1、20092009 年高考數學試題分類匯編年高考數學試題分類匯編三角函數三角函數一、選擇題1.(2009 年廣東卷文)已知中，的對邊分別為若ABCCBA, ,a b c且，則 62ac75Aob A.2 B4 C4 D2 32 362【答案】A【解析】000000026sinsin75sin(3045 )sin30 cos45sin45 cos304A由可知,所以,62ac075C030B1sin2B 由正弦定理得,故選 A261sin2sin2264abBA2.(2009 年廣東卷文)函數是 1)4(cos22xyA最小正周期為的奇函數 B. 最小正周期為的偶函數 C. 最小正周期為的奇函數

2、D. 最小正周期為的偶函數 22【答案】A【解析】因為為奇函數,所以選22cos () 1cos 2sin242yxxx 22TA.3.（2009 全國卷理）如果函數的圖像關于點中心對稱，那么cos 2yx343，0的最小值為（C） （A） （B） （C） (D) |6432解: 函數的圖像關于點中心對稱 cos 2yx343，0由此易得.故選 C423k 42()3kkZ min|34.（2009 全國卷理）若，則函數的最大值為 。42x3tan2 tanyxx解:令, tan,xt142xt 4432224222tan2222tan2 tan81111111tan1()244xtyxxxt

3、ttt 5.（2009 浙江理）已知是實數，則函數的圖象不可能是 ( )a( )1sinf xaax 答案：D 【解析】對于振幅大于 1 時，三角函數的周期為，而 D 不符合要2,1,2TaTa 求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了26.（2009 浙江文）已知是實數，則函數的圖象不可能是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a( )1sinf xaax D 【命題意圖】此題是一個考查三角函數圖象的問題，但考查的知識點因含有參數而豐富，結合圖形考查使得所考查的問題形象而富有深度【解析】對于振幅大于 1 時，三角函數的周期為，而 D 不符合要2,1,2TaTa 求，它的振幅大于 1，但

4、周期反而大于了27.（2009 北京文） “”是“”的61cos22A 充分而不必要條件B必要而不充分條件C 充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案答案】A.w【解析解析】本題主要考查.k本題主要考查三角函數的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎知識、基本運算的考查. 當時，61cos2cos32反之，當時，有，1cos222236kkkZ 或，故應選 A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2236kkkZ8.（2009 北京理） “”是“”的 2()6kkZ1cos22（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案答案】A【

5、解析解析】本題主要考查三角函數的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎知識、基本運算的考查. 當時，2()6kkZ1cos2cos 4cos332k 反之，當時，有，1cos222236kkkZ 或，故應選 A.2236kkkZ9.(2009 山東卷理)將函數的圖象向左平移個單位, 再向上平移 1 個單位,所得sin2yx4圖象的函數解析式是( ).A. B. C. D.cos2yx22cosyx)42sin(1xy22sinyx【解析】:將函數的圖象向左平移個單位,得到函數即sin2yx4sin2()4yx的圖象,再向上平移 1 個單位,所得圖象的函數解析式為sin(2)cos22y

6、xx,故選 B.21 cos22cosyxx 答案:B【命題立意】:本題考查三角函數的圖象的平移和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析式的基本知識和基本技能,學會公式的變形. 10.(2009 山東卷文)將函數的圖象向左平移個單位, 再向上平移 1 個單位,所得sin2yx4圖象的函數解析式是( ).A. B. C. D. 22cosyx22sinyx)42sin(1xycos2yx【解析】:將函數的圖象向左平移個單位,得到函數即sin2yx4sin2()4yx的圖象,再向上平移 1 個單位,所得圖象的函數解析式為sin(2)cos22yxx,故選 A.21 cos22cosyxx 答案:A【

7、命題立意】:本題考查三角函數的圖象的平移和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析式的基本知識和基本技能,學會公式的變形.11.（2009 全國卷文）已知ABC中，則12cot5A cos A (A) (B) (C) (D) 12135135131213答案：答案：D D解析：本題考查同角三角函數關系應用能力，先由解析：本題考查同角三角函數關系應用能力，先由 cotA=cotA=知知 A A 為鈍角，為鈍角，cosA0cosA0, -0, 0) x0,4的圖象，且圖象的最高點為S(3，2)；賽道的后一部分為折線段 MNP，為保證參賽3運動員的安全，限定MNP=120o（I）求 A , 的值和 M，

