1、高三總復習-一數列一、數列的概念(1)數列定義：按一定次序排列的一列數叫做數列；數列中的每個數都叫這個數列的項。記作an ,在數列第一個位置的項叫第1項(或首項)，在第二個位置的叫第2項，序號為n的項叫第n項(也叫通項)記作 an； 數列的一般形式：a1, a2, a3,，an,，簡記作an 。例：判斷下列各組元素能否構成數列(1) a,-3,-1,1, b, 5, 7, 9;(2)2010年各省參加高考的考生人數。n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就(2)通項公式的定義：如果數列 an的第n項與 叫這個數列的通項公式。例如:說明：an：1 一 一一2'3'45數列的

2、通項公式是數列的通項公式是an =ann ( n 7, n1 ,(n N )。n表示數列，an表示數列中的第n項，anN ),f n表示數列的通項公式; .1.n 2k 1 同一個數列的通項公式的形式不一定唯一。例如，an= ( 1)n=,(k Z);1,n 2k不是每個數列都有通項公式。例如，1, (3)數列的函數特征與圖象表示：序號：123456項：456789上面每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號集合到另一個數集的映射。從函數觀點看，數列實質上是定義域為正整數集N (或它的有限子集)的函數 f(n)當自變量n從1開始依次取值時對應的一系列函數值f (1), f(2), f (3

3、),，f(n),.通常用an來代替f n ,其圖象是一群孤立點。例：畫出數列an 2n 1的圖像.(4)數列分類：按數列項數是有限還是無限分：有窮數列和無窮數列；按數列項與項之間的大小關 系分：單調數列(遞增數列、遞減數列)、常數列和擺動數列。例：下列的數列，哪些是遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,Si(n 1)Sn Sm(n>2)(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a,-(5)數列an的前n項和Sn與通項an的關系：an例：已知數列an的前n項和Sn 2n2 3,求數列a

4、n的通項公式練習：1 .根據數列前4項，寫出它的通項公式:(1) 1, 3, 5, 7_2-222(2)(3)(4)(5)22 132 142 152 1，；23451111， ，° 1*22*33*44*59, 99, 999, 99997, 77, 777, 7777,(6)8, 88, 888, 8888 . n2 n 12 .數列 an中，已知an (n N )3(1)寫出a1，a2,a3,an1,an2；2 -一（2） 79 2是否是數列中的項若是，是第幾項33. （2003京春理14,文15）在某報自測健康狀況的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統計數據如下表 觀察表中數據

5、的特點，用適當的數填入表中空白（）內。4闡步）304 口壯so鵑敗罪任f本鉆柱塞辛1101騰120旗no(J145舒生展水假柱羲舉70737S用拇()4、由前幾項猜想通項:根據下面的圖形及相應的點數，在空格及括號中分別填上適當的圖形和數，寫出點數的通項公式(1)(4)(7)5.觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣,10條直線相交，交點的個數最多是（）,其通項公式2條直線相交，最多有 1 個交點.、等差數列3條直線相 交，最多有3 個交點4條直線相 交，最多有6 個交點題型一、等差數列定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列，這個常數

6、叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。用遞推公式表示為 an an 1 d（n 2）或 an 1 an d（n 1）。例：等差數列an 2n 1 , an an 1 題型二、等差數列的通項公式：an a1 （n 1）d ；說明：等差數列（通常可稱為AP數列）的單調性：d 0為遞增數列，d 0為常數列，d 0為遞減數列。例：1.已知等差數列 an中，a? a9 16, a4 1,則a12等于（）A. 15B. 30C. 31D. 642.an是首項a11,公差d 3的等差數列，如果 an 2005,則序號n等于（A） 667（B） 6683.等差數列an 2n 1,bn“遞減數列”）題型三、

7、等差中項的概念：(C) 669(D) 6702n 1 ,貝U an 為 bn 為（填“遞增數列”或定義：如果a, A, b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項。其中 Aa , A, b成等差數列A a-b 即：2an 1 an an 22例：1.（14全國I）設an是公差為正數的等差數列， 若a1 a2 a3(2an15 , a1a2a3 80,則 a11 a12a13A. 120B. 105C. 90D. 7548,則它的首項是（2.設數列an是單調遞增的等差數列，前三項的和為12,前三項的積為A. 1.2 C題型四、等差數列的性質：（1）在等差數列 an中，從第2項起，每一項是它相鄰二項

