1、12.4直接證明與間接證明考綱要求1了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點2了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點1直接證明中最基本的兩種證明方法是_和_2綜合法是利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立綜合法又叫_3分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)分析法又叫_4反證法：假設原命題_(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明_，從而證明了_，這樣

2、的證明方法叫反證法應用反證法證明數學命題，一般有下面幾個步驟：第一步，分清命題“pq”的_；第二步，作出與命題結論q相矛盾的假設_；第三步，由p與q出發，應用正確的推理方法，推出矛盾結果；第四步，斷定產生矛盾結果的原因在于開始所作的假設q不真，于是原結論q成立，從而間接地證明了命題pq為真1分析法是從要證明的結論出發，逐步尋找使結論成立的()A充分條件 B必要條件C充要條件 D等價條件2用反證法證明命題“三角形的三個內角至少有一個不大于60°”時，應假設()A三個內角都不大于60°B三個內角都大于60°C三個內角至多有一個大于60°D三個內角至多有兩個大

3、于60°3設ta2b，sab21，則下列關于t和s的大小關系中正確的是()Ats BtsCts Dts4命題“對于任意角，cos4sin4cos 2”的證明：cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2過程應用了()A分析法B綜合法C綜合法、分析法綜合應用D間接證明法5因為某種產品的兩種原料相繼提價，所以生產者決定對產品分兩次提價，現在有三種提價方案：方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；方案乙：第一次提價q%，第二次提價p%；方案丙：第一次提價%，第二次提價%，其中pq0.比較上述三種方案，提價最多的是()A甲 B乙C丙 D一樣多一、綜合法【

4、例1】如圖，四邊形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA平面ABCD，PBAB2MA求證：(1)平面AMD平面BPC；(2)平面PMD平面PBD方法提煉1綜合法是“由因導果”，它是從已知條件出發，順著推證，經過一系列的中間推理，最后導出所證結論的真實性用綜合法證明題的邏輯關系是：AB1B2BnB(A為已知條件或數學定義、定理、公理，B為要證結論)，它的常見書面表達是“，”或“”2利用綜合法證不等式時，是以基本不等式為基礎，以不等式的性質為依據，進行推理論證的因此，關鍵是找到與要證結論相匹配的基本不等式及其不等式的性質3綜合法是一種由因導果的證明方法，其邏輯依據是三段論式的演繹推理方法，這就是

5、保證前提正確，推理合乎規律，才能保證結論的正確性請做演練鞏固提升1二、分析法【例2】已知ABC三邊a，b，c的倒數成等差數列，證明：B為銳角方法提煉1分析法是“執果索因”，它是從要證的結論出發，倒著分析，逐漸地靠近已知2用分析法證“若P，則Q”這個命題的模式是：為了證明命題Q為真，這只需證明命題P1為真，從而有這只需證明命題P2為真，從而有這只需證明命題P為真而已知P為真，故Q必為真提醒：用分析法證題時，一定要嚴格按格式書寫，否則極易出錯3在解決問題時，我們經常把綜合法和分析法結合起來使用，根據條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論Q；根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論P，若由P可以推

6、出Q成立，就可以證明結論成立一般情況下，用分析法尋找思路，用綜合法完成證明請做演練鞏固提升4三、反證法【例3】設an是公比為q的等比數列，Sn是它的前n項和(1)求證：數列Sn不是等比數列；(2)數列Sn是等差數列嗎？為什么？方法提煉反證法是間接證明問題的一種常用方法，它不是從已知條件去直接證明結論，而是先否定結論，在否定結論的基礎上進行演繹推理，導出矛盾，從而肯定結論的真實性用反證法證明要把握三點：(1)反設：必須先否定結論，即肯定結論的反面；(2)歸謬：必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須依據這一條件進行推證推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的

