1、高一上學(xué)期數(shù)學(xué)知識概念方法題型易誤點技巧總結(jié)一、集合與命題1. 集合元素具有確定性、無序性和互異性在求有關(guān)集合問題時，尤其要注意元素的互異性，如（1 ）設(shè)P、Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P ab|a. P,b. Q，若P =0, 2, 5，Q =1,2,6，則P +Q中元素的有 個。（答：8）（ 2 ）非空集合S§1,234,5，且滿足“若a S，則6-a S ”，這樣的S共有個（答：7）2. 遇到ARB 時，你是否注意到“極端”情況：A-一或B ;同樣當(dāng)A二B時，你是否忘記 A=Q的情形？要注意到.一是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 。 如集合 A =x |ax 1 =

2、0 , B = x |x2 3x + 2 = 0，且 AU B = B，則實數(shù) a =.1（答：a = 0,1,）23對于含有n個元素的有限集合 M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù) 依次為 2n,2n1, 2n 1, 2n 2.如滿足1,2睪 M G1,2,3,4,5集合 M 有個。（答: 7）4. 集合的運算性質(zhì)： AU B = A:二 B - A ； Ap| B = Bu B - A ；3） A B ：= 痧A止; API 痧B(yǎng)-一 u uA B ； euAUB=U=A B ； Cu （API B）二 CuAUCuB : Cu（AUb）二 CuAPlCuB.如設(shè)全集 U 二1,

3、2,3,4,5，若 A B 二2, （CuA）“B=4 , （Cu A）D（CuB） =1,5，則 A=, B= _.（答：A =2,3,B 二2,4）5. 研究集合問題，一定要理解集合的意義抓住集合的代表元素。如：x|y=f x /函數(shù)的定義域；：y|y=f X；函數(shù)的值域；：（x, y）|y=f x函數(shù)圖象上的點集，如設(shè)集合M =x| y »乂邁，集合n =y = x2,x M ，則 M 門 N =（答: 4,：）;6. 數(shù)軸和韋恩圖是進行交、并、補運算的有力工具，在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想常運用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。如已知關(guān)ax 5

4、于x的不等式二0的解集為M，若3 M且5F M求實數(shù)a的取值范圍。x -a（答：a 1,5 U 9,251）IL 37. 四種命題及其相互關(guān)系。若原命題是“若 p則q”，則逆命題為“若 q則p”；否命 題為“若p則q ” ；逆否命題為“若 q則p ”。提醒：（1）互為逆否關(guān)系的命題是等價 命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價；（2）在寫出一個含有“或”、“且”命題的否命題時，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對命題的條件和結(jié) 論都否定，而命題的否定僅對命題的結(jié)論否定；（4）對于條件或結(jié)論是不

5、等關(guān)系或否定式的命題，一般利用等價關(guān)系“ A=B=B=A”判斷其真假，這也是反證法的理論依據(jù)。（5）哪些命題宜用反證法？女口（ 1） “在 ABC中，若/ C=90°，則/ A、/ B都是銳角”的否命題為 （答：在 ABC中，若 C- 90，則 A,. B不都是銳角）；（2）已x 2知函數(shù)f（x）二ax,a 1,證明方程f（x）=o沒有負(fù)數(shù)根。x+18. 充要條件。關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論（劃主謂賓），由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成 立的充分條件；由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。從集合角度解釋，若Am B，則A是B的充分條件；若 B5 A，則A是B的必要條件；若 A=B，則

6、A是B的充要條件。如設(shè)命題p： |4x _3|乞1;命題q： x2 - （2a1）x a（a 1）乞0。若p是q的必一 1要而不充分的條件，則實數(shù)a的取值范圍是（答：0-），2二、不等式1. 不等式的性質(zhì)：（1） 同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若a . b,c . d，則a c d （若 a b, c ： d，則a -c-d ），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；（2） 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不a b能相乘：若 a b . 0,c . d 0 ,則 ac bd （若 a . b 0,0 : c ：. d，則）；c d（3）