8、的等差中項；（2）在等差數列 an中，相隔等距離的項組成的數列是等差數列；a a（3）在等差數列 an 中，對任意 m , n N , an am （n m）d , d （m n）；n m（4）在等差數列an 中，若 m , n , p , qN 且 m n p q ,則 aman a p aq ；題型五、等差數列的前n和的求和公式：Sn n（a1 an） na1 n（n 1）d 22（Sn An2 Bn（A, B為常數）an是等差數列）1n2 (a1 d) n。22遞推公式：Sn（a1 an）n2(aman (m 1)n2例：1.如果等差數列中,a3 a4a5 12,那么 a1 a2a7(A

9、) 14(B) 21(C) 28(D) 352. （2015湖南卷文）設是等差數列的前n項和，已知a2 3, a611,則等于（）A. 13B. 35C. 49D.633. （2015全國卷I理）設等差數列的前n項和為，若S972，則 a2 a4 a9 =4. （2015重慶文）（2）在等差數列中，a1 a9 10,則的值為（）(A) 5(B) 6(C) 8(D) 105. 若一個等差數列前 3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的和為 390,則這個數列有（）項項項項6. 已知等差數列 an的前n項和為Sn,若S12 21,則a? a5 a8 aii 7. （2014全國卷n理）設等

10、差數列的前n項和為，若a5 5a3則S9 S58. （2014全國）已知數列 bn是等差數列，b1=1, b1+b2+b1o=100.（I ）求數列 bn的通項bn；9.已知an數列是等差數列，a10 10,其前10項的和S10 70,則其公差d等于（）2A.一3112B.C.D.33310. （2015陜西卷文）設等差數列的前 n項和為，若a6 s3 12,則11. （2013全國）設an為等差數列,$為數列an的前n項和，已知S7=7, S15= 75, Tn為數列的前n項和，求Tn。12 .等差數列 an的前n項和記為Sn ,已知a1030, a2050求通項an ；若Sn =242,求

11、n13 .在等差數列an中，（1）已知S848,S12168，求a1和d ； （2）已知a610,S55,求法和Sg； （3）已知 a3 a1540,求 S17題型六.對于一個等差數列：S在a（1）若項數為偶數，設共有 2n項，則S偶 S奇 nd；一三 -an-；S偶 an 1SUn（2）若項數為奇數，設共有 2n 1項，則S奇 S偶 an a中；丫巴 。S偶n 1題型七對與一個等差數列，Sn , S2n Sn , S3n S2n仍成等差數列。例：1.等差數列an的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項和為（）B.1702 .一個等差數列前 n項的和為48,前2 n項的和為60,則

12、前3 n項的和為 。3 .已知等差數列 an的前10項和為100,前100項和為10,則前110項和為4 .設Sn為等差數列an的前n項和，S4 14, S10 S7 30,則S9=5. （2015全國II）設Sn是等差數列 an的前n項和，若S3S6S6S123A.101B.31 C.81 D.9題型八.判斷或證明一個數列是等差數列的方法: 定義法：an 1 and（常數）（n N ） an是等差數列中項法:2an 1 an an 2（nN）an是等差數列通項公式法：an kn b（k,b為常數） an是等差數列前n項和公式法：Sn An2 Bn （A, B為常數） an是等差數列例：1.已

13、知數列an滿足an an 1 2,則數列an為（）A.等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷2 .已知數列an的通項為an 2n 5,則數列an為（）A.等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷23 .已知一個數列an的前n項和Sn 2n 4,則數列an為（）A.等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷24 .已知一個數列an的刖n項和Sn 2n ,則數列an為（）A.等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷5 .已知一個數列an滿足an 2 2an 1 an 0 ,則數列an為（）A.等差數列B

14、.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷6 .數列 an 滿足 a=8, a4 2,且 an 2 2an 1 an 0 （n N）求數列an的通項公式;7 . （14天津理，2）設3是數列an的前n項和，且 S=n2,則an是（）A.等比數列，但不是等差數列B.等差數列，但不是等比數列C等差數列，而且也是等比數列D.既非等比數列又非等差數列題型九.數列最值（1）a1 0, d 0時，Sn有最大值；a1 0, d 0時，Sn有最小值；2（2） &最值的求法： 若已知Sn,的最值可求二次函數 Sn an bn的最值；可用二次函數最值的求法（nN）；或者求出中的正、負分界項，即

