1、2020-2021備戰中考數學圓的綜合綜合題及答案解析一、圓的綜合1 .如圖，四邊形 OABC是平行四邊形，以 。為圓心，OA為半徑的圓交 AB于D,延長AO 交。于E,連接CD, CE,若CE是。的切線，解答下列問題：(1)求證：CD是。的切線；OABC的面積.試題分析：(1)連接OD,求出/EOCN DOC,根據SAS推出EOeDOC,推出/ODC=/ OEC=90,。根據切線的判定推出即可；(2)根據切線長定理求出 CE=CD=4根據平行四邊形性質求出OA=OD=4,根據平行四邊形的面積公式二24 COD的面積即可求解.試題解析：(1)證明：連接OD,-.OD=OA, / ODA=/ A

2、, .四邊形OABC是平行四邊形， .OC/ AB, / EOC=Z A, / COD=/ ODA, / EOC二Z DOC,在EOC和ADOC中，OE ODEOC DOCOC OC.,.EOCADOC (SAS , / ODC=/ OEC=90 ；即 OD, DC, .CD是。O的切線；(2)由(1)知CD是圓O的切線, .CDO為直角三角形， .Sa cdcf CD?OD2，又 oafbcfOd=4Sacdo= X 6X 4=,122，平行四邊形OABC的面積S=2S cdo=24.2.如圖，AB為。O的直徑，點 E在。O上，過點E的切線與 AB的延長線交于點 D,連接BE,過點O作BE的

3、平行線，交OO于點F,交切線于點 C,連接AC(1)求證：AC是。的切線；(2)連接EF,當/D= 。時，四邊形FOBE是菱形.【答案】(1)見解析；(2) 30.【解析】【分析】(1)由等角的轉換證明出OCA二OCE ,根據圓的位置關系證得 AC是。的切線.(2)根據四邊形 FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得證 OBE為等邊三角形，而得出BOE 60 ,根據三角形內角和即可求出答案.【詳解】(1)證明：.CD與。相切于點E,OE CD ,CEO 90 ,又.OC PBE ,COEOEB, /OBE=/ COA.OE=OB,OEBCOE又 OC=OCCOA,OA=OEOCA0CAO

4、OCE(SAS ,CEO 90 ,又 AB為。O的直徑，.AC為。O的切線；(2)解：二四邊形FOBE是菱形，OF=OB=BF=EF，OE=OB=BEOBE為等邊三角形，BOE 60 ,而OE CD,D 30 .故答案為30.【點睛】本題主要考查與圓有關的位置關系和圓中的計算問題，熟練掌握圓的性質是本題的解題關Ir3.如圖，點P是正方形ABCD內的一點，連接 PA, PB, PC.將 PAB繞點B順時針旋轉90到PCB的位置.(1)設AB的長為a, PB的長為b(ba),求 PAB旋轉到 PCB的過程中邊 PA所掃過區域(圖 中陰影部分)的面積；(2)若 PA=2, PB=4, /APB=13

5、5,求 PC 的長.【答案】(1) S陰影=4(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】試題分析：(1)依題意，將 CB時針旋轉90。可與4PAB重合，此時陰影部分面積 二扇 形BAC的面積-扇形BPP的面積，根據旋轉的性質可知，兩個扇形的中心角都是90。，可據此求出陰影部分的面積.(2)連接PP；根據旋轉的性質可知： BP=BP；旋轉角ZPBP=90,則4PBP是等腰直角三 角形，/BPC=/ BPA=135, /PPC=/ BPC-Z BPP=135-45 =90,可推出PPC是直角三角 形，進而可根據勾股定理求出 PC的長.試題解析：(1)二,將4PAB繞點B順時針旋轉90到AP C的位置

6、，.PABAPCB,Sapae=Sapcb,HS 陰影=s 扇形 bac-S 扇形 bpp =4 ( a2-b2);(2)連接PP,根據旋轉的性質可知：APBCP 6，BP=BP ,=P C=PA=2 PBP =90 PBP是等腰直角三角形，pp2=pB2+pB2=32 ；又 Z BP C= BPA=135,，/PP CBP-aBP P=1355= 90 ；即 APP是直角三角形._ 胃下？ . p7-PC力 1 +L =6.考點：1.扇形面積的計算；2.正方形的性質；3.旋轉的性質.4.四邊形ABCD的對角線交于點 E,且AE= EC BE= ED,以AD為直徑的半圓過點 E,圓 心為O.（

