1、數學課程與教學論內容摘要時代小學 倪國平數學課程與教學論是“新課程學科教學論叢書”之一。“新課程學科教學論叢書”是由鐘啟泉先生總主編的。該叢書是由鐘啟泉先生引領一批參加國家課程標準研制的核心人員及投身課程教材實驗的一線教師經過辛勤勞動，將他們自己關于國際國內學科課程發展的動態與問題的研究心得整理成書，以喚起大家對新課程改革的更深沉的思考。本書是由徐斌艷教授主編，她是華東師范大學課程與教學研究所教授、博士生導師，現任華東師范大學教育科學學院副院長。本書分六章，其中第一章、第六章由徐斌艷撰寫，第二章、第四章由羅新兵撰寫，第三章、第五章由范文撰寫。第一章是數學學習文化創新，主要闡述了以下三個方面內容

2、：一、為什么要進行數學學習文化的創新？1、來自我國新課程標準的要求新課程意義下的數學課堂教學要保證學生有足夠的時間和機會建構性地接觸、認識數學，從而理解數學、運用數學。課堂教學文化是能夠反映學生主體觀，注重反映學生學習數學的過程，應鼓勵學生對數學意義的思考，注重以游戲形式、自我負責的活動形式進行了教學。也就是說，讓學生有機會走自己的學習這路（甚至是彎路），使嘗試性學習合法化；讓他們有機會建立現實世界里的數學與課堂上的數學之間的聯系，包括體會數學實驗的作用，體會歸納與演繹的相互作用，體會實踐與理論的想到關系。這種課堂教學模式不會過分強調數學的確定演繹性特征，而是讓學生能夠認請數學的動態特性，以及

3、作為一門實驗科學的特征。2、 來自TIMSS以及PISA項目的啟示TIMSS是指1996年啟動的“第三次國妹數學與科學研究項目”；PISA是指2000年啟動的“學生評價國際項目”。來自這些國際性評價項目的結果，反映出目前數學課堂教學中存在的問題，即在數學教學過程中機械的計算多于理解的學習，老師的解說多于學生的表述，解決結構優良問題多于解決結構不良問題，老師引導探究多于學生自主探究等。由此可能會造成學生學習數學時出現被動局面、盲目及無效的情況。3、 來自現代學習理論的指導建構主義學習理論強調：理解是通過與環境的互動而發生的；認知沖突或困惑是相對于學習面議的一種棗，并決定著學習內容的實質和組織形式

4、；知識是通過社會磋商和對理解發生的評估而展開的?；诮嬛髁x學習理解的各種學習方式主要有：任務驅動式學習、探究定向性學習、情境式的學習、主動合作式的學習、綜合性學習、內在驅動式的學習等。二、數學課堂教學中的學習文化有哪些新的要求？1、數學的現實相關性與問題情景的開放性。我們在課堂教學中，應該創造機會，讓學生體會數學與現實世界的結合，發揚現實情景背后的數學，以此設計適合學生年齡與學生經歷的開放性問題，有助于學生體驗數學與現實的相關性。老師應該細心傾聽，認真對待學生提出的數學問題以及結果，設法去理解他們的思路；另外 ，千萬不要忽視學生的錯誤，而應幫助學生理解出現錯誤的原因。2、課堂教學中主動探究的

5、學習數學學習首先應該是理解數學，也就是說通過活動、通過在一定歷史條件下的體驗、通過嘗試錯誤來獲得數學觀念。維騰貝格曾指出“數學是人們思想 中構建的真實，它沒有人為的特點，而是某種必要性的刻畫，允許人們去發掘。在我們的數學思想與我們對自然的體驗之間存在著某種一致性。”在數學課堂教學中，主動探究的學習表現為一種作為活動的數學實踐，它是獲得數學知識的特殊方法，數學實踐包括利用具體對象（數、量及圖形）的心理實踐活動，利用適當的輔助工具，以及對具體過程的認識。三、數學課堂學習文化幾種模式1、數學的合作互動學習課堂教學中的學習方式大致呈現為四種類型：一是單向型，二是雙向型，三是多向型，四是成員型。實際上，

6、教學不僅僅是老師與學生之間的雙邊互動的過程，它還涉及單向型互動、多向型互動、成員型互動等多種互動過程，是將多種互動過程有機統一的復合活動。合作互動學習的關鍵為學生之間的互動。學生互動至少要包括五個要素：一是積極的相互依賴；二是積極的約束；三是直接的互動；四是社會能力；五是評價。2、數學的累積性學習在解決問題的學習過程中，總要先有一個原有知識的激活階段，然后通過同化或順應過程重建新知識，并保持與原有知識結構之間的聯系，使認知發展從一個平衡狀態進入更高的發展平衡狀態。我們在學習中針對某一實際領域逐漸建構一個知識網絡結構，可稱為累積性學習過程。3、數學的探究性學習我們認為探究性學習是一種探索活動、反

