1、第3講 簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞萄理 趨勢考向預測I一了就足轎狀結M ”或=且” Ml "的區.L墳就全稱一皿和G在“I同的意義.工扉正*常有華址詞的命題進訴否定逆帆耶維麗ftl !Vf十堆詞韻禽SS的否定亟高苓的益點； 曲密的十股射斯常點語函,書可K為我沐.營占學I:時報 理判斷他ZL四型為逸擇鹿利城空凰.抵者虛度.楂心本美理網封存實通第知識11一、知識梳理1 .簡單的邏輯聯結詞(1)常用的簡單的邏輯聯結詞有“變” “旦” “韭”(2)命題pA q、pVq、p的真假判斷pqpAqpVqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全稱命題和特稱命題(1)全稱量詞和存在量

2、詞量詞名稱常見量詞付萬表/、全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等?存在量詞存在一個、至少有一個、有些、某些等?(2)全稱命題和特稱命題'、 名稱 形式、,、,、全稱命題特稱命題結構對M中任意一個x,有p(x)成立存在M中的一個xo,使p(x0)成立簡記? x e M p( x)? xoC M p(xo)否定? xoC Mp(xo)? x e Mp( x)常用結論2 .含邏輯聯結詞命題真假的判斷3 1) pAq中一假則假，全真才真.4 2) pVq中一真則真，全假才假.p與p真假性相反.2.全稱命題與特稱命題的否定(1)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結合命題的含義加上

3、量詞，再對量詞進行改寫.(2)否定結論：對原命題的結論進行否定.二、習題改編1 .(選彳1- 1P26A組T3改編)命題“？xCR, x2+x>0”的否定是()A. ? X0CR,x2+X0<0B.?X0CR,x0+X0<0C. ? xC R,x2+xW 0D.?xC R,x2+x<0解析：選B.由全稱命題的否定是特稱命題知命題B正確.故選B.2 .(選彳1-1P18A組T1(3)改編)已知命題p： 2是偶數，命題q： 2是質數，則命題p, q, pVq, pA q中真命題的個數是()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：選B. p和q顯然都是真命題，所以 p,q都是假

4、命題，pVq, pAq都是真命 題.故選B.走出誤區一、思考辨析判斷正誤(正確的打，錯誤的打"X” )(1)命題p A q為假命題，則命題 p、q都是假命題.()(2)命題p和p不可能都是真命題.()(3)若命題p、q至少有一個是真命題，則 pVq是真命題.()(4)寫特稱命題的否定時，存在量詞變為全稱量詞.()(5) ? x。C M p(x。)與？ x C Mp( x)的真假性相反.()答案：(1) X (2) , (3) , (4) , (5),二、易錯糾偏常見誤區(1)全稱命題或特稱命題的否定出錯；(2)復合命題的否定中出現邏輯聯結詞錯誤.1 .命題“全等三角形的面積一定都相等

5、”的否定是 答案：存在兩個全等三角形的面積不相等2 .已知命題 “若ab=0,則a=0或b=0",則其否命題為 .解析："a=0或b=0”的否定為“aw0且bw0” .答案：若abw0,貝U aw0且bw0全稱命題、特稱命題(多維探究)角度一全稱命題、特稱命題的真假例耳若定義域為R的函數f(x)不是偶函數，則下列命題中一定為真命題的是 ()A. ? xC R, f(x) wf(x)B. ? xC R, f (-x) = - f(x)C. ? xo R, f ( -xo) f (xo)D. ?xoCR, f ( xo) = f (xo)【解析】由題意知？ xC R, f (

6、x) =f (x)是假命題，則其否定為真命題，即 ？ xoC R,f ( xo) w f ( xo)是真命題，? xo C R f ( xo) = f ( xo)是假命題.【答案】C全稱命題與特稱命題的真假判斷方法(1)要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判斷全稱命題是假命題，只要能找出集合M中的一個x = xo,使得p(xo)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”).(2)要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個 x=xo,使P(xo)成立即可，否則，這一特稱命題就是假命題.角度二 全稱命題、特稱命題的否定例區已知命題p