7、1）如圖，求證：四邊形 ABCD為菱形；（2）如圖，若BC的延長線與半圓相切于點 F,且直徑AD = 6,求弧AE的長._一 ”.兀【答案】（1）見解析；（2） 一2【解析】試題分析：（1）先判斷出四邊形 ABCD是平行四邊形，再判斷出 AC BD即可得出結論； （2）先判斷出 AD=DC且DE，AC, / ADE=/ CDE進而得出 Z CDA=30,最后用弧長公式 即可得出結論.試題解析：證明：（1）二.四邊形ABCD的對角線交于點 E,且AE=EC, BE=ED, .四邊形ABCD是平行四邊形.二,以AD為直徑的半圓過點 E,/ AED=90,即有AC BD,二.四邊 形ABCD是菱形；

8、（2）由（1）知，四邊形 ABCD是菱形， 4ADC為等腰三角形，AD=DC且DEL AC, /ADE=/CDE如圖2,過點C作CG,AD,垂足為G,連接FO. 丁 BF切圓。于點F,1 .OFXAD,且 OF -AD 3 ,易知，四邊形 CGOF為矩形，CG=OF=3.2CG 1在 RtCDG中，CD=AD=6, sin/ADC=-,. . / CDA=30 ,，/ADE=15 .CD 2.一o303180連接 OE,貝U / AOE=2X/ ADE=30, . Ae303.點睛：本題主要考查菱形的判定即矩形的判定與性質、切線的性質，熟練掌握其判定與性質并結合題意加以靈活運用是解題的關鍵.5

9、.如圖，已知四邊形 ABCD是矩形，點 P在BC邊的延長線上，且 PD=BC OA經過點B, 與AD邊交于點E,連接CE .（1）求證：直線PD是。A的切線；2（2）若PC=2j5, sin/P=|,求圖中陰影部份的面積（結果保留無理數）.【答案】（1）見解析；（2） 20-4兀.【解析】分析：（1）過點A作AHLPD,垂足為H,只要證明AH為半徑即可.（2）分別算出RtCED的面積，扇形 ABE的面積，矩形 ABCD的面積即可詳解：（1）證明：如圖，過 A作AHLPD,垂足為H,XBC P 四邊形ABCD是矩形，.AD=BC, AD/ BC, / PCD=Z BCD=90 ,，/ADH=/

10、P, /AHD=/ PCD=90 ,又 PD=BC .-.AD=PD, .ADHADPC,AH=CD,.CD=AB,且AB是。A的半徑， .AH=AB,即AH是。A的半徑， .PD是。A的切線.CD 2(2)如圖，在 RtPDC中，-. sinZ P= 一，PC=2/5 ,PD 3令 CD=2x, PD=3x,由由勾股定理得：(3x) 2-(2x)2=(2 J5 )2,解得：x=2,，CD=4, PD=6, .AB=AE=CD=4 AD=BC=PD=6 DE=2,，, 1矩形ABCD的面積為6X 4=24RtCED的面積為一X4X2=4212扇形ABE的面積為兀X =4 Tt,圖中陰影部份的面

11、積為24-4-4兀=24兀.點睛：本題考查了全等三角形的判定，圓的切線證明，三角形的面積，扇形的面積，矩形 的面積.6.如圖，AB是。的直徑，點 C, D是半圓O的三等分點，過點 C作。的切線交 AD的 延長線于點E,過點D作DU AB于點F,交。于點H,連接DC, AC.(1)求證：/AEC=90;(2)試判斷以點 A, O, C, D為頂點的四邊形的形狀，并說明理由;(3)若DC=2,求DH的長.【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形AOCD為菱形;(3) DH=27.【解析】11試題分析：(1)連接OC,根據EC與。切點C,則/OCE=90,由題意得/DAC=/ CAB,即可證明 AE/