7、 左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若a b 0，則an bn或n. a n b ；111 1（4） 右 ab 0， a b，貝V;若 ab ： 0，a b，則一a ba b如（1）對于實數(shù)a,b,c中，給出下列命題：若a b,則 ac2 bc2 ；若ac2 bc2,則a b ；若a ： b ： 0,則a2 ab b2 ；1 1ba若a : b : 0,則；若a : b . 0,則；若a b ： 0,則a b ；a ba bab11若c na Ab =0,則>；若ab, A -，則aAQb<0。其中正確的命cacba b題是 （答：）（2） 已知一1蘭x + y蘭1 , 1

8、Ex y蘭3，則3x y的取值范圍是 （答：11,7】）（3）已知a b c，且a b 0,則的取值范圍是（答：-2,-1 ）a（2丿2. 不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5） 分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法；（8）圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如設(shè)a 2, p = a , q = 2 °4a °，試比較p, q的大小（答：p q ）a -23. 一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號、移

9、項、合并同類項等步驟化為 ax b的形式，若a 0,則x -；若a ：0,則x ： ；若a = 0,則當(dāng)b . 0時，x R；當(dāng)b_0 aa1時，一。如已知關(guān)于x的不等式（a b）x（2a-3b）：0的解集為（-：，-丄），則關(guān)于x3的不等式（a3b）x+（b2a）>0 的解集為 （答: x|x<3）4. 一元二次不等式的解集（聯(lián)系圖象）。尤其當(dāng) 二=0和:0時的解集你會正確表示2嗎？設(shè)aO,X1,X2是方程ax bx 0的兩實根，且 花：x?，則其解集如下表：ax2 +bx +c a02ax +bx +c K02ax +bx+cc02ax +bx + c 蘭 0心>0x |

10、 x v X1 或 X a x2x|x蘭洛或x X | X<| v x £ x2 X | X蘭 x 蘭 x2A =0bx|x式2aR*bx|x = =2aA <0RR*如解關(guān)于x的不等式：ax2 -（a 1）X 1 :： 0。（答：當(dāng)a=0時，x 1 ；當(dāng)a ： 0時，111x 1 或 x ；當(dāng) 0 ： a ： 1 時，1 x ；當(dāng) a -1 時，x 三二；當(dāng) a . 1 時， x : 1） aaa25. 對于方程ax bx 0有實數(shù)解的問題。首先要討論最高次項系數(shù)a是否為o,其次若a = 0，則一定有厶二b2 -4ac _0。對于多項式方程、不等式、函數(shù)的最高次項中 含

11、有參數(shù)時，你是否注意到同樣的情形？如：（1）a-2 x2a-2 x-1：0對一切x R恒成立，則a的取值范圍是 （答: （1,2）； （2）關(guān)于x的方程f（x） = k有解的條件是什么？（答：k D，其中D為f（x）的值域）6. 一元二次方程根的分布理論 。方程f （x）二ax2 bx c = 0（a0）在（k,=）上有兩>0f (m) >0“ f(n)=0bm < 一 < nl 2af（k） ：: 0 ）。根的分布理論成立根、在（m,n）上有兩根、在（2k）和（k, ：）上各有一根的充要條件分別是什么？"0(f(k) .0、b->k 2a的前提是開區(qū)間

12、，若在閉區(qū)間m, n討論方程f（x）=0有實數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間（m, n）上實根分布的情況，得出結(jié)果，再令x =n和x =m檢查端點的情況.如f （x） =4x2 -2（p _2）x-2p2 一 p T在區(qū)間-1,1上至少存在一個實數(shù)c ,使3f（C） 0，求實數(shù)p的取值范圍。（答：（一込）27. 二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系你了解了嗎？二次方程 ax bx 0的 兩個根即為二次不等式ax2 bx c 00： 0）的解集的端點值，也是二次函數(shù) y =ax2 bx - c的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)。女口（ 1）不等式x ax -的解集是（4, b）,21 2則a = （答：一

13、）；（2）若關(guān)于x的不等式ax bx ： 0的解集為8（_oo,m） J （n,+=°）,其中m < n c 0 ,則關(guān)于x的不等式ex2 - bx + a c 0的解集為 11 2（答：（-：-,-）（廠：-）;（3）不等式 3x -'2bx T 一 0 對 x -1,2恒成立，則 mn實數(shù)b的取值范圍是 （答：0 ）。8. 簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1 ）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f （x）的符號

