1、(三)函數與導數(1)321. (2018 江南十校模擬)if(x)=xln x-ax + (3a- 1)x.若g(x) = f' (x)在1,2上單調，求a的取值范圍；(2)已知f(x)在x=1處取得極小值，求 a的取值范圍.解(1)由 f ' (x)=ln x- 3ax+3a,即 g(x)=ln x- 3ax+3a, xC(0, 十°°),、1 一g (x) = -3a, xg(x)在1,2上單調遞增，1一一 3ano 對 xC 1,2恒成立，xr-1即aw 丁對xC 1,2恒成立，3x1得aw整6g(x)在1,2上單調遞減，1- 3a<0 對 x

2、C 1,2恒成立，x一 1 .，一，一即a>M xC 1,2恒成立，3x得 a>, 3由可得a的取值范圍為 一8 1 u 1, +oo .63(2)由知，當awo時，f' (x)在(0 , +00)上單調遞增，xC(0,l)時，f' (x)<0, f(x)單調遞減，xC(1, +8)時,廣(x)>0, f(x)單調遞增，f (x)在x= 1處取得極小值，符合題意；_1一 1當 0<a<w時，>1, 33a1 ，、一又f ' (x)在0,上單調遞增，3a.x(0,1)時，f' (x)<0, xC 1,；時，f'

3、; (x)>0, 3a-1 ，f (x)在(0,1)上單倜遞減，在 1,不 上單倜遞增， 3af (x)在x= 1處取得極小值，符合題意；1 ,1當a=g時，=1, f (x)在(0,1)上單倜遞增， 33a在(1 , + 00)上單調遞減，xC(0, +8)時，(x)W0, f(x)單調遞減，不合題意；當 a>1 時，0<；<1, 33a當 xC 1 時，f' (x)>0, f(x)單調遞增， 3a當xC(1,+8)時，f ' (x)<0 , f (x)單調遞減， f (x)在x= 1處取得極大值，不符合題意.綜上所述，可得a的取值范圍為

4、8, 1 . 32. (2018 河南省鄭州外國語學校調研)已知函數f(x) = aln x-ex.(1)討論f (x)的極值點的個數；(2)若ae N,且f(x)<0恒成立，求a的最大值.參考數據：x1.61.71.8x e4.9535.4746.050In x0.4700.5310.588x解(1)根據題意可得f' (x)=W ex= "一”"(x>0), x x當awo時，f' (x)<0 ,函數是減函數，無極值點；當 a>0 時，令 f' ( x) = 0 得 a xex=0,即 xex=a,又y = xex在(0 ,

5、 + 8)上是增函數，且當 x 十 00時，xex一 + 8,所以xex= a在(0 , +°°)上存在一解，不妨設為xo,所以函數y=f(x)在(0, xo)上單調遞增，在(x°, +°°)上單調遞減，所以函數y=f(x)有一個極大值點，無極小值點.綜上，當awo時，無極值點；當a>0時，函數y=f(x)有一個極大值點，無極小值點.(2)因為 aC N* >0 ,由知，f(x)有極大值f(x°),且x。滿足x°e" = a，可知f(x) max= f (x0) =aln x0 e",要使f(

6、x)<0恒成立，即 f(xo)=aln x0- ex0 <0,一 一 a由可得ex0 =-,x0ia代入得aln x0<0, x0即 a In x° <0, x0因為 aC N*>0,所以 In x° <0, x因為 In 1.7 二<0, In 1.8 工>0,1.71.81且y=ln x0 一短在(0 , 十 0°)上是增函數.一1,一設m為y= In x0一的奪點，x0則 mC (1.7,1.8),可知 0<x0<m由可得aIn x0< ex0 ,當0<x°wi時，aIn x&

7、#176;w0,不等式顯然恒成立；eL當 1<x0<m時，In x0>0, a<,'' In xo'e .、e In x - x令 g(x) =1-, x(1 , m),貝u g' (x)=mrx<0，所以g(x)在(1 , m)上是減函數，e"e"7且。合 10.29, 一 10.31,In 1.8' In 1.7'所以 10.29<g(m)<10.31 ,所以 awg(m),又aCN*,所以a的最大值為10.3. (2018 廈門質檢)設函數 f(x)=xln x-ax2+ (b-

