1、.不等式與函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)競(jìng)賽中我們經(jīng)常遇到這類(lèi)不等式：函數(shù)f(x)在(a,b)連續(xù)，x1,x2,x3(a,b)，且x1+x2+x3為定值，求或證明f(x1)+f(x2)+f(x3)的最值。本文將舉例給出解決此類(lèi)問(wèn)題的方法。首先我們建立以下三個(gè)定理。定理1 若連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)上下凸，對(duì)任意x0(a,b)，不等式成立；若連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)上上凸，給定的對(duì)任意x0(a,b)，不等式成立。定理1的幾何意義為：設(shè)M(x0，y0)為函數(shù)f(x)圖像上任意一點(diǎn)，若連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)上下凸，則除切點(diǎn)外，函數(shù)f(x)的圖像一定在點(diǎn)M(x0，y0)處的切線(如果存在切線)上

2、方；若連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)上上凸，則除切點(diǎn)外，函數(shù)f(x)的圖像一定在點(diǎn)M(x0，y0)處的切線(如果存在切線)下方。定理2 對(duì)任意，若連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)上下凸，當(dāng)時(shí)，不等式成立；若連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)上上凸，當(dāng)時(shí)，不等式成立。定理2的幾何意義為：若連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)上下凸，函數(shù)f(x)的圖像夾在點(diǎn)M，N之間的部分在過(guò)這兩點(diǎn)的弦的下方；若連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)上上凸，函數(shù)f(x)的圖像夾在點(diǎn)M，N之間的部分在過(guò)這兩點(diǎn)的弦的上方。定理3 函數(shù)f(x)在(a,b)上連續(xù)，給定的x0(a,b)，若對(duì)任意x(a,b)，不等式成立，則當(dāng)x1,x2(a,b)，且x

3、1+x2=2x0時(shí)，f(x1)+f(x2)2f(x0)成立；若對(duì)任意x(a,b)，不等式成立，則當(dāng)x1,x2(a,b)，且x1+x2=2x0時(shí)，f(x1)+f(x2)2f(x0)成立。定理3容易推廣到n個(gè)變量的情況。利用函數(shù)極限的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的定義，凸函數(shù)的定義不難證明這三個(gè)定理，本文從略。定理1，2實(shí)質(zhì)是“化曲為直”，利用切線或弦估計(jì)函數(shù)f(x)的情況。例1 已知，求證：證：記，則，而，故上式恒成立。從而，等號(hào)再a=b=c是成立。例2 已知x，y，z是正實(shí)數(shù)，且x+y+z=1，求證： (2003湖南省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)證：記（0<x<1），則f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，所以f(x)在

4、處的切線方程為：，下證：當(dāng)0<x<1時(shí)，不等式事實(shí)上，當(dāng)0<x<1時(shí)，成立，故成立，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，不等式成立。由定理3知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。說(shuō)明：(1)對(duì)給定的x0，若在(a,b)上成立，f(x)在(a,b)上并不一定下凸(或上凸)；(2)x0的選擇可視原不等式成立的條件而定。例3 已知a，b，c>0，證明：證：不仿a+b+c=3，a,b,c,>0，則原不等式等價(jià)于.記（0<x<3）在x=1處的切線為，下證：當(dāng)0<x<3時(shí)，. 事實(shí)上，當(dāng)時(shí),故，當(dāng)時(shí)，,從而當(dāng)0<x<3時(shí)，不等式成立，由定理3知：，等號(hào)

5、在a=b=c=1時(shí)取到。說(shuō)明：將本題的結(jié)論稍作變形，即可得出另一優(yōu)美的不等式。（a，b，c），此不等式與本例的不等式均出自中等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克問(wèn)題欄目。例4 正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2+b2+c2=1.求:的最小值.（加拿大國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)訓(xùn)練題，1989）解：令x=a2,y=b2,z=c2，則原題等價(jià)于正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1.求:的最小值.記函數(shù)（0<x<1）在處的切線方程為，下證：0<x<1時(shí)， 事實(shí)上，當(dāng)0<x<1時(shí)，從而不等式成立，由定理3知：，即的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。例5 已知均為銳角，且，求證：證明：令，則，于是記，則，現(xiàn)考慮, 為方

6、便，記，則因?yàn)椋允匠闪ⅰ亩闯闪ⅰ＠? 已知，求的最大值。解：記，則，所以當(dāng)時(shí)，上凸，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立。從而 ，等號(hào)再a=b=c是成立。例7 設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，證明： 證：由于齊次性，不妨設(shè)a+b+c=3，則問(wèn)題等價(jià)于（0<x<3）在處的切線方程為：，易證當(dāng)0<x<3時(shí)，事實(shí)上，當(dāng)0<x<3時(shí)，從而不等式成立。由定理3知：，但等號(hào)不能取到。例8 已知a,b,c為直角或鈍角三角形三邊，求證：證：不仿ab<c,a2+b2+c2=3，由于已知a,b,c為直角或鈍角三角形三邊，故3=a2+b2+c22c2，c2,又a+b>