7、與已知事實矛盾等，但推導出的矛盾必須是明顯的；(3)結論：因為推理正確，所以產生矛盾的原因在于“反設”的謬誤，既然結論的反面不成立，從而肯定了結論成立請做演練鞏固提升2證明類問題中的新情景問題【典例】設f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意實數函數，如下定義兩個函數(fg)(x)和(f·g)(x)：對任意xR，(fg)(x)f(g(x)，(f·g)(x)f(x)g(x)則下列等式恒成立的是()A(fg)·h)(x)(f·h)(g·h)(x)B(f·g)h)(x)(fh)·(gh)(x)C(fg)h)(x)(fh)(gh)(

8、x)D(f·g)·h)(x)(f·h)·(g·h)(x)解析：(f·g)h)(x)(f·g)(h(x)f(h(x)g(h(x)(fh)(x)(gh)(x)(fh)·(gh)(x)答案：B答題指導：對于此類新情景下的新定義問題需要做好以下幾點：1充分理解題意，理解定義是解題的關鍵2若是選擇、填空題建議以特例理解新定義，可以化難為易、化繁為簡3“按規則要求辦事”，即新定義如何要求就如何去做，此法雖然可能會繁瑣，但只要理解透徹，運算得當也能解決問題1(2012浙江紹興模擬)設alg 2lg 5，bex(x0)，則a與b的

9、大小關系為()Aab BabCab Dab2(2012山師大附中模擬)用反證法證明某命題時，對結論：“自然數a，b，c中恰有一個偶數”正確的反設為()Aa，b，c中至少有兩個偶數Ba，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數Ca，b，c都是奇數Da，b，c都是偶數3若函數F(x)f(x)f(x)與G(x)f(x)f(x)，其中f(x)的定義域為R，且f(x)不恒為零，則()AF(x)、G(x)均為偶函數BF(x)為奇函數，G(x)為偶函數CF(x)與G(x)均為奇函數DF(x)為偶函數，G(x)為奇函數4已知a，b(0，)，求證：.參考答案基礎梳理自測知識梳理1綜合法分析法2順推證法或由因導果法3遞推

10、證法或執果索因法4不成立假設錯誤原命題成立條件和結論q基礎自測1A2B3D解析：stab21a2b(b1)20，st.4B解析：因為證明過程是“從左往右”，即由條件結論5C解析：設產品的原價為a，則按方案甲可得提價后的價格為Aa(1p%)·(1q%)；按方案乙可得提價后的價格為Ba(1q%)(1p%)A；按方案丙可得提價后的價格為Caa2，則CBa2a(1p%)(1q%)(p%q%)20，故應選C.考點探究突破【例1】證明：(1)因為PB平面ABCD，MA平面ABCD，所以PBMA.因為PB平面BPC，MA平面BPC，所以MA平面BPC.同理，DA平面BPC.又MA平面AMD，AD平

11、面AMD，MAADA，所以平面AMD平面BPC.(2)連接AC，設ACBDE，取PD的中點F，連接EF，MF.因為四邊形ABCD為正方形，所以E為BD的中點因為F為PD的中點，所以EFPB.又AMPB，所以四邊形AEFM為平行四邊形所以MFAE.因為PB平面ABCD，AE平面ABCD，所以PBAE.所以MFPB.因為四邊形ABCD為正方形，所以ACBD.所以MFBD.所以MF平面PBD.又MF平面PMD，所以平面PMD平面PBD.【例2】證明：要證明B為銳角，根據余弦定理，也就是證明cos B0，即需證a2c2b20.由于a2c2b22acb2，要證a2c2b20.只需證2acb20.a，b，

12、c的倒數成等差數列，即2acb(ac)要證2acb20，只需證b(ac)b20，即證b(acb)0.上述不等式顯然成立B必為銳角【例3】(1)證明：若Sn是等比數列，則S22S1·S3，即a12(1q)2a1·a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，這與q0相矛盾，故數列Sn不是等比數列(2)解：當q1時，Sn是等差數列當q1時，Sn不是等差數列假設q1時，S1，S2，S3成等差數列，即2S2S1S3，2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，這與q0相矛盾綜上可知，當q1時，Sn是等差數列；當q1時，Sn不是等差數列演練鞏固提升1A解析：alg 2lg 5lg 101，而bexe01，故ab.2B解析：“恰有一個偶數”的對立面是“沒有偶數或至少有兩個偶數”