14、變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如：（1）解不等式（x-1）（x 2）2 _0。（答：）（2） 不等式（x-2）Jx2-2x-30 的解集是 （答: b,畑）U-訃）（3） 設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）的定義域都是 R，且f （x） _0的解集為x|1_x：2 , g（x）_0 的解集為0，則不等式f （x）LJg（x） >0的解集為 （答：（-00,1 II【2,址）（4） 要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x2 -9x a ： 0 （解集非空）的每一個x的值至少滿足不2 2 - 81 X|等式x2 -4x 3 ：0和x2 -6x 8 ： 0中的一個，則實數(shù)a的取值范圍是.（答：7,-89. 分式不等式

15、的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式， 并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母。(答:-1,1 U 2,3)5 _ x如：（1）解不等式 ：:-1x 2x3（2）關(guān)于x的不等式ax-b 0的解集為（1, ：），求關(guān)于x的不等式. 0的解集x2（答:-：，-1 U 2, ：）10.絕對值不等式的解法:(1)分段討論（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）3 1:如解不等式|2x|_2-|x一| （答：R）4 2(2)(3)(4)利用絕對值的定義； 數(shù)形結(jié)合；如解不等式 兩邊平方：如若不等式|

16、x| |x 一1| .3 （答：-：:, -1 U 2：）13x 21 | 2x a |對任意x R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍。初4】（答：蘭）11.含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最 后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集（見4中例題）12. 含絕對值不等式的性質(zhì)：a、b 同號或有 0|ab|=|a| |b|_|a| -|b |=|a -b | ；a、b異號或有 0 = | a - b |=|a | | b | 亠 |a | - |b |斗 a b |.如設(shè)

17、 f（x） =x2 _x 13，實數(shù) a 滿足 |x_a|：1，求證:| f（x） - f （a）2（| a | 1）13. 利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大， 積定和最小”這17字方針。如：（1）下列命題中正確的是1x2 + 3A. y = x的最小值是2B. y的最小值是2XJx2+2C. y =2-3x-4（x 0）的最大值是2-4込D. y =2-3x-4（x 0）的最小值是2-紙3 xx（2）若x + 2y =1，則2x +4y的最小值是 （答：22 ）（3）正數(shù)x, y滿足x+2y =1，貝y - +1的最小值為 （答: 3 + 2J2 ）x

18、y14. 常用不等式 有：（1） 2當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時，a b取等號），根據(jù)目標(biāo)不等式左右的結(jié)構(gòu)選用；（2） a、b、R, a2 b2 c ab bc ca（當(dāng)且僅當(dāng)a = b=c時，取等號）；（3）若a>b>0, m>0，則b（糖水的濃1a a + m度問題）。如果正數(shù)a、b滿足ab = a+b+3，則ab的取值范圍是 （答：19,咼）15. 證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。常用的放縮技巧有1 1 1 112n(n 1) nn(nT) n-1 n5-

19、k 1 - kk - k T+7k 2 長+如(1)已知 a b c,求證：a2b - b2c c2a - ab2 bc2 ca2已知 a, b,c R，求證：a2b2 b2c2 c2a2 亠 abc(a b c)；(3)已知 a, b, X, y R，且，x、y，求證： 一y;a bx + a y+b若n三N ，求證：x (n 1)2 1 -(n 1) ：、n2 1 - n ； 已知 | a |=|b |，求證：1 a 1 一|b L |a|b| ；|a-b|a +b|16.不等式的恒成立，能成立，恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和 “分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值

20、問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利 用數(shù)形結(jié)合法）（1）恒成立問題若不等式f （x）>A在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間 D上f（xhn >A若不等式f （xB在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間 D上f （X hax £ B女口 （ 1）不等式x-4+|x-3>a對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍（2） 若不等式2x -1 m（x2 -1）對滿足m _2的所有m都成立，則x的取值范圍（3） 若不等式x -2mx 2m 1 0對0xM1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍（2）能成立問題若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f x A成立，則等價于在區(qū)間D上 fX max