8、1)x, g(x) = exex.(1)當b=0時，函數f(x)有兩個極值點，求 a的取值范圍；(2)若y = f(x)在點(1 , f(1)處的切線與x軸平行，且函數 h(x) = f(x) +g(x)在xC(1, 十8)時，其圖象上每一點處切線的傾斜角均為銳角，求a的取值范圍.解 (1)當 b=0 時，f (x) = xln x ax2x,f ' (x) = ln x 2ax,f (x) = xln x- ax2x有2個極值點就是方程 ln x-2ax= 0有2個解，一 .ln x .即y = 2a與m(x)=的圖象的交點有 2個.1 ln xx. m' (x)=滔一， x

9、當 xC(0, e)時，m' (x)>0, mx)單調遞增；當xC(e,+8)時，mi (x)<0, m(x)單調遞減.，一 1m(x)有極大值e,又 xC (0,1時，m(x)<0；當 xc(i,+8)時0<mx)<.e當aC 2e' +°°時，y = 2a與mx) =lnxx的圖象的交點有 0個；1ln x,當aC(8, 0或a=w時，y= 2a與mx) =一二的圖象的父點有 1個; 2ex當aC 0,:時，y = 2a與m(x) nln-x的圖象的交點有2個. 2ex2e綜上，a的取值范圍為 0, 1-.(2)函數y=f(

10、x)在點(1, f(1)處的切線與x軸平行, f ' (1) = 0 且 f(1) W0,f ' (x) = In x 2ax+ b,b=2a 且 awl.h(x)=xln xax2+( b1) x+exex 在 xC(1, +°0)時,其圖象的每一點處的切線的傾斜角均為銳角，即當 x>1 時,h' ( x) = f' ( x) + g' (x)>0 恒成立,即 In x+ex 2ax+ 2ae>0恒成立,令 t(x)=ln x+ ex-2ax+2a- e,，t ' (x) =1+ex2a, x設 j (x) = x+

11、ex2a, j ' (x) = ex x2,x>1,，ex>e,工<1, x，曠(x)>0 , 6 (x)在(1 , +8)上單調遞增，即t ' (x)在(1 , +8)上單調遞增， t ' (x)>t ' (1) = 1 + e 2a,、r,1 + e rr ,當 aw2且 awi 時，t ( x) >0,t (x) = In x + ex2ax+2ae 在(1 , 十°°)上單調遞增， .t(x)>t(1) =0 成立，. t ' (1) = 1 + e 2a<0,t' (I

12、n 2 a) = + 2a-2a>0, ''In 2 a 存在 xo (1 , In 2 a),滿足 t ' (xo) = 0. t ' (x)在(1 , +8)上單調遞增， 當 xC (1 , x。)時，t ' (x)<0 , t(x)單調遞減,t (x0)<t (1) =0, t (x)>0 不恒成立.,， .一一1+e，實數a的取值范圍為(一國，1) u 1, 一2一 .4. (2018 福建省百校模擬)已知函數f (x) =x-1 + aex.(1)討論f (x)的單調性；(2)設x1, x2是f (x)的兩個零點，證明：

13、x1 + x2>4.(1)解 f ' (x)= 1 + aex,當a>0時，f ' (x)>0 ,則f(x)在R上單調遞增.1當 a<0 時，令 f (x)>0 ,得 x<ln - , a一，1則f (x)的單倜遞增區間為 一汽in -, a1令 f (x)<0 ,得 x>ln , a則f (x)的單調遞減區間為 In - , +8 . a、一一 r ，一，r 1 x(2)證明 由 £(*)=0得2 =, e、一 1 - x 一 , x 2設 g(x)=,貝U g ( x)=. ee由 g' (x)<0 ,