8、P 兩點間的距離；（II）應如何設計，才能使折線段賽道 MNP 最長？ 18.本小題主要考查三角函數的圖象與性質、解三角形等基礎知識，考查運算求解能力以及應用數學知識分析和解決實際問題的能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，解法一（）依題意，有，又，。2 3A 34T2T62 3sin6yx當 是，4x 22 3sin33y 又(4,3)M(8,3)p22435MP（）在MNP 中MNP=120，MP=5，設PMN=，則 060由正弦定理得00sinsin120sin(60)MPNPMN,10 3sin3NP010 3sin(60)3MN故010 310 310 3 13sinsin(60)

9、(sincos )33323NPMN010 3sin(60 )3060，當=30時，折線段賽道 MNP 最長亦即，將PMN 設計為 30時，折線段道 MNP 最長解法二：（）同解法一（）在MNP 中，MNP=120，MP=5，由余弦定理得MNP=222cosMNNPMN NPAA2MP即2225MNNPMN NPA故22()25()2MNNPMNNPMN NPA從而，即23()254MNNP10 33MNNP當且僅當時，折線段道 MNP 最長MNNP注：本題第（）問答案及其呈現方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設計方式，還可以設計為：；點 N 在線段 MP 的垂直平123 94 3(2

10、6N，）123 94 3(26N，）分線上等21.（2009 遼寧卷文） （本小題滿分（本小題滿分 1212 分）分）如圖，A,B,C,D 都在同一個與水平面垂直的平面內，B，D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面 A 處測得 B 點和 D 點的仰角分別為，于水面 C 處測得 B 點和 D 點的仰角075030均為，AC0.1km。試探究圖中 B，D 間距離與另外哪兩點距離相等，然后求 B，D 的距離060（計算結果精確到 0.01km，1.414，2.449） 2 6 （18）解： 在中，30，6030，ACDDACADCDAC 所以 CDAC0.1 又180606060，BCD 故 C

11、B 是底邊 AD 的中垂線，所以 BDBA 5 分CAD 在中， ABCABCACBCAABsinsin 即 AB2062351sin60sinAC 因此，km33. 020623BD 故 B、D 的距離約為 0.33km。 12 分22.（2009 遼寧卷理） （本小題滿分 12 分）如圖，A,B,C,D 都在同一個與水平面垂直的平面內，B，D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面 A 處測得 B 點和 D 點的仰角分別為，于水面 C 處測得 B 點和 D 點的仰角075030均為，AC=0.1km。試探究圖中 B，D 間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求 B，D 的距060離（計算結果精

12、確到 0.01km，1.414，2.449） 2 6 (17)解:在ABC 中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故 CB 是CAD 底邊 AD 的中垂線，所以 BD=BA， 5 分在ABC 中，,ABCsinCBCAsinAAB即 AB=,2062315sinACsin60因此，BD=。km33. 020623故 B，D 的距離約為 0.33km。 12 分23.（2009 寧夏海南卷理） （本小題滿分 12 分）為了測量兩山頂 M，N 間的距離，飛機沿水平方向在 A，B 兩點進行測量，A，B，M，N 在同一個鉛垂平面內（如示

13、意圖） ，飛機能夠測量的數據有俯角和 A，B 間的距離，請設計一個方案，包括：指出需要測量的數據（用字母表示，并在圖中標出） ；用文字和公式寫出計算M，N 間的距離的步驟。(17) 解：方案一：需要測量的數據有：A 點到 M，N 點的俯角；B 點到 M，N 的俯角；A，B 的距離 d （如圖所示） . .3 分22, 第一步：計算 AM . 由正弦定理；212sinsin()dAM 第二步：計算 AN . 由正弦定理；221sinsin()dAN 第三步：計算 MN. 由余弦定理 .22112cos()MNAMANAMAN方案二：需要測量的數據有： A 點到 M，N 點的俯角，；B 點到 M，