21、A ；若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f x : B成立，則等價于在區(qū)間D上的 f x min ” B .如已知不等式|x-4 +|x-3 <a在實數(shù)集R上的解集不是空集，求實數(shù)a的取值范圍 （3）恰成立問題若不等式f x A在區(qū)間D上恰成立，則等價于不等式f x A的解集為D ； 若不等式f x : B在區(qū)間D上恰成立，則等價于不等式f x : B的解集為D.三、函數(shù)1.函數(shù)的定義域 A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與x軸的垂線至多有一個公共點，但與y軸垂線的公共點可能沒有， 也可能有任意個。女（1）已知函數(shù)f （x） , x F， 那么集合（x, y）|y =f（x）, F|（

22、 x, y）| x h中所含元素的個數(shù)有 個（答：01 2或1）；（ 2）若函數(shù)y x-2x 4的定義域、值域都是閉區(qū)間2,2b，則b =（答：2. 同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應(yīng)法則。而值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同時，它們一定為同一函數(shù)。如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函 數(shù)”，那么解析式為 y=x2，值域為4，1的“天一函數(shù)”共有 個（答：9）3. 求函數(shù)定義域的常用方法（在 研究函數(shù)問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則）：（1） 根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，0次幕的

23、底數(shù)不能為零。如（1）函數(shù) y = &（4_：）的定義域是 （答：（o,2）U（2,3） U（3,4）； （2）若（x 3）函數(shù)y= 的定義域為 R,則 “ （答：|0,3 |'） ； （ 3）函數(shù)f （X）的定kx +4kx+3 4.丿義域是a,b，b>a>0，則函數(shù) F（x） = f（x） + f（x）的定義域是 （答：a, -a ）;（2）根據(jù)實際問題的要求確定自變量的范圍。（3） 復(fù)合函數(shù)的定義域： 若已知f （x）的定義域為a,b,其復(fù)合函數(shù)fg（x）的定義域 由不等式ag（x）b解出即可；若已知 fg（x）的定義域為a,b,求f （x）的定義域，相 當(dāng)于

24、當(dāng)a,b時，求g（x）的值域（即f （x）的定義域）。女口（ 1）若函數(shù)y = f （x）的定 義域為il,2 L則f（2x）的定義域為 （答:蘭x蘭4）； （2）若函數(shù)IL22f（x +1）的定義域為2,1），則函數(shù)f（x）的定義域為 （答: 1,5）.4. 求函數(shù)值域（最值）的方法：（1） 配方法二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間m,n上的最值；二是求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系），如（1）求函數(shù) y =x2 -2x 5,x -1,2的值域（答：4,8 ）；

25、（2）當(dāng) x（0,2時，函數(shù)2 1 f（x）=ax +4（a+1）x3在x = 2時取得最大值，則a的取值范圍是_（答：a>）； 2 特別說明：二次函數(shù)在區(qū)間！m,nl上最值的求法，一定要注意頂點的橫坐標(biāo)是否在定義域內(nèi)。如果是選擇、填空可以很快寫答案:先看看-是否在m, n 內(nèi)，如果在的話，算三個數(shù)2aKf（m）、f n、f （-一），三數(shù)中誰最大誰就是最大值，誰最小誰就是最小值。如果不在的2a話，只要算兩個數(shù) f（m）、f n，大的就最大值，小的就最小值。（2）換元法一一通過換元把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，女（1） y =

26、2x +1 +Jx_1的值域為（答：（3,）（令=t , t 一0。運用換元法時，要特別要注意新元t的范圍）；（3）函數(shù)有界性法一一直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來 確定所求函數(shù)的值域，（4） 單調(diào)性法一一利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，180如求y =x（1 ex £9）的值域為（答：（0,）；x9（5）判別式法一一對分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式： y b 2型，可直接用不等式性質(zhì)，如求y 3 2的值域k +x2 +