14、得 x<2；由 g' (x)>0,得 x>2.1 c故 g( x) min = g(2) = <0. e當 x>1 時，g(x)<0,當 x<1 時，g(x)>0 ,不妨設x1<x2,則 x/ (1,2) , x2C (2 , +8),x1+x2>4 等價于 x2>4 x1,.-4x1>2且g(x)在(2, +8)上單調遞增，要證 x1 + x2>4,只需證 g(x2)>g(4 -x1),-g(x1) =g(x2) =a,，只需證 g(x1)>g(4 -x1),即 二土、3， e e即證 e2x1

15、 4(x1 3) + x1 1<0;設 h( x) = e2x 4(x3) + x 1, x (1,2),貝U h' (x) =e2x 4(2x-5) + 1,令 m x) = h' ( x),則 m' (x) = 4e2x 4(x- 2),x C (1,2) ,m' (x)<0 , .m(x)在(1,2)上單調遞減，即h' (x)在(1,2)上單調遞減， h' (x)>h' (2) = 0, .h(x)在(1,2)上單調遞增，h(x)<h(2) = 0,. e2x1 4(xi-3)+xi- 1<0, 從而

16、xi + X2>4得證.5. (2018 長沙模擬)設函數 f(x) =xln( x+l + x2).(1)探究函數f(x)的單調性；(2)當x>0時，恒有f(x)wax3,試求a的取值范圍；(3)令an=116n+ln 12n+、/1+ 14n (nCN*),試證明：ai+a2+an<1.9 22.23解函數f(x)的定義域為R一，.1 一由 f ( x) = 1 -2 R 0,知f (x)是R上的增函數.3(2)解令 g(x) = f (x) ax=x ln( x+ =1 + x2) ax3,，/、，1 + x2 1 3ax2 1 貝 U g ( x) = X7=,41+

17、x令 h(x) = R1 + x2(1 3ax2) 1,3h，/ 1 6a x- 9ax貝U h (x)=,1 + xx 1 - 6a 9ax2.：1 + x2.1 一 ，(i )當 a>6時，h (x) <0,從而%*)是0, +8)上的減函數,注意到 h(0) =0,則 x>0 時，h(x) <0,所以g' (x)W0,進而g(x)是0, +°°)上的減函數, 注意到 g(0) =0,則 x>0 時，g(x) <0, 即 f (x) < ax3.(ii)當 0<a<6時，在 0, 、1 上，總有h'

18、(x)>0,從而知，1 - 6a3當 xC 0,9a 時,f(x)>ax；(iii)當 a<0 時，h' (x)>0,同理可知 f(x)>ax3,1綜上，a的取值范圍是1 +81證明在(2)中，取a=d，9則 x C 0, 3/I. 時，xln( x +41 + x?)> 9x3,2n,即;x3 + ln( x+ 4 +x ,、 0<a<2或無解，所以a的取值范圍為0, 2 ,)<x,取 x= 2 94an=9 2 6n + ln9 22n+1 4n1 + 2則 ai + a2+ +1144an<11-4n1 _<3.6

19、.已知函數 f(x)=ln x- ax+-( a xbCR),且對任意 x>0,都有 f(x)+f - =0. x(1)用含a的表達式表不 b;2a(2)右f(x)存在兩個極值點 x1, x2,且x«x2,求出a的取值范圍，并證明 f >0;(3)在(2)的條件下，判斷y=f(x)零點的個數，并說明理由.解(1)根據題意，令x=1,可得 f(1) +f(1) = 0,所以 f(1) = a+b=0,經驗證，可得當 a=b時,對任意x>0,都有f(x)+f J =0,所以b= a. x(2)由(1)可知，f (x) = lnax ax+ 一，且 x>0,xax2

20、+x a令 g(x) =- ax2 + x-a,要使f(x)存在兩個極值點xb x2,則y=g(x)有兩個不相等的正實數根,所以a>0, 1 一 = 1 4a2>0, g 0 = - a<0a<0,1或 2a>0,A = 1 -4a2>0, g 0 = - a>0,解得a2 1 可得0<K<3. 2 8由題意知，fa2 a3 2122a2=21n ada令 h( x) = 21nx+ 7- - In 2 , x 22一 423x- 3x +4x-42x2所以-1 ,h(x)在0, 2上單倜遞減,所以1 h( x)> h 2=-21n 263+ 4 16 1n 2>