7、思活動、建構活動及形成性活動。探究性學習的前提條件是老師不能從一開始就給出組織知識經驗的規則，而是應由學生一步一步地去探究，并給予適當的指導。沒有老師的引導，學生不會推動探究的方向，但是引導不能變成一種簡單的學習準備而應在學習情境中進行。4、 基于開放式問題的數學學習我們鼓勵學生面對問題情境時，應該以各種不同的思路和策略進行思考，并著手解決，這是鍛煉學生獨立識別問題、分析問題與解決問題能力的有效方法。第二章是基于數學建模的課堂教學，主要闡述了兩個方面的內容：一、什么是數學建模？1、模型及模型分類模型是指顯了某種特定的目的將原型的某一部分信息簡化、壓縮、提煉而成的原型替代物。按照模型替代原型的方

8、式 ，模型可以簡單地分為形象模型各抽象模型兩類，前者包括直觀模型、物理模型等，后者包括思維模型、版本號模型、數學模型等。思維模型是認知主體反復認識原型并將獲取的知識以經驗的形式直接貯存在思維中的模型，它往往具有模糊性、版面性、主觀性、偶然性等不足。符號模型是在一些約定或規定下借助于特定的符號、標識、線條等，按照一定形式組合描述原型的模型。數學模型一般是指由數字、字母或其他數學符號組成的描述現實對象（原型）數量規律和空間牲的數學結構。2、數學建模的過程（1）一般過程。數學建模的一般過程大致可以分為現實問題數學化、模型求解、數學模型解答、現實問題解答難四階段。這四個階段實際上是完成從現實問題到數學

9、模型，再從數學模型回到 現實問題的不斷循環、不斷完善的過程。（2）具體過程。依據數學建模的一般過程，可將建立數學模型的具體過程分為識模、析模、建模、解模和驗模五個步驟。二、如何進行數學建模教學？1、數學建模教學的基本環節（1）創設問題情境，激發求知欲（2）抽象概括，建立模型，導入學習課題（3）研究模型，形成數學知識（4）解決實際應用問題，享受成功喜悅（5）歸納總結，深化目標2、數學建模教學的方式（1）從課本數學問題出發，注重對課本原題的改變（2）從生活中的數學問題出發，強化應用意識（3）從宿舍熱點問題出發，介紹建模方法（4）通過實踐活動或游戲中的數學，培養學生的應用意識和數學建模應用能力（5）

10、從其他學科中選擇應用性問題，培養學生應用數學解決其他學科難題的能力（6）探索數學應用于跨學科的綜合應用題，培養學生的綜合能力和創新能力，提高學生的綜合素質。3、數學建模的教學原則（1）可行性原則（2）漸近性原則（3）發展性原則（4）主動學習與指導學生相結合原則（5）課堂教學與課外活動相結合（6）獨立探究與合作探究相結合4、數學建模教學問題的層次性（1）初級層次：指一般而論的應用題或數量關系較明確的實際問題。（2）中級層次：從生活實際中來的，需要經過分析判斷，作出適當假設，當去掉非本質的因素之后，數量關系才容易發現。（3）高級層次：來源于現實生活的問題，未經數學抽象和轉化，解決它不僅需要有相應的

11、數學知識，還要對許多非數學領域的知識有一定的了解。5、數學建模教學的困難因素及對策（1）困難因素缺乏建立數學模型的信心；不理解實際問題中的一些名詞術語；缺乏處理實際問題中龐雜數據的適當方法；缺乏把實際問題數學化的經驗。（2）克服策略培養學生的數學閱讀能力；培養學生感悟關鍵信息的能力；培養學生的數學語言能力；培養學生數學建模的信心。6、數學建模的教學意義（1）培養學生合作學習的能力（2）培養學生處理信息的能力（3）有利于學生形成正確的數學觀（4）有利于學生體驗數學與生活、數學與其他學科的聯系（5）激發學生的數學習興趣（6）發展學生的創新意識第三章是基于數學思想方法的課堂教學。本章主要闡述了四個方

12、面的內容：一、什么是數學思想方法？1、涵義數學思想方法是指人們對數學知識內容的本質認識，對所使用的方法和規律的理性認識。主要包括：化歸思想方法、數形結合思想方法、類比思想方法、構造思想方法、公理化思想方法、歸納與猜想、函數與方程思想方法等。2、特點（1）概括性。（2）隸屬性。（3）層次性。（4）遷移性。二、為什么要研究數學思想方法？1、數學思想方法有利于數學研究。2、數學思想方法促進數學理論應用于實踐。馬克思指出：一門科學只有當它達到了能夠運用數學時，才算真正發展了。3、數學思想方法有利于培養學生數學創新意識。4、數學思想方法有利于學生完善數學認知結構。5、數學思想方法有得培養學生正確的世界觀