27、x2 y = 丁_bX 型，先化簡，再用均值不等式，如(1)求y 篤 的值域(答:x +mx +n1 + x1 . x 2 1(-：，)；(2)求函數(shù)y的值域(答：0,)2x+322 -x m x n2x mx n型，通常用判別式法;如已知函數(shù)mx2 8x n的定義域為R，39值域為1,9 ,求常數(shù)m, n的值(答：m = n = 5)mx n型，可用判別式法或均值不等式法,x2x 1x 1的值域(答:3#(：，-3U1,)(6) 不等式法利用基本不等式 a_2一藥(a,bw R )求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平

28、方等技巧。提醒：(1 )求函數(shù)的定義域、值域時，你 按要求寫成集合形式 了嗎？ ( 2)函數(shù)的最 值與值域之間有何關(guān)系？5. 分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來 表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)， 它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值 f(x)時，一定首先要判斷X。屬于定義域的哪個子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不l(x +1) .(X £1)同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如(1)設(shè)函數(shù)f(x)，則使得4-Vi.(xK1)f(x)31的自變量x的取值范圍是 (答：(珀，2U 0,10)； ( 2)已知1(X 玉 0)3f(x) =

29、，則不等式x+(x+2)f(x + 2)蘭5的解集是(答：(皿上1 )1-1 (x<0)'26. 求函數(shù)解析式的常用方法：(1) 待定系數(shù)法一一已知所求函數(shù)的類型(二次函數(shù)的表達形式有三種：一般式：f (x) = ax2 bx c ；頂點式：f (x)二 a(x - m)2 n ；零點式：f (x)二 a(x -x/x- x2), 要會根據(jù)已知條件的特點，靈活地選用二次函數(shù)的表達形式)。如已知f (x)為二次函數(shù)，且f (x-2) = f (-X-2)，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為 2.2、求f(x)的解析式。(答：f (x) =1 x2 2x 1 )2(2) 代換

30、(配湊)法 一一已知形如f(g(x)的表達式，求f(x)的表達式。女口( 1)若1 2 1 2f (x -)= x +，則函數(shù) f(X -1) = (答: x -2x + 3)； (2)若函數(shù) f (x)是xX定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)(0：)時，f (x x(1 3 x)，那么當(dāng)x，(-：,0)時，f(x)= (答：x(1-MX).這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即f (X)的定義域應(yīng)是g(x)的值域。(3) 方程的思想一一已知條件是含有 f (x)及另外一個函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對等式的進行賦值，從而得到關(guān)于f (x)及另外一個函數(shù)的方程組。如(1)已知丄2f(x) +

31、2f (x)= 3x 2 求 f (x)的解析式(答：f (x) =3x )； (2)已知 f (x)是x 奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且 f (x) +g(x) =, f(x)= _(答： 一)。X 1x -17. 函數(shù)的奇偶性。(1) 具有奇偶性的函數(shù)的 定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點對稱！為此確定函數(shù)的 奇偶性時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱。(2) 確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷 其奇偶性)： 定義法：如判斷函數(shù)yX 4|-4的奇偶性(答：奇函數(shù))。 利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式：f(x)_f(_x)=O或 土91( f(x) = O )

32、。如f(x)1 1判斷f (x) =x(r +-)的奇偶性.(答：偶函數(shù))2-12 圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。(3) 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)： 奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反 如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù) 若f (x)為偶函數(shù)，則f(-x)f (x) f (|x|). 若奇函數(shù)f(x)定義域中含有0，則必有f(0)=0.故f(0)=0是f (x)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若f(x)=匚2為奇函數(shù)，則實數(shù) a =(答：1).2x +1 定義在關(guān)于原點對稱區(qū)

33、間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和(或差)”。如設(shè)f (x)是定義域為R的任一函數(shù)，F(xiàn)(x) = f (x) fx),2f (x) f ( X)G(x)。判斷F(x)與G(x)的奇偶性；若將函數(shù)f(x)=10_1，表2示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)h(x)之和，則g(x) =(答：F(x)為偶函數(shù)，G(x)1為奇函數(shù)；g(x) =)2 復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外” 既奇又偶函數(shù)有無窮多個(f(x) =0，定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個數(shù)集).8. 函數(shù)的單調(diào)性。(1)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法： 在解答題中常用：定義法(取值一一作差一一變