14、N 點的府角，；A，B 的距離 d （如1122圖所示）. 第一步：計算 BM . 由正弦定理；112sinsin()dBM第二步：計算 BN . 由正弦定理； 121sinsin()dBN 第三步：計算 MN . 由余弦定理22222cos()MNBMBNBMBN24.（2009 陜西卷文） （本小題滿分 12 分） 已知函數（其中）的周期為，且圖( )sin(),f xAxxR0,0,02A象上一個最低點為.2(, 2)3M ()求的解析式；（）當，求的最值.( )f x0,12x( )f x11, 解析:（1）由最低點為 由2(, 2)23MA得222TT得由點在圖像上得即2(, 2)3

15、M42sin()23 4sin()13 所以故4232k112()6kkZ又，所以所以(0,)26( )2sin(2)6f xx（）因為0,2,1266 3xx 所以當時，即x=0時，f(x)取得最小值 1；2x+66；,( )6312xf x當2x+即時，取得最大值325.(2009 陜西卷理)（本小題滿分 12 分） 已知函數（其中）的圖象與 x 軸的交( )sin(),f xAxxR0,0,02A點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為.22(, 2)3M()求的解析式；（）當，求的值域. ( )f x,12 2x( )f x17、解（1）由最低點為得 A=2.2(, 2)3

16、M由 x 軸上相鄰的兩個交點之間的距離為得=，即，22T2T222T由點在圖像上的2(, 2)3M242sin(2)2,)133 即si n(故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 42,32kkZ1126k又(0,),( )2sin(2)266f xx故（2）7,2,12 2636xx當=，即時，取得最大值 2；當26x26x( )f x7266x即時，取得最小值-1，故的值域為-1,2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2x( )f x( )f x26.（2009 四川卷文） （本小題滿分 12 分）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且ABCAB、ABC、abc、510sin,si

17、n510AB（I）求的值；AB（II）若，求的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21ababc、【解析解析】 （I）為銳角， AB、510sin,sin510AB 222 53 10cos1 sin,cos1 sin510AABB2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB 0AB 6 分4AB（II）由（I）知， 34C2sin2C 由得sinsinsinabcABC，即5102abc2 ,5ab cb又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21ab 221bb1b 12 分2,5ac27.（2009 湖北卷文） （本小題滿分 12 分）

18、 在銳角ABC 中，a、b、c 分別為角 A、B、C 所對的邊，且Acasin23()確定角 C 的大小： （）若 c,且ABC 的面積為,求 ab 的值。7233解（1）由及正弦定理得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 32 sinacA2sinsinsin3aAAcC3sin0,sin2ACQ是銳角三角形，ABCQ3C（2）解法 1：由面積公式得7,.3cCQ13 3sin,6232abab即由余弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22222cos7,73abababab即由變形得25,5ab2（a+b)故解法 2：前同解法 1，聯立、得2222766ababababa

19、b消去 b 并整理得解得4213360aa2249aa或所以故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2332aabb或5ab28.（2009 寧夏海南卷文） （本小題滿分 12 分） 如圖，為了解某海域海底構造，在海平面內一條直線上的 A，B，C 三點進行測量，已知，于 A 處測得水深，50ABm120BCm80ADm于 B 處測得水深，于 C 處測得水深，求DEF的余弦值。 200BEm110CFm (17) 解：作交BE于N，交CF于Mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m /DMAC， 22223017010 198DFMFDM，222250120130DEDNEN 6 分 2222

20、()90120150EFBEFCBC在中，由余弦定理，DEF. 12 分2222221301501029816cos22 130 15065DEEFDFDEFDEEF29.(2009 湖南卷理)（本小題滿分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在，已知，求角 A，B，C 的大小。ABC2233AB ACABACBC 解：設,BCa ACb ABc由得，所以23AB ACABAC 2cos3bcAbc3cos2A 又因此 (0, ),A6A由得，于是233ABACBC 23bca23sinsin3sin4CBA所以，因此53sinsin()64CC133sin( cossin)22

