1、 使用使用n n階行列式的定義階行列式的定義計算計算n n階行列式階行列式非常繁瑣。為了非常繁瑣。為了簡化簡化n n階行列式的計算，可以階行列式的計算，可以利用行列式的行或列的變換利用行列式的行或列的變換。例如，例如，如果能將行列式都能等價地轉化為三角形行列式就如果能將行列式都能等價地轉化為三角形行列式就好計算了。好計算了。 為了解決行列式的計算問題，應先對為了解決行列式的計算問題，應先對行列式的性質行列式的性質進進行研究，本節將學習行列式的性質。行研究，本節將學習行列式的性質。課本課本1 .3 行列式的性質行列式的性質一、行列式的性質二、行列式的計算v性質性質1 行列式行列式D與它的與它的轉

2、置行列式轉置行列式DT相等相等 v行列式的轉置行列式的轉置 將行列式將行列式D的的行行變為變為相同序號的列相同序號的列后得到的行列式后得到的行列式,稱為稱為D的轉置行列式的轉置行列式 記為記為DT 或者或者 D a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D= = a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann 則則 DT= =即即一、一、行列式的性質行列式的性質1 .3 行列式的性質行列式的性質證明證明 detijDa= =記記的的轉轉置置行行列列式式,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD= = ,1,2,ijjibai jn=即即按定義按定

3、義 1212121nnt p ppTppnpDbbb= 又因行列式又因行列式DD可表示為可表示為 1212121.nnt p ppppp nDaaa= 故故.TDD = =證畢證畢v性質性質1 行列式行列式D與它的與它的轉置行列式轉置行列式DT相等相等 1212121.nnt p ppppp naaa= 由此性質可知由此性質可知 行列式中行列式中的的行與列行與列具有同等的地位具有同等的地位 行行列式的性質凡是列式的性質凡是對行成立的對行成立的對對列也同樣成立列也同樣成立 反之亦然反之亦然 v性質性質2 交換交換行列式的行列式的兩行兩行(列列) 行列式行列式改變符號改變符號 這是因為這是因為 把

4、這兩行把這兩行(列列)互換互換 有有D=D 故故D= =0 推論推論1 如果行列式有如果行列式有兩行兩行(列列)完全相同完全相同 則此行列式則此行列式等于等于零零 v性質性質3 用用數數k乘乘行列式的行列式的某一行某一行(列列)中中所有的元素所有的元素,等于用等于用數數k乘此行列式乘此行列式 即即證明證明 因為行列式因為行列式 的一般項為的一般項為 證畢。證畢。v性質性質3 用用數數k乘乘行列式的行列式的某一行某一行(列列)中中所有的元素所有的元素,等于用等于用數數k乘此行列式。乘此行列式。1 .3 行列式的性質行列式的性質 推論推論2 行列式中某一行行列式中某一行(列列)的所有元素的的所有元

5、素的公因子公因子可可以以提提到行列到行列式符號的外面式符號的外面 例如：例如：12121144 28(2 1)84161412=1 .3 行列式的性質行列式的性質注：第注：第i行（列）乘以數行（列）乘以數k記為記為 .l推論推論3 行列式中有行列式中有兩行兩行(列列)元素成比例元素成比例 證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211= =. 0= =則行列式等于則行列式等于零。零。1 .3 行列式的性質行列式的性質v性質性質4 若行列式的若行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素

6、都是兩個數之和都是兩個數之和 則行列式等于兩個行列式之和則行列式等于兩個行列式之和 例如例如v性質引申性質引申:若行列式的若行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素都是都是n個數之和個數之和 則行列式等于則行列式等于n個行列式之和個行列式之和 注：上述結果可推廣到注：上述結果可推廣到有限個有限個數和數和的情形的情形. .njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111v性質性質5 把行列式的某一把行列式的某一行行(列列)的所有元素的所有元素乘以乘以數數k，然后然后加加到另一行到另一行 (列列)對應位置的元素上去對應位置的元素上去 行列式的值行列式的值不變不變 11111

7、12122221()()()ijjnijjjnninjnjnjaakaaaaakaaaaakaaa = = k例如例如證明思路：證明思路：由性質由性質4 4，右，右式可表達為兩個行列式式可表達為兩個行列式的和，其中一個行列式的和，其中一個行列式與原行列式相同，與原行列式相同，另一另一個行列式的兩列成比例個行列式的兩列成比例，根據性質，根據性質4 4的推論的推論3 3，故結論得證故結論得證. .& 行列式行列式D與它的與它的轉置行列式轉置行列式DT相等相等 & 某一行某一行(列列) 的的公因子公因子可提可提到行列式符號的外面到行列式符號的外面 交換交換行列式的行列式的兩行兩行(列

8、列) 行列式行列式變號變號 l 行列式中有行列式中有兩行兩行(列列)完全相同完全相同 則此行列式則此行列式等于等于零零 &數數k乘乘 行列式行列式 等于等于數數k乘乘此行列式的此行列式的某一行某一行(列列) l 行列式中有行列式中有兩行兩行(列列)元素成比例元素成比例 則行列式則行列式等于等于零零.& 若行列式的若行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素都是兩個數之和都是兩個數之和 則行列式等于兩個行列式之和則行列式等于兩個行列式之和 & 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的的倍數倍數，加加到另一行到另一行 (列列)對對應的元素上去應的元素上去 行列式行列式不變不