15、：,an 0 , an 0右已知an ,則Sn最值時n的值（n N ）可如下確定或an 10 an 10例：1 .等差數列 an中，a1 0, S9 S12,則前 項的和最大。2.設等差數列an的前n項和為Sn ,已知a3 12, S12 0, S13 0求出公差d的范圍，指出S1, S2, , S12中哪一個值最大，并說明理由。3. （12上海）設 an （nCN*）是等差數列，S是其前n項的和，且 3, S5 = Sz>Q,則下列結論錯誤的是（）<0=0CG> S5與&均為Sn的最大值4.已知數列的通項n 98n 99n N ）,則數列 an的前30項中最大項和最

16、小項分別是 5 .已知an是等差數列，其中 a131,公差d 8。（1）數列an從哪一項開始小于0（2）求數列an前n項和的最大值，并求出對應 n的值.0，求數列 前n項和的最大值.6 .已知an是各項不為零的等差數列， 其中ai 0 ,公差d 0 ,若&07.在等差數列an中，ai 25, S17S9 ,求Sn的最大值.t § (n 1) 題型十利用an求通項.& &i (n 2)21 .數列an的前n項和Snn 1 .(1)試寫出數列的前5項；(2)數列an是等差數列嗎(3)你能寫出數列an的通項公式嗎2 .已知數列 an的前n項和Sn n2 4n 1,則

17、3 .設數列an的前n項和為&=2n2,求數列an的通項公式；14 .已知數列 an 中，a13,前 n和 Sn- (n 1)(an 1) 12求證：數列 an是等差數列求數列an的通項公式25 . (2015安徽又)設數列的前 n項和S n ,則的值為()(A) 15(B) 16(C)49(D) 64等比數列等比數列定義一般地，如果一個數列從第三項起,，每一項與它的前一項的比等于同一個常數.，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母q表示(q 0),即：an1： an q(q 0)。、遞推關系與通項公式遞推關系：an 1通項公式：an推廣：an aman

18、qn 1a qn mq1 .在等比數列 an中，a14,q2,則an 2 .在等比數列 為中，a7 12,q 3/2，則a19 .3 . (2014重慶文)在等比數列an中，a2 = 8, a1 = 64,則公比q為()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 84 .在等比數列 an中，a22 , a5 54 ,貝U a8 =5 .在各項都為正數的等比數列an中，首項a1 3,前三項和為21,則a3 a4 a5()A 33 B 72C 84 D 189二、等比中項：若三個數 a,b,c成等比數列，則稱 b為a與c的等比中項，且為bVac,注：b2 ac是成等比數列的必要而不充分條件例：1.2J3

19、和2 J3的等比中項為(A)1(B) 1(C) 1(D)22. (2013重慶卷文)設是公差不為0的等差數列，a12且a1，a3, a6成等比數列，則的前n項和=()2 in 7nA442nB. 一35n32-n 3nC242_D. n n三、等比數列的基本性質,1. (1)若 m n pq,則 amanapaq (其中 m,n, p,q N ) qn m an_, an2 an m an m (n N ) a m(3) an為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列.(4) an既是等差數列又是等比數列an是各項不為零的常數列. 一 一、一一_2_.,，一 一例：1.在等比數列an中，a

20、i和aio是萬程2x 5x 1 0的兩個根，則a4 a7 (5.2_11(A) -(B)(C) -(D)-22222 .在等比數列 an ,已知a1 5, a9al0 100,則a18 =3 .在等比數列 an 中，a1 a6 33, a3a432, an an 1求an若 Tn lga lga2lgan,求Tn4 .等比數列an的各項為正數，且a5a6a4a718,則log3alog3a2Llog3al0(A. 12 B. 10C. 8 D. 2+log3 55. (2014廣東卷理)已知等比數列滿足an0,n 1,2,L 曰 a5 a2n 5 22n(n 3)則當時，log 2 a log