7、c>0，故2(a2+b2)(a+b)2>c2,從而3=a2+b2+c2c2，c2<2，總之c2<2，1<a2+b2。(1) 記函數(shù)(0<x<3)，則，當(dāng)0<x<3時(shí)，從而函數(shù)在(0，3)上下凸，所以，故.由于在上是增函數(shù)，所以，故，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a2=b2=,c2=時(shí)取到.(2) 設(shè)a2+b2=k，則c2=3-k，1<k1.5，由定理2知：當(dāng)x(0,k)時(shí)，曲線全在直線y=的下方，所以,從而由(1)(2)本例不等式得證。說(shuō)明：三個(gè)變量時(shí)，一次放縮不便時(shí)，可先考慮對(duì)兩個(gè)變量的情況，這樣做即起減元之用，又起調(diào)節(jié)放縮差距之用。例9 已知0x,

8、y,z1,且x+y+z=1，求證：.證：記,易知:；.(1)，所以f(x)在x=0處的切線為：y=-x+1,而在0x1上恒成立，所以，等號(hào)在x=y=0，z=1時(shí)取到。(2) 當(dāng)時(shí)，f(x)下凹，當(dāng)時(shí)，f(x)上凸，過(guò)(0,1)，()的曲線在段的弦為，f(x)在x=處的切線為：,由函數(shù)凸性的幾何意義知：當(dāng)時(shí)，f(x)下凹，恒成立；當(dāng)時(shí)，f(x)上凸，恒成立。由于x+y+z=1及對(duì)稱(chēng)性，不妨xyz。 若x,y,z中有兩個(gè)數(shù)不小于,則y=z=,x=0,不等式右邊成立； 若x,y,z中有僅個(gè)數(shù)不小于,則z,設(shè)z=t，x+y=1-t,t,x,y，所以恒成立，記，g(t)的最小值為,所以不等式右邊成立；若

9、x,y,z都不大于,則所以，等號(hào)在x=0，y=z=時(shí)取到，所以不等式右邊成立。綜合知：不等式右邊成立。例10 設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，證明：證：不仿設(shè)a+b+c=3，從而原不等式可化為記函數(shù)（0<x<3）在處的切線方程為,因?yàn)楫?dāng)0<x時(shí)，成立，故，所以成立。由于a,b,c為正數(shù)，且a+b+c=3，故最多只有一個(gè)變量不小于。(1) 當(dāng)a,b,c均小于時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。(2)當(dāng)a,b,c中有變量不小于時(shí)，不妨a，記b+c=2t，a=3-2t，則。下證：對(duì)任意t，不等式在x(0,1.5時(shí)成立。事實(shí)上，不等式(x-t)2(6tx+3t2-2xt2-9)0，由于0<x1.5，所

10、以6tx+3t2-2xt2-9<0，而(x-t)20,從而對(duì)任意t，不等式在x(0,1.5時(shí)成立。于是有定理3知：=，由于，故。綜合(1)，(2)知：不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。例11 設(shè)正數(shù)a,b,c,x,y,z滿足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函數(shù)f(x,y,z)=的最小值。（2005全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，二試第二題）解：由條件易得：，由于a,b,c,x,y,z均為正數(shù)，所以，故以a,b,c為邊長(zhǎng)可構(gòu)成銳角三角形。設(shè)x=cosA,y=cosB,z=cosC，A+B+C=，且不妨0<ABC<，則B,C都不小于。令g(t)= (>t>0)，則g(

11、t)的導(dǎo)函數(shù)為g/(t)=，易知當(dāng)時(shí)，即函數(shù)g(t)在時(shí)下凸，所以,從而.等號(hào)可在A=B=C=，即x=y=z=時(shí)取到，所以函數(shù)f(x,y,z)的最小值為.下面是贈(zèng)送的勵(lì)志散文欣賞，不需要的朋友下載后可以編輯刪除！上面才是您需要的正文。十年前，她懷揣著美夢(mèng)來(lái)到這個(gè)陌生的城市。十年后，她的夢(mèng)想實(shí)現(xiàn)了一半，卻依然無(wú)法融入這個(gè)城市。作為十年后異鄉(xiāng)的陌生人，她將何去何從？筆記本的字跡已經(jīng)模糊的看不清了，我還是會(huì)去翻來(lái)覆去的看，依然沉溺在當(dāng)年那些羈絆的年華。曾經(jīng)的我們是那么的無(wú)理取鬧，那么的放蕩不羈，那么的無(wú)法無(wú)天，那么輕易的就可以拋卻所有去為了某些事情而孤注一擲。     

