1、高等數學之微分方程課件一、微分方程的基本概念解：解：定義2定義1由上兩例，得如下相關定義：定義4定義3定義5注意：通解不一定包含所有特解，因為有奇解定義6定義7定義8解:ktkCktkCdtdxcossin21ktCkktCkdtxdsincos221222ktCktCksincos212ktCktCksincos212212cossinkCktCkt0例1AC 102CktAxcos即：二、一階微分方程22xyy 1、可分離變量的微分方程先看一個實例：形式：解法：兩邊積分 g y dyf x dx特點：解：xydxdy2xdxydy2xdxydy221Cxe e 2xCe21xCye 例2解

2、：xxdxyydy22111221ln211ln21Cyx12211ln21CyxxyC2211yx|01C12xy221112即：故所求特解為： 例3解：CtMlnlntCeM例4如：0222dyxyxdxyxyxyxyxydxdy222xyxyxy212可化為： 2、齊次方程dxduxudxdy udxduxu xdxuudu ,得其解法為：xydxdy由齊次方程的形式：思路：解：12xyxyCxyyln例5解：21yyxx例6定義3、一階線性微分方程 1lnlnCdxxPy dxxPCey其解法為： dxxPdxxPexPxuexu dxxPexuxP xQ dxxPexuxQ Cdxe

3、xQxudxxP dxxPexuy解:333233xxxxu eueuee例7解:ydxxe12251x21dxxedxCdxxe1ln2251xdxex 1ln2C21 x251xdxx211C21 xCx23132例8三、可降階的微分方程1、右端僅含x的方程對這類方程，只須兩端分別積分一次就可化為n-1階方程： 1)1()(Cdxxfyn21)2()(CdxCdxxfyn同理可得： 依此法繼續進行，接連積分n次，便得方程的含有n個任意常數的通解. )()(xfyn微分方程Cxeyx sin21222cos41CCxxeyx32212sin81CxCxCxeyx21CC解:例92、右端不顯含

4、y的方程其特點：解法：),(yxfy 微分方程解:dxxxpdp212plnCxln1ln221lnxC例10211xCpCC12333Cxxy3、右端不顯含x的方程yyfy ,微分方程其特點：dxdpy dxdydydpdydpp解法：這是一階微分方程，可解解:dydpp02 pdydpypydypdpCyplnlnlnyCp1CC1例1121lnCxCy四、二階常系數線性微分方程1、二階線性微分方程解的結構定理7.1 0)(111 yxQyxPy 0)(,222 yxQyxPy0)()()(221122112211 yCyCxQyCyCxPyCyC證明即：理解如：1Cy問題：線性相關性：如

5、：0sincos23221xkxkk定理7.2 如：定理7.3如：0)(2rxeqprr2、二階常系數線性齊次微分方程分三種情形討論：1)2422, 1qpprxrreyy2112xqpe4222)221prr如何求得第二個特解呢？由于)(11urueyxr)2(,2111ururueyxr 0)()2(12111 qurupururuexr0)()2(1211 uqprrupru0 u)0, 02(1211qprrprCxu xrCxey1xrxrxeCeCy1121xrexCC1213) ir2, 1xiey1xixexsincosxiey2xixexsincos21121yyyxexco

6、s21221yyyxexsinxeCxeCyxxsincos21xCxCexsincos21綜上所述 即：rxexCCy21xCxCeyxsincos21xrxreCeCy2121解:0322 rrxeCy1xeC32012 rr2312, 1irxey21xCxC23sin23cos21例13解:例12例14解:0122 rr1,21rrtetCCs21 *41CteCs2tetC24*22Ctets243、二階常系數線性非齊次微分方程 xQxQeyx* xQxQxQeyx 22*，則： xPexfmx情形1： xQxQm設mmmmmbxbxbxbxb122110 xxQxQmmmmmmbx

7、bxbxbxbx122110 xQxxQm2mmmmmbxbxbxbxbx1221102綜上， xmkexQxy例15解:032 yyy0322 rr11r3,2r*01,yb xb*0,yb*0y00132331b xbbx13233100bbb31110bb例16解:065 yyy0652 rr3, 221rrxxeCeCY3221xebxbxy210*00122b xbbx0212100bbb12110bbxexxy2*121*yYyxxxexxeCeC23221121 xPxPexfnlxsincosieePeePexixinxixilx22xinlxinleiPPeiPP2222 ximximexPexP其中： iPPxPnlm22iPPnl22 iPPxPnlm22iPPnl22 qyypy ximexP*2*1*yyy又 ximximexQexQ ximximxkexQexQexxixQxixQexmmxksincossincosxixQxixQexmmxksincossincos其中例170 yy012rir解:xdcxxbaxy2sin2cos*334cos2334sin2cos2axbcxcxdaxx