9、變 行列式性質歸納行列式性質歸納 在計算行列式時在計算行列式時, 可以使用如下記號以便檢查可以使用如下記號以便檢查:v符號規定符號規定 第第i行行(或列或列)提出公因子提出公因子k 記作記作ri k(或或ci k) 交換交換i j兩行兩行,記作記作rirj ; 交換交換i j兩列兩列,記作記作 cicj 第第 j 行行(列列)的的 k 倍加到第倍加到第 i 行行(列列)上上 記作記作ri krj (ci kcj) 第第i行行(或列或列)乘以數乘以數k 記作記作rik(或或cik) 最后改變的是最后改變的是第第 i i 行行( (列列) )行行: : row 列列: : column1 .3 行

10、列式的性質行列式的性質計算行列式常用方法：計算行列式常用方法： 前面前面已經介紹過已經介紹過三角形行列式三角形行列式的計算方法，的計算方法，如果如果利用利用行列式的性質行列式的性質把把行列式行列式等價地轉化為三角等價地轉化為三角形行列式形行列式可以簡化計算可以簡化計算111212221122000nnnnnnaaaaaa aaa= = 二、行列式的計算二、行列式的計算1 .3 行列式的性質行列式的性質= = 2 1 4 3 1 1 3 3 1 3 2 1= 1 3 2 1 0 16 7 2= 0 1 2 3 1 2 1 1 0 0 10 8= 0 1 2 3 1 2 1 1 0 2 1 1 1

11、 1 0 5 =D 3 1 2 1 5 1 4 3 2 0 1 1 1 5 3 3 例例2 計算計算 解解 =D 3 1 2 1 5 1 4 3 2 0 1 1 1 5 3 3 3 5 2 1= c1c2 r2 r1r4 5r1 0 0 816 6 4 0 2 1 1 7 2 0 8 6 4= r2r3 0 0 10 8 0 015 10 r3 4r2r4 8r2 0 05/2 03445rr = =40 方法：方法：化三角形化三角形行列式行列式11121222000nnnnaaaaaa 例例3 計算計算 特點特點： 行和是定值行和是定值 或或 列和是定值列和是定值 解解 例例 計算計算 n

12、階行列式階行列式.abbbbabbDbbabbbba= =解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 = =D將第將第2,3, ,n 列都加到第列都加到第1 1列得列得仿照例仿照例3的特點的特點： 行和是定值行和是定值或或列和是定值列和是定值(1)000000000anbbbba ba ba b = = .)() 1(1 = =nbabna 1111anbbbbanbabbanbbabanbbba = = 第第2 2行至行至n n行每行行每行都減去第都減去第1 1行行abbbbabbbbabbbbaD= =方法總結：方法總結： 行和為定值行和為定值，各列加到第一列上；，各列

13、加到第一列上； 列和為定值列和為定值，各行加到第一行上，各行加到第一行上1 .3 行列式的性質行列式的性質 例例4 計算計算D= 1 .3 行列式的性質行列式的性質解：解：根據行列式的特點，可將第根據行列式的特點，可將第1 1列加至第列加至第2 2列，然后將第列，然后將第2 2列加列加至第至第3 3列，再將第列，再將第3 3列加至第列加至第4 4列，列，目的是使目的是使D D中的零元素增多中的零元素增多. .1 .3 行列式的性質行列式的性質 例例5 計算計算 dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD=3610363234232= Dr2 r1r3 r1r4 r1

14、a bcd0 aa ba b c0 2a3a 2b4a 3b 2c0 3a 6a 3b10a 6b 3ca bcd0 a a b a b c0 0a2a b0 03a7a 3b= r3 2r2r4 3r2a bcd0 a a b a b c0 0a2a b0 00 a= r4 3r3= =a4 = Dr4 r3r3 r2r2 r1a bcd0 aa ba b c0 a 2a b 3a 2b c0 a 3a b 6a 3b ca bcd0 a a b a b c0 0a2a b0 0a3a b= r4 r3r3 r2a bcd0 a a b a b c0 0a2a b0 00 a= r4 r3=

15、 =a4 解：解：法一法一法二法二1 .3 行列式的性質行列式的性質例例6 解方程解方程解：解： 從第二行開始每一行都減去第一行得從第二行開始每一行都減去第一行得由于由于所以解得方程的所以解得方程的n-1n-1個根為：個根為： 對對D1作運算作運算ri krj 把把D1化為化為下三角形行列式下三角形行列式 設為設為 證證 nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD =1111111111110000 kkkkaaaaD =11111nnnnbbbbD =11112 例例 證明證明D= =D1 D2 其中其中 對對D2作運算作運算ci kcj 把把D2化為化為下三角形行列式下三角形行列式 設為設為 kkkkkpppppD = = 0111111 nnnnnqqqqqD = = 0111112 于是于是 對對D的前的前k行作運算行作運算ri krj 再對后再對后n列作運算列作運算ci kcj 把把D化為下三角形行列式化為下三角形行列式 nnnnknkkkkqqqccccpppD =11111111110000 00 故故D= =p11 pkk q11 qnn= =D1 D2 行列式的性質行列式的性質共共8 8條條( (行列式中行列式中行與列具有同等的地位行與列具有同等的地位, ,行列式的性質行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立凡是對行