. .現有現有5 5輛巡輛巡邏車，邏車， 同時從始地同時從始地A A出發，出發， 完成任務后再沿原路完成任務后再沿原路返回始地，為了讓其中三輛車盡可能向更遠的地方返回始地，為了讓其中三輛車盡可能向更遠的地方巡邏（巡邏（ 然后再一起返回）然后再一起返回） ， 甲、甲、 乙兩輛車行至乙兩輛車行至B B處后，處后， 僅留足自己返回始地必需的汽油，僅留足自己返回始地必需的汽油， 將多將多余的汽油供給另外三輛車使用，問這三輛車能行駛余的汽油供給另外三輛車使用，問這三輛車能行駛的最遠距離是多少？的最遠距離是多少？ 分析分析 在上面這個問題中，關鍵是考慮在

25、上面這個問題中，關鍵是考慮B B點點在在何處比較合適，若何處比較合適，若B B點離點離A A點太近點太近, ,其余三輛車無法其余三輛車無法裝載甲、乙兩車所供的汽油；若裝載甲、乙兩車所供的汽油；若B B點離點離A A點太遠，則點太遠，則不能保證其余三輛車返回的汽油不能保證其余三輛車返回的汽油. .設甲、乙兩車行設甲、乙兩車行駛駛 x天到達天到達B處，處， 留足自己返回的汽油后，向其余留足自己返回的汽油后，向其余 三輛巡邏車供油三輛巡邏車供油.從巡邏車的載油容量考慮，從巡邏車的載油容量考慮， 則應有則應有142214214,3xx4.x 解得解得為保證其他三輛車盡可能行進最遠，甲、乙兩車應為保證其

26、他三輛車盡可能行進最遠，甲、乙兩車應使使B點盡可能最遠，點盡可能最遠， 即即x盡可能大，盡可能大，且且 供油盡可能供油盡可能多，但必須又留足他們返回始地的燃油，所以有多，但必須又留足他們返回始地的燃油，所以有2 1423 ,xx解得解得4.x 于是，于是，x=4. 從而，這三輛車從始地從而，這三輛車從始地A出發，行進的最遠出發，行進的最遠距離為距離).2千米 另解：設甲、乙兩車從駐地A行至B處需耗x天的汽油，則其他三輛車在AB路段也消耗了x天汽油，在B處甲、乙兩車可向其他三輛車提供2（14-2x）天的汽油； 要使這三輛車行程最遠，當且僅當甲、乙兩車提供的汽油量等于另三輛車在AB路段消耗的汽油總量， 即2（14-2x）=3x， 解得x=4 則這三輛車從駐地出發，行進的最遠距離為（14+4）/ 2 200=1800（千米） 答：其他三輛可行進的最遠距離是1800千米 例例4 某足球邀請賽有某足球邀請賽有20個城市參加，每市派出個城市參加，每市派出甲、乙兩隊，根據比賽規則，甲、乙兩隊，根據比賽規則， 每兩隊之間至多賽每