7、： ? m R, f(x) = 2xmx是增函數，則p為()A. ? mi R, f (x) = 2xmx是減函數B. ?R, f (x) = 2xmx是減函數C. ? m R, f(x) = 2xmx不是增函數D. ?R, f(x) = 2xmx不是增函數【解析】由特稱命題的否定可得 P為“？ mC R, f (x) = 2xmx不是增函數”.【答案】D全稱命題與特稱命題的否定確定原命題所含量詞的類型，省去量詞的要先結合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫，改寫完以后再對原命題的結論進行否定.角度三 與全(特)稱命題有關的參數問題例亙(2。2。寧夏石嘴山期中)若命題“？ t e R, t22

8、t a<o"是假命題，則實數 a 的取值范圍是.【解析】因為命題“？ t e R, t22t a<o”為假命題，所以命題 “？ t e R, t22t一a>0 為真命題)所以 A =( -2) 4X 1x( 一a)= 4a+4W0, 即 aw - 1.【答案】(一8, - 1將命題的真假轉化為不等式恒成立或不等式有解、方程有解或無解、函數最值等問題, 從而根據函數性質、不等式等內容解決.1. (2020 甘肅靜寧一中三模)下列命題正確的是()2A. ? xo C R, Xo+2xo+3=0B. x>1是x2>1的充分不必要條件32C. ? x C N,

9、x >xD. 若 a>b,則 a2>b2解析：選 B.對于 x2+2x+3=0, = 8<0,故方程無實根，即? xoCR, x0+2xo+3=0錯誤，即A錯誤；x2>1 ? x<- 1或x>1,故x>1是x2>1的充分不必要條件，故 B正確;當xW1時，x3wx2,故？ xCN, x3>x2錯誤，即C錯誤；若 a=1, b=1,則 a>b, (1 a2 = b2,故 D錯誤.故選 B.,-兀2.(2。2。河南商丘模擬)已知 f(x)=sin x x,命題 p：?xC o, ,“*)<。，則()一 一一兀一A. p 是假命

10、題，p：?xC 0,-2,f(x) >0一一 一一兀一B. p 是假命題，p：?xC 0,f (x) >0.一，.一一 一一兀一C. p是真命題，p： ? xC 0,萬，f(x) >0入兀D. p 是真命題， p: ?xC 0, , f(x) >0兀解析：選C.易知f ' (x) = cos x- 1<0,所以f (x)在0,上是減函數，因為f (0) = 0,_ 一 一一 兀 一一，.一一 一一 兀 一所以 f (x)<0,所以命題p： ? x 0, , f(x)<0是真命題，p： ? xC 0, , f (x) > 0,故選C.考點含

11、有邏輯聯結詞的命題的真假判斷(師生共研)例2 (2020 河北衡水中學 3月大聯考)已知命題 p： ? xC R, | x+1|> x；命題q： “me 1"是“函數f(x) = x2(m 1)xm2在區間(1 , + 00)內單調遞增”的充分不必要條件，則下列命題中是真命題的為 ()A. pAqB. （p） AqC. （p） V qD. p A （q）【解析】 因為| x+ 1|>x,對x C R成立，故p為真命題；因為函數f（x） = x2（m+1） x-m2在區間（1, +8）內單調遞增，所以< 1,即me 1,故應為充要條件，故 q為假命題，所以pAq, （

12、p）Aq, （1p）Vq均為假命題，pA（1q）為真命題，故選 D.【答案】D（1） “pVq” “pAq” “p”等形式命題真假的判斷步驟確定命題的構成形式；判斷其中命題p, q的真假；確定“pVq” “pAq” “p”等形式命題的真假.（2）含邏輯聯結詞命題真假的等價關系pVq真？ p, q至少一個真？（p） A （q）假；pVq 假？ p, q 均假？（p）A（q）真；pAq 真？ p, q 均真？（p） V （q）假；pA q假？ p, q至少一個假？（p） V （q）真；p真？ p假；p假？ p真.1. （2020 寧夏石嘴山三中一模 ）已知命題p: ？ xCR, sin x>

