1、初二數(shù)學(xué)中心對(duì)稱及全章復(fù)習(xí)初二數(shù)學(xué)中心對(duì)稱及全章復(fù)習(xí)華東師大版華東師大版【本講教育信息本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容： 中心對(duì)稱及全章復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo) 1. 認(rèn)識(shí)中心對(duì)稱圖形。 2. 能運(yùn)用中心對(duì)稱圖形的基本性質(zhì)，熟練地畫出已知圖形關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱的圖形。 3. 會(huì)利用中心對(duì)稱的性質(zhì)解題。 4. 能靈活運(yùn)用軸對(duì)稱，平移或旋轉(zhuǎn)或它們的組合進(jìn)行圖形的變換。 5. 平移、旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 平移、旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用。 利用中心對(duì)稱性質(zhì)解題。【典型例題典型例題】第一部分 中心對(duì)稱 例 1. 如圖所示，觀察圖中的“風(fēng)車”的平面圖案，其中是中心對(duì)稱圖形的有（ ） A. 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D.

2、 4 個(gè) 分析：分析：抓住圖形特征，觀察圖形繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180后能否與自身重合，則第 2 個(gè)、第 4 個(gè)是，共有 2 個(gè)，選 B。 例 2. 如圖所示，已知ABC 與CDA 關(guān)于點(diǎn) O 對(duì)稱，過 O 任作直線 EF 分別交AD、BC 于點(diǎn) E、F，下面的結(jié)論：（1）點(diǎn) E 和點(diǎn) F；B 和 D 是關(guān)于中心 O 的對(duì)稱點(diǎn)；（2）直線 BD 必經(jīng)過點(diǎn) O；（3）四邊形 ABCD 是中心對(duì)稱圖形；（4）四邊形 DEOC 與四邊形 BFOA 的面積必相等；（5）AOE 與COF 成中心對(duì)稱，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ） A. 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D. 5 個(gè) 分析：分析：ABC 與CDA 關(guān)于點(diǎn)

3、 O 對(duì)稱是兩個(gè)圖形的關(guān)系，但我們將這兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)關(guān)于 O 點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，故（3）正確。B 與 D 關(guān)于 O 對(duì)稱，圖形上的兩點(diǎn)的連線若經(jīng)過中心，這兩點(diǎn)就是對(duì)稱點(diǎn)，同時(shí)對(duì)稱點(diǎn)的連線必經(jīng)過對(duì)稱中心，所以（1） （2）都正確；從中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)得知，四邊形 DEOC 與四邊形 BFOA 是四對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所圍成的圖形，AOE 與COF 也是對(duì)稱點(diǎn)所圍成的圖形，所以它們分別成中心對(duì)稱，故（4）和（5）都正確。選 D 例 3. 已知如下數(shù)字方陣，你能很快求出這里面所有數(shù)字的和嗎？ 某同學(xué)學(xué)習(xí)了幾何中的對(duì)稱后，忽然想起了過去做過一道題：有一組數(shù)排成方陣，如圖所示，試計(jì)算這組數(shù)的和

4、。這個(gè)同學(xué)想，方陣就象正方形，正方形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，能不能利用軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的思想來解決方陣的計(jì)算問題嗎？這個(gè)同學(xué)試了試，竟得到了非常巧妙的方法，你也能試試看嗎？ 下面將這位同學(xué)的想法告訴大家，我們一起來體驗(yàn)一下。 從方陣中的數(shù)看出，一條對(duì)角線上的數(shù)都是 5，若把這條對(duì)角線當(dāng)作軸，把正方形翻折一下，對(duì)稱位置的兩數(shù)之和都是 10，這樣方陣中數(shù)的和即可求。 也可考慮：把方陣?yán)@中心旋轉(zhuǎn) 180，就得到另一方陣，再加到原來的方陣上去，就得到所有的數(shù)都是 10 的方陣，這一方陣數(shù)的和亦可求。 解法一：解法一： 解法二：解法二： 此題還可引伸成解決其它數(shù)學(xué)問題。 當(dāng)在求一組有規(guī)律的數(shù)的和

5、時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到對(duì)稱思想。如： 考慮： 所以 因此，數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要思想方法。 例 4. 一塊方角形鋼板（如圖所示） ，如何用一條直線將其分為面積相等的兩部分。 解析：解析：首先考慮分形（分成 n 個(gè)規(guī)則圖形） 。 （1）該鋼板可看成由上下兩個(gè)矩形構(gòu)成（如圖所示） ，矩形是中心對(duì)稱圖形，過對(duì)稱中心的任一直線把矩形分成全等的兩部分，自然平分其面積，而矩形的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，因此，先作出兩矩形的對(duì)稱中心 A、B，直線 AB 即為所求； （2）該鋼板同樣可看成左右兩矩形構(gòu)成（如圖所示） ，作出兩矩形對(duì)稱中心 C，D，直線 CD 也符合要求； （3）將鋼板補(bǔ)成一個(gè)完整矩形（如圖所示

