1、北京理工大學數學系北京理工大學數學系微積分A（下）授課教師：李?？撓捣绞剑篽enan_68912581北京理工大學數學系北京理工大學數學系注意： 謝絕拷貝課件，有需要上教學平臺下載 上課不遲到，不早退，不曠課（10分） 按時交作業（10分） 有事課前請假，三次以內不記曠課 建議課前預習，五分鐘走馬觀花 按照以前答疑安排，每周一下午北京理工大學數學系北京理工大學數學系第六章空間解析幾何與向量代數6.1 空間直角坐標系空間直角坐標系6.2 向量及其線性運算向量及其線性運算北京理工大學數學系北京理工大學數學系給出了幾何問題的統一笛卡兒笛卡兒(1596 1650)法國哲學家, 數學家, 物理學家,

2、解析幾何奠基人之一 .1637年他發表的幾何學論文分析了幾何學與 代數學的優缺點, 進而提出了 “ 另外 一種包含這兩門科學的優點而避免其缺點的方法”, 從而提出了解析幾何學的主要思想和方法, 恩格斯把它稱為數學中的轉折點.把幾何問題化成代數問題 ,作圖法,北京理工大學數學系北京理工大學數學系x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o空間直角坐標系空間直角坐標系三個坐標軸的正方向符合三個坐標軸的正方向符合右手系右手系.一、空間直角坐標系一、空間直角坐標系北京理工大學數學系北京理工大學數學系xyozxoy面面yoz面面zox面面一個中心、三個軸、一個中心、三個軸、三個面、三個面、 八個卦限八個卦

3、限北京理工大學數學系北京理工大學數學系空間的點空間的點有序數組有序數組),(zyx 11特殊點的表示特殊點的表示:)0 , 0 , 0(OM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標軸上的點坐標軸上的點,P,Q,R坐標面上的點坐標面上的點,A,B,C( , , )x y zxyz北京理工大學數學系北京理工大學數學系設設),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd,222212NMPNPMd 二、空間兩點間的距離二、空間兩點間的距離北京理工大學數學系北京

4、理工大學數學系,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為特殊地：若兩點分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M北京理工大學數學系北京理工大學數學系例例 1 1 求證以求證以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三點為頂點的三角形是一個等腰三角形三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12

5、()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原結論成立原結論成立.121323M MM MM M又北京理工大學數學系北京理工大學數學系解解設設P點坐標為點坐標為),0 , 0 ,(x因為因為P在在x軸上，軸上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求點為所求點為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 北京理工大學數學系北京理工大學數學系思考題思考題在空間直角坐標系中，指出下列各在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個卦限？點在哪個卦限？, )3 , 2, 1(

6、A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( DA:; B:; C:; D:;北京理工大學數學系北京理工大學數學系6.2 向量及其線性運算向量及其線性運算一、向量的概念一、向量的概念二、向量的加減法二、向量的加減法三、數與向量的乘法三、數與向量的乘法四、向量的投影四、向量的投影五、向量的坐標表示五、向量的坐標表示六、向量的方向角與方向余弦六、向量的方向角與方向余弦北京理工大學數學系北京理工大學數學系向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M為起點，為起點，2M為終點的有向線段為終點的有向線段.1M 2M a21MM

7、模長為模長為1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：或或或或或或一、向量的概念一、向量的概念北京理工大學數學系北京理工大學數學系自由向量：自由向量：不考慮起點位置不考慮起點位置, ,只考慮大小方向的向量只考慮大小方向的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負向量：負向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .記為：記為：a 向徑：向徑：aba a空間直角坐標系中任一點空間直角坐標系中任一點 與原點與

8、原點構成的向量構成的向量. . OMM平行向量：平行向量： 方向相同或相反的向量方向相同或相反的向量. .記為：記為：ab北京理工大學數學系北京理工大學數學系1 加法：加法：cba abc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分為同向和反向分為同向和反向bac|bac （有時也稱為三角形法則）（有時也稱為三角形法則）二、向量的加減法北京理工大學數學系北京理工大學數學系向量的加法符合下列運算規律：向量的加法符合下列運算規律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結合律：）結合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 減法減法)