13、1,命題q: ？ xC（0, 1）, In x<0,則下列命題中為真命題的是 （）A. pAqB. pA（q）C. p V （q）D. （p） A q解析：選D.因為一1Wsin x< 1,故命題p是假命題，易知命題 q是真命題，故 pAq 為假，pA（1q）為假，pV（1q）為假，（p）Aq為真，故選D.2.已知命題 p：“若 x2x>0,則 x>1”;命題 q：“若 x,yCR, x2 + y2= 0,則 xy= 0".下 列命題是真命題的是（）A. p V （q）B. p V qC. pAqD. （p） A （q）解析：選B.若x2x>0,則x&g

14、t;1或x<0,故p是假命題；若 x, yCR, x2+y2=0,則x =0, y=0, xy=0,故q是真命題.則 pVq是真命題，故選 B.考點El由命題的真假確定參數的取值范圍（典例遷移）例已知p：存在xoCR, mx+1W0, q：任意x R, x2+mx+ 1>0,若p或q為假命 題，求實數m的取值范圍.【解】依題意知p, q均為假命題，當p是假命題時，mX+1>0恒成立，則有 0;當q是真命題時，則有 = m24<0,即一2<nT2.因此由p, q均為假命題得°,me 2 或 m> 2,即 m> 2.所以實數m的取值范圍為2 ,

15、+ 8）.【遷移探究1】（變結論）本例條件不變，若 p且q為真，則實數 m的取值范圍 為.解析：依題意知p, q均為真命題，當p是真命題時，有 m<0;當q是真命題時，有一 2加2,m<0，一 一 一由可得2<m<0.2<n<2,答案：（2, 0）【遷移探究2】（變結論）本例條件不變，若 p且q為假，p或q為真，則實數 m的取 值范圍為.解析：若p且q為假，p或q為真，則p, q一真一假.,一,m<0, .當p真q假時所以me2；2 或 mC2,，m> 0,，當p假q真時所以0w m<2.-2<n<2,所以實數m的取值范圍是（一

16、8, -2 U 0 , 2）.答案：（一- 2 U 0 , 2）【遷移探究3】（變條件）本例中的條件q變為：存在xoCR, x0+mx+1<0,其他不變, 則實數m的取值范圍為 .解析：依題意，當q是真命題時，A = n24>0,所以m>2或 訴2.由題意知，p, q均為假命題，m> 0,所以得 0w me 2,2w me 2,所以實數m的取值范圍是0 , 2.答案:0 , 2律方法根據命題真假求參數的步驟（1）先根據題目條件，推出每一個命題的真假（有時不一定只有一種情況）.（2）然后再求出每個命題是真命題時參數的取值范圍.（3）最后根據每個命題的真假情況，求出參數的取

17、值范圍.注意要注意分類討論思想的應用，如本例的遷移探究（2）,由于p和q一真一假,因此需分p真q假與p假q真兩種情況討論求解.（2020 河南師范大學附屬中學開學考)已知命題 p： “？ xC 0 , 1, a>ex命題q： “？ xCR, x2+4x+a=0"，若命題“pAq”是真命題，則實數 a的取值范圍是（）A. (4, + oo)B. 1 , 4D. e, 4C. ( -oo, 1解析：選D.命題p等價于In a>x對x 0 , 1恒成立，所以ln a> 1,解得a>e；命 2題q等價于關于x的萬程x+4x+a=0有實根，則 A = 16 4a>

18、0,所以aW4.因為命題 “pAq”是真命題，所以命題 p真，命題q真，所以實數a的取值范圍是e , 4,故選D.演練，份口突破基礎題組練1.已知命題p： ? xo>1 , x21>0,那么p是（）A. ? x>1, x21>0B. ? x>1, x2-1<02C. ? xo>1, xo - 1< 0D. ? xo<1, x0- 1<0解析：選B.特稱命題的否定為全稱命題，所以l p： ? x>1 , x2- K 0.2. 已知命題p：實數的平方是非負數，則下列結論正確的是（）A.命題p是假命題B.命題p是特稱命題C.命題p是全