12、OC,貝U / AEC+/ OCE=180,從而得出Z AEC=90貝U / DCA=Z CAB可證明四邊形AOCD 是(2)四邊形AOCD為菱形.由(平行四邊形，再由 OA=OC即可證明平行四邊形 AOCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊 形是菱形)；(3)連接OD.根據四邊形 AOCD為菱形，得4OAD是等邊三角形，則 / AOD=60,再由 DFDHLAB于點F, AB為直徑，在 RtOFD中，根據sin/AOD，”,求得DH的長.試題解析：(1)連接OC,.EC與。O切點C,OCX EC,/ OCE=90,點CD是半圓O的三等分點，fyl fyl M,和=砒=現Z DAC=Z CAB,

13、.OA=OC,Z CAB=Z OCA,Z DAC=Z OCA, AE/ OC (內錯角相等，兩直線平行) / AEC叱 OCE=180,/ AEC=90;(2)四邊形AOCD為菱形.理由是：RJ Z DCA=Z CAB,.CD/ OA,又 AE/ OC,四邊形AOCD是平行四邊形，.OA=OC,，平行四邊形AOCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)； (3)連接OD.四邊形AOCD為菱形, .OA=AD=DC=2 .OA=OD,，OA=OD=AD=2,.OAD是等邊三角形，/ AOD=60 ；DHL AB于點F, AB為直徑，DH=2DF,DF在 RtOFD中，sin/AOD, DF=O

14、DsinZ AOD=2sin60 =F, . DH=2DF=2V3考點：1.切線的性質2.等邊三角形的判定與性質3.菱形的判定與性質 4.解直角三角形.7.如圖1,在RtABC中，AC=8cm, BC=6cm, D、E分別為邊 AB、BC的中點，連結 DE, 點P從點A出發，沿折線 AD-DE運動，到點E停止，點P在AD上以5cm/s的速度運 動，在DE上以1cm/s的速度運動，過點 P作PQLAC于點Q,以PQ為邊作正方形 PQMN.設點P的運動時間為t (s).BB(1)當點P在線段DE上運動時，線段 DP的長為 cm.(用含t的代數式表示)(2)當正方形PQMN與 ABC重疊部分圖形為五

15、邊形時，設五邊形的面積為S (cm2),求S與t的函數關系式，并寫出 t的取值范圍.(3)如圖2,若點O在線段BC上，且CO=1,以點。為圓心，1cm長為半徑作圓，當點 P 開始運動時，。的半徑以0.2cm/s的速度開始不斷增大，當 。與正方形PQMN的邊所 在直線相切時，求此時的 t值.3 .10【答案】(1) tT; ( 2) S=- - t2+3t+3 (1 vttT, t0, .t- 10, 解得：t1, - 1 t4,DN AC 8 4 ADFNIAABC,=一FN BC 6 3. DN=PN-PD,DN=3- (tT) =4-t,4 t 4 3(4 t)=,FN=-,.FM=3-3

16、(4 t) _3t4- 4S=S 梯形 FMHD+S 矩形 DHQP,，S=1 X(更+3) X (4-t) +3 (t - 1) =- 3 t2+3t+3 ( 1vt4).248(3)當圓與邊PQ相切時，如圖：當圓與PQ相切時，r=PE,由(1)可知，PD= (t- 1) cm,PE=DE- DP=4 - (t-1) =(5-t) cm.r以0.2cm/s的速度不斷增大，. . r=1+0.2t,-1+0.2t=5-t,解得：t=10s.3 當圓與 MN相切時，r=CM.由(1)可知，DP= (t1) cm,貝U PE=CQ= (5t) cm, MQ=3cm, .MC=MQ+CQ=5- t+

17、3= (8-t) cm,-1+0.2t=8-t,解得：t = 35s.6 P到E點停止,-t- 1/2AP72也DF72G2府2五4Vic4V2 .【點睛】本題考查圓以及正方形的性質，運用圓的對稱性和正方形的對稱性是解答本題的關鍵.12.在直角坐標系中，。為坐標原點，點 A坐標為(2, 0),以OA為邊在第一象限內作 等邊AOAB, C為x軸正半軸上的一個動點(OC2),連接BC,以BC為邊在第一象限內 作等邊 BCD),直線DA交y軸于E點.(1)求證：OB8 4ABD(2)隨著C點的變化，直線 AE的位置變化嗎？若變化，請說明理由；若不變,請求出直 線AE的解析式.(3)以線段BC為直徑作