9、( baba abb b cbabac )(ba ba ab北京理工大學數學系北京理工大學數學系設設 是是一一個個數數，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規規定定為為, 0)1( a 與與a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa aa2a21 三、數與向量的乘法三、數與向量的乘法北京理工大學數學系北京理工大學數學系數與向量的乘積符合下列運算規律：數與向量的乘積符合下列運算規律：（1 1）結合律：）結合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(0.ababa定理設向量，那么向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實數

10、 ，使兩個向量的平行關系兩個向量的平行關系北京理工大學數學系北京理工大學數學系同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設設aa0按照向量與數的乘積的規定，按照向量與數的乘積的規定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量一個與原向量同方向的單位向量.北京理工大學數學系北京理工大學數學系例例2 2 試用向量方法證明：對角線互相平分的試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形四邊形必是平行四邊形.證證AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC ADBC 結論得證

11、結論得證.ABCDMab北京理工大學數學系北京理工大學數學系空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 類似地，可定義類似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規定特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 四、向量的投影北京理工大學數學系北京理工大學數學系空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影u AA 北京理工大學數學系北京理工大學數學系空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸

12、上的投影uAA BB 0 uu設為軸的單位向量0 A Bu ,使得 ()uAB 即：注注：投影的結果是一個數量值，可正可負可為零。：投影的結果是一個數量值，可正可負可為零。北京理工大學數學系北京理工大學數學系關于向量的關于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以軸軸與與向向量量的的夾夾角角的的余余弦弦：uABA B B ()|cosuABAB u 北京理工大學數學系北京理工大學數學系定理定理1 1的說明：的說明：投影為正；投影為正；投影為負；投影為負；投影為零；投影為零；uabc(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一

13、軸上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 北京理工大學數學系北京理工大學數學系關于向量的關于向量的投影定理（投影定理（2 2）兩兩個個向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個個向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和. .AA BB CC （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個）u1a2a1212()()()uuuaaaa北京理工大學數學系北京理工大學數學系過過21, MM各各作作垂垂直直于于三三個個坐坐標標軸軸的的平平面面 ,五、向量的坐標表示五、向量的坐標表示xyzoPNQR 1M 2M北京理工大學數學系北京理工大學數學系xyzo 1MPNQR 2M以以kji

14、,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影x 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影y 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 北京理工大學數學系北京理工大學數學系kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本單位向量的按基本單位向量的坐標分解式坐標分解式：在三個坐標軸上的在三個坐標軸上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐標坐標：,zyxaaa向量的向量的坐標表達式坐標表達式：,zyxaaaa ,12

15、121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 北京理工大學數學系北京理工大學數學系向量的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式向量的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 北京理工大學數學系北京理工大學數學系 /abba如何用向量的坐標來表示上述定理?111222 ,ax y zbxyz，；/abab212121,xx yy zz 11122

16、2 xyzxyz北京理工大學數學系北京理工大學數學系解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 設設),(zyxM為直線上的點，為直線上的點，ABMxyzo北京理工大學數學系北京理工大學數學系由題意知：由題意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點點.M為中點時，為中點時，,221xxx ,221yyy .221zzz 北京理工大學數學系北京理工大學數學系非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標軸的

17、正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 六、向量的方向角與方向余弦六、向量的方向角與方向余弦北京理工大學數學系北京理工大學數學系xyzo 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式21212121RMQMPMMM 北京理工大學數學系北京理工大學數學系0222 zyxaaa當當 時，時，,cos222zyxxaaa

18、a ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式北京理工大學數學系北京理工大學數學系1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為0,|cos , cos, cos .aaa aa 即，成立：北京理工大學數學系北京理工大學數學系1212(1, 2,3),(0,2, 1), MMM M例：已知求 的模和方向余弦12222120 1,2( 2), 1 3144 |( 1)4( 4)33M MijkM M 解：121cos,|33xM M124cos,|33yM M124cos|33xM M北京理工大學數學系北京理工大學數學系 5 , 60 .ax yza練習：已知向量的模為 ， 與軸正方向的夾角都是度，與軸正方向的夾角為鈍角，求向量 |cos , cos, cos .aa分析：1coscoscos222 北京理工大學數學系北京理工大學數學系解解所求向量有兩個，一個與所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向同向，一個反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 北京理工大學數學系北京理工大學數學系空間直角坐標系空間直角坐標系