34、形一一定號)如已知函數(shù)f(x)=x3 ax在區(qū)間1,址)上是增函數(shù)，則 a的取值范圍是 (答：(0,3)； 在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意 廠ax »(a 0xb 0)型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運用：增區(qū)間為(：，£，、匸：)，減區(qū)間為bb4-，0),(0, (例如函數(shù)y二X 遞增區(qū)間,-2 , 2,二；單調(diào)遞減區(qū)間是Taax-2,0 , 0,2 )如(1)若函數(shù)f(x)=x2 2(a -1)x 2在區(qū)間，4】上是減函數(shù)，那311么實數(shù)a的取值范圍是 (答：a蘭：)；(2)已知函數(shù)f(x)= 竺匕在區(qū)間(-2+oc sx + 21上為增函數(shù)，則

35、實數(shù) a的取值范圍 (答:(丄，址)；2 復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點是同增異減，(2) 特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時，一是勿忘定義域，如求函數(shù)f(x)»；x24x 3的單調(diào)遞增區(qū)間；二是在多個單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示.(3) 你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用 了嗎？(比較大小；解不等式；求參數(shù) 范圍).如已知奇函數(shù)f(x)是定義在(-2,2)上的減函數(shù)，若f (m-1) f (2m-1) .0,求12實數(shù)m的取值范圍。(答： 一一 ：m ： -)239. 常見的圖象變換 函數(shù)y = f X a (a . 0)的圖象是把

36、函數(shù) y = f X的圖象沿x軸向左平移a個單 位得到的。如設(shè)f(x)=2 = g(x)的圖像由f (x)的圖像向左平移1個單位得到，則g(x)為 (答: g(x) =2fS 函數(shù)y二f x a (a ： 0)的圖象是把函數(shù) y二f x的圖象沿x軸向右平移 a個單位得到的。如(1)若f (x+199) =4x2十4x+3，則函數(shù)f (x)的最小值為 (答: 2)； ( 2)要得到y(tǒng)=2(3*的圖像，只需作y=2x關(guān)于軸對稱的圖像，再向 平移3個單位而得到(答：y ； 右 )；特別提示：上面兩種是左右平移，可以間記為“左加右減” 函數(shù)y二f x + a (a 0)的圖象是把函數(shù) y = f x助

37、圖象沿y軸向上平移a個單 位得到的； 函數(shù)y = f (x ” a (a c0)的圖象是把函數(shù) y = f (x )助圖象沿y軸向下平移 a個單位得到的；如將函數(shù)y二 a的圖象向右平移 2個單位后又向下平移 2個單位，所得圖x +a象如果與原圖象關(guān)于直線y二x對稱，那么(A)a = -1,b = 0 (B)a = -1,bR (C)a=1,b=0(D)a=0,b R(答: C)特別提示：上面兩種是上下平移，可以間記為“上加下減”10. 函數(shù)的對稱性。 滿足條件f x -af b -x的函數(shù)的圖象關(guān)于直線 x = b對稱。如已知二次2函數(shù)f (x)二ax 5x3=0)滿足條件f (5-x)二f

38、(x-3)且方程f(x)二x有等根，則12丄f(x) =(答：-2乂 x)； 點(x, y)關(guān)于y軸的對稱點為(-x, y)；函數(shù)y = f x關(guān)于y軸的對稱曲線方程為 y = f -X ； 點(x, y)關(guān)于x軸的對稱點為(x, -y)；函數(shù)y二f x關(guān)于x軸的對稱曲線方程為y f x ； 點(x, y)關(guān)于原點的對稱點為(-x, -y)；函數(shù)y二f x關(guān)于原點的對稱曲線方程為 y 二 _f ：_x ； 形如y = ax b(c = 0,ad = bc)的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線x =ex 十 dc(由分母為零確定)和直線y = a (由分子、分母中x的系數(shù)確定)，對稱中心是點(-© ,亙)。cc c如已知函數(shù)圖象C 與 C : y(x a 1ax a21關(guān)于直線y=x對稱，且圖象C關(guān)于點(2，- 3)對稱，則a的值為 (答：2)|f(x)|的圖象先保留f