12、  而后來(lái)，時(shí)光荏苒，我們各自離開(kāi)，然后散落天涯。如今，年年念念，我們只能靠回憶去彌補(bǔ)那一程一路走來(lái)落下的再也拾不起的青春之歌。從小，她就羨慕那些能夠到大城市生活的同村女生。過(guò)年的時(shí)候，那些女生衣著光鮮地帶著各種她從來(lái)沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的精致東西回村里，讓她目不轉(zhuǎn)睛地盯著。其中有一個(gè)女孩是她的閨蜜，她時(shí)常聽(tīng)這個(gè)女孩說(shuō)起城市的生活，那里很繁華，到處都是高樓大廈，大家衣著體面這一切都是她無(wú)法想像的畫(huà)面，但是她知道一定是一個(gè)和村子截然不同的地方。她夢(mèng)想著有一天能夠像這個(gè)閨蜜一樣走出村子，成為一個(gè)體面的城市人。 在她十八歲那年，她不顧父母的反對(duì)，依然跟隨閨蜜來(lái)到了她夢(mèng)想中的天堂。盡管在路途中

13、她還在為父母要和她斷絕關(guān)系的話感到難過(guò)，但是在她親眼目睹城市的繁華之后，她決心要賺很多錢(qián)，把父母接到城市，讓父母知道她的選擇是正確的。 可是很快，她就發(fā)現(xiàn)真實(shí)的情況和她想象的完全不一樣。閨蜜的光鮮生活只是表面，實(shí)則也沒(méi)有多少錢(qián)，依賴(lài)于一個(gè)紈绔子弟，而非一份正當(dāng)?shù)墓ぷ鳌６葲](méi)有學(xué)歷、又沒(méi)有美貌，也不適應(yīng)城市生活，閨蜜也自顧不暇，沒(méi)有時(shí)間和多余的錢(qián)幫助她。這樣的她，連生活下去都成問(wèn)題，更別說(shuō)賺大錢(qián)了。倔強(qiáng)的她沒(méi)有因此放棄，而是更加堅(jiān)定要作為一個(gè)異鄉(xiāng)人留在這里打拼，相信自己一定可以實(shí)現(xiàn)夢(mèng)想。 一開(kāi)始，她只能做清潔工、洗碗工等不需要學(xué)歷的工作，住在樓梯間，一日三餐只吃一餐。周?chē)?/p>

14、人對(duì)于一個(gè)年輕女孩做這類(lèi)型工作都會(huì)投以異樣的眼光，在發(fā)現(xiàn)她一口鄉(xiāng)音的時(shí)候就立即轉(zhuǎn)為理所當(dāng)然的表情。自尊心強(qiáng)的她受不了這兩種目光，在工作的時(shí)候默默地留意城市人說(shuō)話的語(yǔ)音語(yǔ)調(diào)，和內(nèi)容。 當(dāng)她做到說(shuō)話的時(shí)候沒(méi)有人能聽(tīng)出她來(lái)自鄉(xiāng)下的時(shí)候，她開(kāi)始到各家小企業(yè)應(yīng)聘。雖然她應(yīng)聘的崗位都是企業(yè)里最基層的職位，但是她依然到處碰壁。最后終于有一家企業(yè)愿意聘用她，但是工資只有行情的一半，而且工作又多又累。盡管如此，她還是簽了合同上班了。她每天都要戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢地等待同事們的叫喚，偷偷地觀察別人，謙卑地請(qǐng)教別人關(guān)于工作上的問(wèn)題。也許是她的態(tài)度良好，工作盡責(zé)，同事們都愿意在空閑的時(shí)候教她一些東西，讓她受益匪淺。她一

15、天一天地學(xué)習(xí)著、進(jìn)步著，慢慢脫離了以前鄉(xiāng)下的生活，一步一步地走進(jìn)城市。 十年后，她已經(jīng)是企業(yè)里的第二把手，深得老板器重。誰(shuí)也想不到十年前的她不過(guò)是一個(gè)剛從鄉(xiāng)下出來(lái)的農(nóng)村女孩。現(xiàn)在的她有著高收入，有車(chē)有房，但是她并不快樂(lè)。因?yàn)槲迥昵八卩l(xiāng)下的父母去世了，鄰居聯(lián)絡(luò)不到她。直到兩年前她事業(yè)有成之后回鄉(xiāng)接父母才知道這件事。在鄉(xiāng)下，待在沒(méi)有父母的家里時(shí)，衣著光鮮的她和周?chē)沫h(huán)境格格不入。所以她很快回到了城市，重新投入工作，卻越來(lái)越空虛。因?yàn)樗@十年來(lái)所付出的一切都是為了父母，如今父母不在了，她也失去了快樂(lè)。 她原以為十年的時(shí)間能夠讓她徹底變成一個(gè)城市人，但是她沒(méi)有想到她十年后依然是異