21、4CCC，既22sincos2 3sin3,sin23cos20CCCCCsin(2)03C由 A=知，所以，從而6506C34233C或，既或故20,3C2,3C,6C2,3C或。2,636ABC2,663ABC30.（2009 天津卷理） （本小題滿分 12 分）在ABC 中，BC=，AC=3，sinC=2sinA 5(I) 求 AB 的值： (II) 求 sin的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 24A本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數的基本關系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎知識，考查基本運算能力。滿分 12 分。（）解：在ABC 中，根據正弦定理， AB

22、CCABsinsin于是 AB=522sinsin BCBCAC（）解：在ABC 中，根據余弦定理，得 cosA=5522222ACABBDACAB于是 sinA=55cos12A 從而 sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5453 所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=44410231.（2009 四川卷理） （本小題滿分 12 分）在中，為銳角，角所對應的邊分別為，且ABCA,A B, ,A B C, ,a b c310cos2,sin510AB（I）求的值； AB（II）若，求的值。21ab

23、, ,a b c本小題主要考查同角三角函數間的關系，兩角和差的三角函數、二倍角公式、正弦定理等基礎知識及基本運算能力。解：（）、為銳角，AB10sin10B 23 10cos1 sin10Bb又，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23cos21 2sin5AA ，5sin5A22 5cos1 sin5AA 2 53 105102cos()coscossinsin5105102ABABAB0AB 6 分4AB（）由（）知,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 34C2sin2C 由正弦定理得sinsinsinabcABC，即， 5102abc2ab5cb ，21abQ ，221bb1

24、b 12 分2,5ac32.（2009 福建卷文） （本小題滿分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知函數其中，( )sin(),f xx0|2 （I）若求的值； coscos,sinsin0,44 （）在（I）的條件下，若函數的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求( )f x3函數的解析式；并求最小正實數，使得函數的圖像象左平移個單位所對應( )f xm( )f xm的函數是偶函數。解法一：（I）由得3coscossinsin044coscossinsin044 即又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m cos()04|,24（）由（I）得，( )sin()4f xx

25、 依題意，23T 又故2,T3,( )sin(3)4f xx 函數的圖像向左平移個單位后所對應的函數為( )f xm ( )sin 3()4g xxm 是偶函數當且僅當( )g x3()42mkkZ 即()312kmkZ 從而，最小正實數12m解法二：（I）同解法一（）由（I）得， ( )sin()4f xx 依題意， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23T又，故2T3,( )sin(3)4f xx函數的圖像向左平移個單位后所對應的函數為( )f xm( )sin 3()4g xxm是偶函數當且僅當對恒成立( )g x()( )gxg xxR亦即對恒成立。sin( 33)sin(33)

26、44xmxmxRsin( 3 )cos(3)cos( 3 )sin(3)44xmxmsin3 cos(3)cos3 sin(3)44xmxm即對恒成立。2sin3 cos(3)04xmxRcos(3)04m故3()42mkkZ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()312kmkZ從而，最小正實數12m33.（2009 重慶卷理） （本小題滿分 13 分， （）小問 7 分， （）小問 6 分 ）設函數2( )sin()2cos1468xxf x（）求的最小正周期 ( )f x（）若函數與的圖像關于直線對稱，求當時( )yg x( )yf x1x 40, 3x的最大值( )yg x解：（）

27、=( )f xsincoscossincos46464xxx =33sincos2424xx = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3sin()43x 故的最小正周期為 T = =8( )f x24 ()解法一： 在的圖象上任取一點，它關于的對稱點 .( )yg x( , ( )x g x1x (2, ( )x g x由題設條件，點在的圖象上，從而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2, ( )x g x( )yf x ( )(2)3sin(2)43g xfxx =3sin243x =3cos()43x 當時，因此在區間上的最大值為304x23433x( )yg x40, 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m max33cos32g解法二： 因區間關于 x = 1 的對稱區間為，且與的圖象關于40, 32 ,23( )yg x( )yf xx = 1 對稱，故在上