6、） ，作出大矩形對(duì)稱中心 E 和補(bǔ)上一塊矩形的對(duì)稱中心 F，直線 EF 既平分大矩形，又平分補(bǔ)充矩形的面積，于是 EF 平分原鋼板面積。第二部分（全章復(fù)習(xí)） （平移、旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用） 通過旋轉(zhuǎn)圖形，可將圖形從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置。也可以利用基本圖形，通過旋轉(zhuǎn)，組成更大、更美麗的平面圖案。另外，利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的特性可以巧妙地解決一些問題。 例 5. 如圖所示，ABC 與ABD 都是等邊三角形，且ABD 可由ABC 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)而得。若按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？旋轉(zhuǎn)了多少角度？除了旋轉(zhuǎn)之外，還可以用其他方法由ABC 變換到ABD 嗎？ 分析與解：分析與解：（1）可以以 A 點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，

7、將ABC 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60，即可得到ABD。 （2）亦可以以 B 點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將ABC 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 300，即可得到ABD。 （3）除了旋轉(zhuǎn)方法之外，ABD 還可以由ABC 經(jīng)過以 AB 為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱變換得到。 （4）通過連接 CD 與 AB 得到一個(gè)交點(diǎn)，以此交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將ABC 旋轉(zhuǎn) 180亦可以得到ABD，并且該圖形還是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。 例 6. 如圖，ABE 和ACD 都是等邊三角形，EAC 旋轉(zhuǎn)后能與ABD 重合，EC 與BD 相交于點(diǎn) F，求DFC 的度數(shù)。 解析：解析：因?yàn)锳EC 旋轉(zhuǎn)后能與ABD 重合，根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的特征，圖形中的每一點(diǎn)都旋轉(zhuǎn)了相同的角度，即圖形中的邊也

8、旋轉(zhuǎn)了相同的角度。 又因?yàn)锳EC 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60可與ABD 重合。 則 EC 同樣旋轉(zhuǎn)了 60，則 BD 與 EC 交角DFC60。 例 7. 如圖，ACD 和BCE 都是等邊三角形，NCE 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達(dá)MCB 的位置。 （1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？ （2）旋轉(zhuǎn)了多少度？ （3）如果連接 MN，那么MNC 是怎樣的三角形？ 解析：解析：（1）旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn) C。 （2）NC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)后與 MC 重合 CE 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)后與 CB 重合 因?yàn)镋CB 為等邊三角形 所以ECB60 則NCE 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60后到達(dá)MCB 位置。 （3）如果連結(jié) NM，則 因?yàn)镹CM60，N

9、CMC，則 NCM 為等邊三角形 例 8. 如圖，四邊形 ABCD 是正方形，ADE 旋轉(zhuǎn)后能與ABF 重合，ABF 沿 AB 對(duì)折又與ABG 重合。問： （1）CG 與 CE 相等嗎？為什么？ （2）連結(jié) EF，AEF 是怎樣的三角形？為什么？ （3）若 AE 平分DAG，則 DEBG 與圖中的哪條線段相等，給出你猜想的結(jié)論，并進(jìn)行說明。 分析：分析：（1）四邊形 ABCD 是正方形，則有 ABBCCDDA ADE 旋轉(zhuǎn)后能與ABF 重合 ABF 沿 AB 對(duì)折又與ABG 重合 則ADE、ABF、ABG 形狀大小完全相同 對(duì)應(yīng)線段，對(duì)應(yīng)角分別相等 AEAFAG，DEFBBG 則 即 CECG

10、（2）若連接 EF，因?yàn)?AEAF，090EAF, 則AEF 是等腰直角三角形 （3）若 AE 平分DAG，則 AFG 是等邊三角形 則DEBGFBBGFGAEAFAG 例 9. 已知ACD30，F(xiàn)EB45，CDEF，求O。 解析：解析：將已知兩角想辦法轉(zhuǎn)移到同一頂點(diǎn)處。 由于 CDEF，可過 O 作 OMCD 則ACDAOM30，BEFBOM45 則AOBAOMBOM75 類似于此題作法還有如下幾個(gè)題，同學(xué)們可以嘗試。 （1）已知：ABCD，B110，C35，求BEC 的度數(shù)。 解：解：過 E 作 EFAB 因?yàn)?ABCD，則 EFABCD B1180，170，2C35 則BEC105 （2