19、稱命題D.命題p既不是全稱命題也不是特稱命題解析：選C.本題考查命題真假的判斷以及全稱命題、特稱命題的判斷.命題p：實數的平方是非負數，是真命題，命題 p是全稱命題，故選 C.3. （2020 吉林第三次調研測試）已知命題p, q,則"p為假命題”是"pVq為真命 題”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選A.若p為假命題，則p為真命題，則pVq為真命題；若pVq為真命題，則 p, q中至少有一個為真命題，但 p不一定為真命題，故無法判定 p為假命題.即“p為 假命題”是“pVq為真命題”的充分不必要條件.故選 A.4. （2

20、020 遼寧五校協作體聯考）已知命題“？ xC R, 4x2+（a 2）x + ；W0”是假命題,則實數a的取值范圍為()A. (8,0)B. 0,4C. 4 , + 8)D. (0 , 4)21解析：選D.因為命題“？xCR, 4x +(a2)x + %W0”是假命題，所以其否定“？xCR,4x2 + (a2)x+4>0” 是真命題，則 A = (a-2)2-4X4x-1= a2-4a<0,解得 0<a<4,故選 D.5 .命題p的否定是 “對所有正數 x,，x>x+1”，則命題p可寫為. 解析：因為p是p的否定，所以只需將全稱量詞變為特稱量詞，再對結論否定即可

21、.答案：？ xoC (0 , + 8), yxo<xo+ 16 .已知命題 p: x2+4x+3>0, q: xCZ,且“pAq"與"q"同時為假命題，則 x =.解析：若p為真，則x> 1或xw 3,因為“q”為假，則q為真，即xCZ,又因為“pAq”為假，所以p為假，故3Vx<1,得 x = 2.答案：21 2m27 .已知命題 p： f(x)=在區間(0 , + 8)上是減函數；命題 q：不等式 x - 2x>m x-1的解集為R若命題“pVq”為真，則實數m的取值范圍是 ;若“pAq”為假，則 實數m的取值范圍是. .1 2m

22、. . 一 1解析：對于命題p,由f(x)=在區間(0 ,+8)上是減函數 得1 2m>0,解得m七； x2對于命題q,不等式x2-2x>m- 1的解集為R等價于不等式(x 1)2>m的解集為R,因為(x 1)2>0恒成立，所以nr0.若pVq為真，則p, q中有一個為真，所以 m2;若pAq為假， 一，1 4 ，則p, q至少有一個為假.若 p為假，則m>2;若q為假，則m>0,所以0.、1答案：一0°,2 0, + °°).8.設命題p：函數y= log a(x+ 1)在區間(一1, + 00)內單調遞減，q：曲線y=x2+

23、 (2 a 3) x+ 1與x軸有兩個不同的交點.若 pA (q)為真命題，求實數 a的取值范圍.解：函數y= log a(x+ 1)在區間(一1, + 8)內單調遞減？ 0<a<1,曲線y=x2+ (2a-3)x+1與x軸有兩個不同的交點 ？ = (2a3)24>0? a<2或a>5 2.所以若p為真命題，則0<a<l； 1.5右q為真命題，則a<2或a>.因為pA （q）為真命題，所以p為真命題，q為假命題.0<a<1由15,解得-< a<1,a=c 22 a 2 1所以實數a的取值范圍是 2, 1 .綜合題組練

24、221 .已知命題p：? xCR,x+1<2x;命題q：右mxm桿1>0恒成立，則0<n<4,那么（）A. “p”是假命題B. q是真命題C. “pV q”為假命題D. “pAq”為真命題解析：選C.因為x2+1<2x,即x22x+1<0,也即（x1）2<0,所以命題p為假；若 mi八n>0, 一-mx+ 1>0恒成立，則 m= 0或2則0wn<4,所以命題q為假，故選 C. = m 4m：0,2 . （2020 湖北八校聯考）下列說法正確的是（）A. “若a+b>4,則a, b中至少有一個不小于 2”的逆命題是真命題B.命題"設a, bC R,若a+ bw 6,則aw 3或bw 3"是一個真命題22C. ? xoC R, xo-xo<0 的否定是 ? xC R, x x>0D. "a+ 1>b”是“a>