21、 2 a3 L log 2 a2n 1()A. n(2n 1)B. (n 1)22.前n項和公式C.D. (n 1)2na(q 1)Sn&(1 qn)a anq(q 1)1 q 1 q例：1.已知等比數列an的首相a15,公比q2 .已知等比數列an的首相a15 ,公比q和Sn 2 ,則其前n項和Sn 1-,當項數n趨近與無窮大時，其前 n項23.設等比數列an的前n項和為Sn,已a26, 6a1 a330,求 an 和 Sn4 . (2015 年北京卷)設 f(n) 2 24 27210 L 23n 10(nN),則f(n)等于()A. 2(8n 1) B. 2(8n 1 1)C.2

22、(8n3 1) D.-(8n 4 1)7777q；5 . (2014全國文，21)設等比數列 an的前n項和為Sn,若&+S6=2S9,求數列的公比6 .設等比數列an的公比為q,前n項和為Sn,若$+1,S, $+2成等差數列，則q的值為3.若數列an是等比數列,Sn是其前n項的和，k N ,那么Sk, S2k Sk，S3k S2k成等比數列例：1. （2014遼寧卷理）設等比數列 的前n項和為，若S6S3 =3 ,則S67 8A. 2B. （2）中項法：an 1an an 2（an 0） an為等比數列；（3）通項公式法：ank qn （k,q為常數）an為等比數列；（4）前n項和

23、法：Snk（1 qn） （k,q為常數）an為等比數列。 Sn k kqn （k,q為常數）an為等比數列。例：1.已知數列an的通項為an 2n,則數列an為（）A.等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷 22.已知數列an滿足an 1an an 2（an0）,則數列an為（） A.等差數列B.等比數列C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷3.已知一個數列an的前n項和Sn 2 2n 1,則數列an為（）C. 32 .一個等比數列前 n項的和為48 ,前2 n項的和為60,則前3 n項的和為（A. 83B. 108C. 75D. 633 .已知數列an是等比數

24、列，且Sm 10, S2m 30,則S3m 4 .等比數列的判定法（1）定義法:an 1q （常數）an為等比數列;an5 .利用aS1 (n 0求通項.ns Sn 1 (n 2)1 一例：1. (2015北東卷)數列an的刖 n 項和為Si,且ai=1,an1 SSn,n=1, 2,3, ,求a2,a3,a43的值及數列an的通項公式. 一 _ 一 一 一， *、 2. (2015山東卷)已知數列an的首項a15,前n項和為Sn,且Sn1 Sn n 5(n N ),證明數列an 1是等比數列.四、求數列通項公式方法(1).公式法(定義法)根據等差數列、等比數列的定義求通項例：1已知等差數列a

25、n滿足：a3 7,a5 a7 26,求an；2 .已知數列an滿足a12, an an 1 1(n 1),求數列an的通項公式;3 .數列an滿足a1=8, a4 2,且an 2 2an 1 an 0 (n N ),求數列 an的通項公式;4.已知數列an滿足a11一 2 ,求數列an的通項公式;an5.設數列an滿足ai0且-1an 11 1 ,求an的通項公式1 an6.已知數列an滿足an2 an-o，a1an 21 ,求數列an的通項公式。7.等比數列 _2_an的各項均為正數，且 2a1 3a2 1, a39a2a6,求數列an的通項公式8.已知數列an滿足a1 2, an 3an

26、1（n 1）,求數列an的通項公式;9.已知數列an滿足a12, a24且 an 2anan 1( n N ),求數列an的通項公式;10.已知數列an滿足a2,且 an5n 12(an),求數列an的通項公式;11.已知數列an滿足a12,且 an5 2n3(an 52n2) ( n N )，求數列an的通項公式;12.數列已知數列an滿足ai1二，an24an1(n1).則數列an的通項公式二(2)累加法1、累加法 適用于：an 1 anf (n)a?a1若 an 1 an f (n) (n 2),a3則3La2f(1)f(2)Lanf (n)兩邊分別相加得an 1 aif(n)1例：1

27、.已知數列an滿足a1-,21an 1 an 2，求數列an的通項公式。4n 12.已知數列an滿足an 1an 2n 1, a1 1 ,求數列an的通項公式。3.已知數列an滿足an 1an 2 3n 1, a1 3,求數列an的通項公式。4.設數列an滿足a12n 12 , an 1 an3 2,求數列an的通項公式1、確定f (n)(3)累乘法適用于：an i f (n)an若力 f (n),則a2 anal. a3.an 1,f(1), f(2),L L Qf(n)a2an兩邊分別相乘得，an a f(k) ak i例：1.已知數列an滿足an 12(n 1)5n烝，ai 3,求數列a