13、。三、如何進行數學思想方法的教學？1、學習數學史，了解數學發展過程“個體發育是系統發育的簡短而迅速的重演”德國動物學家、進化認者?？藸枴２ɡ麃啠骸霸诮淌谝婚T學科（或一個理論、一個概念）時，我們應該讓兒童重走人類在大腦進貨過程中走過的重要幾步”。了解與數學教學內容相關的數學發展史和數學家傳遍是老師掌握數學思想方法的重要途徑之一。學習數學史，老師可以掌握數學知識的形成發展過程。“沒有什么比看到數學發明源泉（與過程）更重要了，它比發明本身更重要”萊布尼茲。2、認真分析教材，挖掘教材中的數學思想方法3、重視數學教學過程設計，滲透數學思想方法數學教學過程包括知識形成和運用兩個階段，前者指提示和建立新舊知

14、識的內在聯系，使學生得到新知識的過程，它包括概念的概括與形成，結論的發現與推導、數學方法的探求與思考過程。后者指在鞏固和應用中進一步理解的過程。弗羅登塔爾認為：數學是現實世界的抽象反映和人類經驗的總結，數學教育應該源于現實，用于現實，應該通過具體的問題來教抽象的數學內容，應該從學習者的經歷所接觸的客觀實際中提出問題，然后升華歸結為數學概念，運算法則或數學思想。數學知識的發生過程也就是數學思想方法的發生過程。四、幾種典型數學思想方法介紹（一）化歸思想方法1、化歸匈牙利數學家路莎.彼得指出：數學家們往往不是對問題進行下面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉化為已經得到解決的問題?；瘹w是指導問題之

15、間的相互轉化。想要解決問題A，可將它轉化為解決問題B，再利用解決問題B的解答去完成問題A的解答?；瘹w也就是把復雜問題化為簡單問題；把陌生問題轉化為熟悉問題；將一個問題轉化為另一個問題；將問題的一種形式轉化為另一種形式。解題就是把題歸結為已經解過的問題。2、數學方法的化歸數學家笛卡爾在更好地指導推理和尋求科學趔的方法論著作中給出了一個解決問題的“萬能方法”模式：第一步，將任何問題都化歸為數學問題；第二步，將任何數學問題都化歸為代數問題；第三步，將任何代數問題都化歸為方程式的求解。3、如何進行數學問題的化歸？（1）模式識別在學習數學的過程中，所積累的知識經驗經過加工，會得出有長久保存價值或基本重要

16、性的典型結構與重要類型模式，將其有意識地記憶下來，并作有目的的簡單編碼。當遇到新問題時，我們可以辨認它發球哪一類基本模式，聯想起一個已經解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應的方法來加以解決，這就是模式識別的解題策略。這一策略華麗了化歸的思想。（2）映射化歸（等價化歸）映射化歸是把一個新問題轉化為一個等價的會解的問題。（3）不等價化歸我們研究數學問題時，有時是將一個問題轉化為與它等價的問題，有時新的問題與原來的問題并不等價。4、化歸的負面影響及教學對策“以局部研究代替整體”“以舊方法處理新事物”的化歸在方法上的局限性和觀念上的保守性掩蓋了化歸的消極方面。如果我們在研究數學問題時一味地尋

17、找舊的模式和解題經驗，容易阻礙新方法和工具的產生，對發展學生的數學創新意識產生消極影響。這如同“教育”一樣，學會生存一書中指出，教育具有培養創造精神和壓抑創造精神的雙重力量?！盎瘹w”在數學理論研究以及數學教學中也是集保守與創新與一體。（二）數形結合思想方法數學上總是用數量的抽象性質來說明形象的事實，同時又用圖形的性質來說明數量的抽象性質。著名數學家拉格朗日指出：代數與幾何在各自的道路上前進時，它們的進展是緩慢的，應用也很有限，但當這兩門學科結合起來后，它們各自從對方汲取新鮮的活力，從此，便于工作以很快的速度向著完美的境地飛跑。數形結合是一個重要的數學思想和一柄雙刃的解題利劍。數學家華羅庚指出：

18、數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數無形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休；切莫忘，幾何代數流一體，永遠聯系切莫分離。1、用解析幾何的思想解決平面幾何問題（初等數學舉例）2、用代數方法解決平面幾何問題（初等數學舉例）3、用向量方法解決問題（高等數學舉例）4、用幾何方法解決代數問題。（初等數學舉例）（三）類比思想方法1、類比思想方法的意義類比是指根據兩個（或兩類）對象之間具有（或不具有）某些相同或相似的性質，而且書籍其中一個（或另一類）還具有（或不具有）另一性質，由此推出另一個（或另一類）對象也具有（或不具有）這一性質。拉普拉斯說：“甚至在數學里，發現真理的主要工具也是歸納和類比?！?、關于幾何問題的案例分析。（無蓋幾何體）3、關于代數問題的案例分析。（黃金分割）波利亞在怎樣解題中指出：“類比是一個偉大的引路人”。在提出猜想的過程中，“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能引導我們前進?！保ㄋ模嬙焖枷敕椒?、構造思想方