18、圓，圓心為點 F,當C點運動到何處時，直線 EF/直線BO;這時 O F和直線BO的位置關系如何？請給予說明.【答案】(1)見解析；(2)直線AE的位置不變，AE的解析式為：y V3x 2百;(3) C點運動到(4,0)處時，直線EF/直線BO；此時直線BO與。F相切，理由見解析. 【解析】【分析】(1)由等邊三角形的性質可得到OB=AB, BC=BD, / OBA=/ DBC,等號兩邊都加上/ABC,得到/OBC=/ ABD,根據“SAS到 OBX ABD. (2)先由三角形全等，得到 /BAD=/ BOC=60,由等邊 ABCD,得至U / BAO=60 ,根據平角定義及對頂角相等得到 /

19、OAE=60 ；在直角三角形 OAE中，由OA的長，根據tan60的定義求出 OE的長，確定出 點E的坐標，設出直線 AE的方程，把點 A和E的坐標代入即可確定出解析式.(3)由EA/ OB, EF/ OB,根據過直線外一點作已知直線的平行線有且只有一條，得到EF與EA重合，所以F為BC與AE的交點，又F為BC的中點，得到 A為OC中點，由A的坐標即可 求出C的坐標；相切理由是由 F為等邊三角形 BC邊的中點，根據 主線合一 ”得到DF與BC 垂直，由EF與OB平行得到BF與OB垂直，得證.【詳解】(1)證明：4OAB和4BCD都為等邊三角形，OB=AB, BC=BD /OBA=/ DBC=6

20、0 / OBA+/ ABC=/ DBC+Z ABC,即 / OBC=Z ABD,在OBC和ABD中，OB ABOBC ABD ,BC BD.,.OBCAABD.(2)隨著C點的變化，直線 AE的位置不變，-/OBCAABD,/ BAD=Z BOC=60 ；又 / BAO=60 ,/ DAC=60 ；/ OAE=60 ；又 OA=2,在 RtAOE 中，tan60 =OE, OA則OE=2而，點 E坐標為(0, -2 J3),設直線AE解析式為y=kx+b,把E和A的坐標代入得:0 2kb273 b 解得, 直線AE的解析式為：y & 2/3.(3) C點運動到(4,0)處時，直線EF/直線BO

21、；此時直線BO與。F相切，理由如下: / BOA=Z DAC=60 , EA/ OB,又 EF/ OB,則EF與EA所在的直線重合， 點F為DE與BC的交點，又F為BC中點， .A 為 OC 中點，又 AO=2,貝U OC=4, 當C的坐標為(4, 0)時，EF/ OB,這時直線BO與。F相切，理由如下：.BCD為等邊三角形，F為BC中點，.-.DF BC,又 EF/ OB, FBI OB, 直線BO與。F相切，【點睛】本題考查了一次函數；三角形全等的判定與性質；等邊三角形的性質和直線與圓的位置關 系.熟練掌握相關性質定理是解題關鍵 .13.如圖，在4ABC中，AB= AC,以AC為直徑作。交

22、BC于點D,過點D作FEAB于 點E,交AC的延長線于點F.(1)求證：EF與。相切；.3(2)若 AE= 6, sin/CFD=,求 EB的長.52【解析】【分析】1如圖，欲證明EF與e O相切，只需證得 OD EF .r15,則易求AB AC 2r ,所以2通過解直角VAEF可以求得AF 10.設e O的半徑為r,由已知可得 FOgFAE,OF OD 口. 10 r 繼而得到,即AFAE10153EB AB AE 6 -.22【詳解】(1)如圖，連接OD,Q OC OD , OCD ODC.Q AB AC , ACBB ,ODCB ,OD/AB , ODF AEF , Q EF AB ,O

23、DF AEF 90o，OD EF,QOD是e O的半徑, EF與e O相切；2 由 1 知，OD/ /AB , OD EF.AE 3在 RtVAEF 中，sin CFD AE 3, AE 6, AF 5則 AF 10,Q OD/AB ,.FODAFAEOF OD，AF AE設e O的半徑為r,10 r r ,106.115解得，r ,4一15ABAC2r2，153EBABAE 6 -.22【點睛】本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質、解直角三角形的應用等，正確添加輔助線、靈活應用相關知識是解題的關鍵.14.已知 RtAABC, / BAC= 90 ,點 D 是 BC 中點，AD= AC