28、n的通項公式。22.已知數列 an滿足a1- , an 13求an。3.已知 a13 , an 13n 1- an3n 2(n1),求 an。(4)待定系數法適用于 an 1 qan f (n)解題基本步驟：2、設等比數列an1 f (n) ，公比為3、列出關系式an 11f(n 1)2an 2f(n)4、比較系數求1 ，25、解得數列an 1 f (n) 的通項公式6、解得數列an 的通項公式例： 1. 已知數列an 中， a1 1,an 2an 1 1(n 2) ，求數列an 的通項公式。2.(2015，重慶,文,14)在數列an中， 若 a11,an1 2an 3(n1)，則該數列的通項

29、an 項公式；3.( 2014. 福建.理22.本小題滿分14 分)已知數列an 滿足a1*1,an 1 2an 1(n N ).求數列an 的通4.已知數列an滿足an 1 2an3 5n， a1 6，求數列an 的通項公式。解：設 an 1 x 5n 12(an x 5n)1,求數列an的通項公式。5.已知數列an滿足an 1 3an 5 2n 4, &解：設 an 1 x 2n 1y 3(an x 2n y) 51,1n 1.6.已知數列an 中，a1 ,an1 an(),求 an6327.已知數列an滿足an 122an 3n 4n 5, a11 ,求數列an的通項公式。解：設

30、 an 1 x(n 1)22、y(n 1) Z 2(an xn yn z)8.已知數列an滿足an 1n 12an 4 3 , a11 ,求數列an的通項公式。遞推公式為 an 2pan 1qan （其中p, q均為常數）。先把原遞推公式轉化為 an 2 san 1 t（an 1san )其中s, t滿足s t p st q9.已知數列an滿足an 25an 1 6an,a11,a2 2 ,求數列an的通項公式。（5）遞推公式中既有&S1,n 1分析：把已知關系通過 an轉化為數列 an或Sn的遞推關系，然后采用相應的方法求解。nSn Si,n 2n1- 1. （2015 北東卷）數列

31、an的刖 n 項和為 Sn,且 ai=1, an 1 S Sn , n=1, 2, 3,求 a2, a3, a4 的值3及數列an的通項公式.2.（2015山東卷）已知數列 K 的首項a1. . _ 一 一 一， ,5,前n項和為Sn,且Sn1Sn n 5(n N),證明數列an 1是等比數列.3.已知數列 an中，a1 3,前n和Sn12(n 1)(an 1) 1求證：數列 an是等差數列求數列an的通項公式1,4.已知數列an的各項均為正數，且前 n項和Sn滿足Sn (a0 1)(an 2),且a2, a4，為成等比數列，求數 6列an的通項公式。(6)倒數變換法適用于分式關系的遞推公式，

32、分子只有一項2a例：1.已知數列an滿足an 1,a1 1 ,求數列an的通項公式。an 2(7)對無窮遞推數列消項得到第n 1與n項的關系例：1. (2014年全國I第15題，原題是填空題)已知數列 an滿足a1 1, an a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1(n 2),求an的通項公式。2n 1 n*2.設數列滿足a1 3a2 32 a3 3 an - , a N .求數列的通項;3五、數列求和1 .直接用等差、等比數列的求和公式求和。n(a an)n 2Snnai(q 1)ai(1 qn)(q 1)公比含字母時一定要討論(理)無窮遞縮等比數列時，S1 q例：1.已知等差數列an

33、滿足a11, a23,求前n項和Sn2.等差數列an中，a=1,a3+a5=14,其前 n 項和 Sn=100，則 n=()A. 9 B. 10C. 11D. 123.已知等比數列an滿足a1, a23,求前n項和Sn_4_7_104.設 f(n)2222L23n 10(n N),則等于(2 n2n 1A. (81) B. (81)77-2 n 32 n 4C.-(81) D.-(81)77anbn的和.2 .錯位相減法求和：如：an等差，bn等比，求a1bl a2 b2._ 2n 1例：1.求和 Sn 1 2x 3x2 L nxn 12.求和：Sn3.設an是等差數列，bn是各項都為正數的等比數列，且ai。1,a3b521,a5b313(I)a求an, bn的通項公式；(n)求數列 的刖n項和