11、）已知：如圖 ABCD，BEFGD 是折線。 求證： 解析：解析：分別過 E、F、G 作 AB 的平行線，則 有 即 例 10. 如圖，在ABC 的邊 BC 上取兩點(diǎn) D、E，使 BDCE，請(qǐng)你運(yùn)用三角形三邊的關(guān)系和平移的知識(shí)，觀察與之間的長(zhǎng)度關(guān)系，提出一個(gè)設(shè)想，并加以證明。 分析：分析：四條線段 AB、AC、AD、AE 分布在ABD 和ACE 中，要比較它們的大小，就要將這四條線段相對(duì)集中，為此，可設(shè)想AEC 沿 EB 方向平移到BDF 的位置。 解：解：將AEC 沿 EB 方向平移到BDF 的位置 由平移的特征知：經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)線段平行且相等。 FBAE，F(xiàn)DAC，設(shè) FD 與 AB 的交

12、點(diǎn)為 O 在AOD 中， 在FOB 中， 例 11. 已知 P 是等邊ABC 內(nèi)部一點(diǎn)，APB，BPC，CPA 的大小之比是5：6：7，求以 PA、PB、PC 的長(zhǎng)為邊的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比。 解析：解析：要想解決 PA、PB、PC 的長(zhǎng)為邊的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比，必須先將AP、BP、CP 相對(duì)集中，這樣，我們將ABP 以點(diǎn) A 為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60，則得到ACE。此時(shí)，BPCE，APAE，且PAE60 APE 為等邊三角形 PA、PB、PC 三邊構(gòu)成的三角形為CEP 因?yàn)锳PB、BPC、APC 三角之和為 360 APB：BPC：APC5：6：7 所以APB100，BPC

13、120，APC140 則根據(jù)APBAEC100 BPC120，APC140 于是， 則以 PA、PB、PC 為邊的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為 2：3：4【模擬試題模擬試題】 1. 如圖所示，正方形 ABCD 經(jīng)平移后成為正方形 CEFG，則該圖形為_對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為_。D 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為_。G 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為_。圖中三點(diǎn)在一直線上的有_。 2. 如圖所示，為中心對(duì)稱圖形的是（ ） 3. 我國(guó)主要銀行的商標(biāo)設(shè)計(jì)基本上都融入了中國(guó)古代錢幣的圖案。如圖，我國(guó)四大銀行的商標(biāo)圖案中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有（ ） A. 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D. 4 個(gè) 4. 如圖，既是軸對(duì)稱圖形又是

14、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的有（ ） A. 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D. 4 個(gè) 5. 如圖，矩形繞其一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90后成另一個(gè)矩形的是（ ） A. （1） （2）B. （2） （3） C. （2） （4）D. （1） （4） 6. 如圖所示，兩個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正方形沿邊 DC 疊在一起，正方形 ABCD 到正方形 CDEF能通過旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)嗎？若能，指出旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)的角度。 7. 已知：如圖正方形 ABCD 中，E 為 CD 上的一點(diǎn)，F(xiàn) 為 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CECF。 （1）FDC 與EBC 相等嗎？ （2）DCF 能與BCE 重合嗎？ （3）BE 與 DF 垂直嗎？ 8. 有兩個(gè)正方形的

15、花壇，準(zhǔn)備把每個(gè)花壇都分成形狀相同的四塊，且成中心對(duì)稱圖形，再分別種上不同的花草。如圖左邊的兩個(gè)圖案是設(shè)計(jì)示例。請(qǐng)你在右邊的兩個(gè)正方形中再設(shè)計(jì)兩個(gè)不同的圖案。 9. 已知 P 為正三角形 ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，APB113，APC123。 求證：以 AP、BP、CP 為邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形，并確定所構(gòu)成的三角形各內(nèi)角的度數(shù)。 10. ABC、DCE 均為等邊三角形，試在圖中找出BCD 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)后的圖形，并指出旋轉(zhuǎn)角度，進(jìn)一步探索圖中還有哪些三角形可以經(jīng)過旋轉(zhuǎn)互相重合，指明旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角度。【試題答案試題答案】 1. 中心對(duì)稱；點(diǎn) C；E；B；A、C、F，B、C、G，D、C、E 2

16、. B 3. B 4. B 5. C 6. 分析：分析：正方形 ABCD 到正方形 CDEF 能通過旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)，這一點(diǎn)我們?nèi)菀桌斫狻膱D形可知，旋轉(zhuǎn)中心可以是點(diǎn) D 或點(diǎn) C。繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90或順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 270即可得；或者繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 270即可得。另外，線段 CD 的中點(diǎn) O 也是一個(gè)不容忽視的旋轉(zhuǎn)中心，將正方形 ABCD 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180或順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180，也可得到正方形 CDEF。 （參見下圖） 7. （1）FDCEBC （2）DCF 與BCE 重合 （3）因?yàn)锽EC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90與DCF 重合，則 BE 與 DF 垂直。 8. 方法：方法：畫出一個(gè)基本圖形，以正方形中心為旋轉(zhuǎn)中心。 將其依次旋轉(zhuǎn) 90即可。 9. 以點(diǎn) C 為中心，將APC 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60，得如圖所示的圖形，連 PD。因旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，所以，CPCD，PCD6