24、, BC= 46，過 A, D 兩點作OO,交AB于點E,(1)求弦AD的長；(2)如圖1,當圓心 O在AB上且點 M是。上一動點，連接 DM交AB于點N,求當ON 等于多少時，三點 D、E、M組成的三角形是等腰三角形？(3)如圖2,當圓心 O不在AB上且動圓。與DB相交于點 Q時，過 D作DHLAB (垂 足為H)并交。于點P,問：當。變動時DP- DQ的值變不變？若不變，請求出其值； 若變化，請說明理由.刻)i蚯【答案】(1) 2J3(2)當ON等于1或J3 - 1時，三點D、E M組成的三角形是等腰三角形(3)不變，理由見解析【解析】【分析】(1)根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

25、即可得到AD的長；(2)連DE、ME,易得當ED和EM為等腰三角形 EDM的兩腰，根據垂徑定理得推論得OE DM,易得到 4ADC為等邊三角形，得 /CAD=60,貝U / DAO=30 , / DON=6O ,然后根據含30的直角三角形三邊的關系得DN=,AD=J3, ON=DN=1;23當 MD=ME, DE 為底邊，作 DHAE,由于 AD=2 J3 , / DAE=30,得到 DH=J3 ,/ DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1,又/M=/DAE=30, MD=ME,得到 / MDE=75 ,貝U / ADM=90 -75 =15,可得到/DNO=45；根據等腰

26、直角三角形的性質得到NH=DH=J3,則ON=J3-1;(3)連AP、AQ, DPI AB,彳導AC/ DP,則/ PDB=/ C=6(J ,再根據圓周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,則/PAQ=60, / CAQ=/ PAD,易證得AQ84APD,得到 DP=CQ 貝U DP-DQ=CQ-DQ=CD 而 4ADC 為等邊三角形， CD=AD=2%/3 ,即可得到 DP-DQ 的 值.【詳解】解：(1)Z BAC= 90。，點 D 是 BC 中點，BC= 473 ,.AD= -BC= 273 ；2(2)連 DE、ME,如圖， DM DE, 當ED和EM為等腰三角形 EDM的兩

27、腰，OEXDM,又 AD= AC,.ADC為等邊三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 ;1-在 RtADN 中，DN= AD= 732 在 RtODN 中，ON=；Z1dN=13 ， 當ON等于1時，三點D、E M組成的三角形是等腰三角形；當MD=ME, DE為底邊，如圖3,作DHXAE,. AD=2 百，ZDAE= 30；.DH= 73, /DE60； DE=2, .ODE為等邊三角形，.OE=DE= 2, OH=1, . Z M = Z DAE= 30 ；而 MD=ME,/ MDE= 75 ,Z ADM =90 - 75 = 15 ,/ DNO= 45 ；

28、 NDH為等腰直角三角形，,-.nh=dh=石，ON=石-1 ;綜上所述，當ON等于1或J3 - 1時，三點D、E、M組成的三角形是等腰三角形;(3)當。O變動時DP-DQ的值不變，DP - DQ= 2近.理由如下：連AP、AQ,如圖2,. / C= / CAD= 60 ；而 DP, AB,.AC/ DP,/ PDB= Z C= 60 ,又 / PAQ= / PDB,/ PAQ= 60 ;Z CAQ= / PAD,1 . AC=AD, /AQC=/P,2 .AQCAAPD,.DP= CQ,.DP- DQ= CQ- DQ= CD= 2 百.【點睛】本題考查了垂徑定理和圓周角定理：平分弧的直徑垂直弧所對的弦；在同圓和等圓中，相 等的弧所對的圓周角相等.也考查了等腰三角形的性質以及含30。的直角三角形三邊的關系.15.如圖，八是大半圓u的直徑，是小半圓M的直徑，點。是大半圓o上一點，口力與小 半圓慳交于點q,過點c作亦 op于點斗（1）求證：。是小半圓m的切線；（2）若a/? = 8,點P在。上運動（點P不與4月兩點重合），設PD = x,CD2 = y. 求）與工之間的函數關系式，并寫出自變量 門的取值范圍；當y = ?時，求p*兩點之間的距離.A M OB【答案】（1）見解析；（2）y=- + 4