16、鄉(xiāng)的陌生人，無(wú)法和父母一起在城市有一個(gè)家，依舊孤零零地在城市里寂寞著>>>>>>指尖的香煙       煙草的氣味，不知什么時(shí)候就開(kāi)始蔓延。如同那陣陣襲來(lái)的壓抑，慢慢侵蝕我們唯留的一點(diǎn)點(diǎn)青春笑顏。黑板的一角，突然就被羅列出來(lái)一小塊記錄著距離某一個(gè)日子還余下的天數(shù)。接下來(lái)的生活，便因那個(gè)倒計(jì)時(shí)的數(shù)字，變得更加麻木。       而我們卻還那么無(wú)所事事的躺在校園的花叢中，看透過(guò)樹(shù)蔭外的天空。陽(yáng)光在那個(gè)時(shí)候似乎也忘記了灼傷我們，就任憑我們一天天的觀望。應(yīng)該說(shuō)，那些空洞蒼白的日子，是我們

17、彼此撐過(guò)來(lái)的吧。我們就那么一天天的一起觀望天空，一起想象以后的日子，一起數(shù)著教學(xué)樓房頂?shù)镍澴印Ｏ袷窃诘却澜缒┤諄?lái)臨前一定要把一切觀夠般，校園里有幾棵榕樹(shù)，哪棵樹(shù)上斷了一枝，哪棵樹(shù)上有個(gè)經(jīng)年的鳥(niǎo)窩，我們都清清楚楚。那時(shí)的我們就這么天真，雖然明知某一天很快就會(huì)到來(lái)。我在想，那時(shí)我們還是個(gè)孩子吧       而好的孩子是不會(huì)抽煙的，那么，我們應(yīng)該是一群壞小孩。我們都那么無(wú)以復(fù)加的喜歡看指尖的煙霧，因?yàn)槟切浡母杏X(jué)就如十八歲那一年的年華。我們一無(wú)所有。  >>>>>>后校門(mén)的鐵門(mén)   

18、;    那時(shí)的我們總是若飛鳥(niǎo)般渴望外界，而學(xué)校卻如同囚籠，囚禁著我們一切的希望與自由。那些保安的可惡嘴臉我們?cè)黄饑L試過(guò)多少次。而后來(lái)，我們終于屈服了，開(kāi)始另辟蹊徑。或?qū)櫺旁S上蒼還是垂青我們的吧，讓我們這群叛逆的孩子發(fā)現(xiàn)了那扇銹跡斑斑的鐵門(mén)。       翻越鐵門(mén)成了我們最開(kāi)心的事，校服被掛破了，我們還在下面沒(méi)心沒(méi)肺的笑。仿佛鐵門(mén)的另一邊就是騰格里的長(zhǎng)生天，而里面，便是煉獄。有人說(shuō)過(guò)，世上本沒(méi)有路，走的人多了也就成了路。銹跡班班的鐵門(mén)成了我們通往外界的坦途。       當(dāng)重新翻開(kāi)記憶，想起那

19、段飛檐走壁的日子，突然就開(kāi)心的笑起來(lái)。只是不知道掛在鐵門(mén)上的校服裂布，是否在經(jīng)歷了歲月洗禮后，還像以往一樣招搖。就如同當(dāng)年的我們，散落以后，如今真的很想知道各自到底過(guò)的好嗎？ >>>>>>一路公交車(chē)的盡頭中秋佳節(jié)演講詞推薦中秋,懷一顆感恩之心老師們，同學(xué)們：秋濃了，月圓了，又一個(gè)中秋要到了!本周日，農(nóng)歷的八月十五，我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)。中秋節(jié)，處在一年秋季的中期，所以稱(chēng)為“中秋”，它僅僅次于春節(jié)，是我國(guó)的第二大傳統(tǒng)節(jié)日。中秋的月最圓，中秋的月最明，中秋的月最美，所以又被稱(chēng)為“團(tuán)圓節(jié)”。金桂飄香，花好月圓，在這美好的節(jié)日里，人們賞月、吃月餅、走親訪友

20、無(wú)論什么形式，都寄托著人們對(duì)生活的無(wú)限熱愛(ài)和對(duì)美好生活的向往。中秋是中華瑰寶之一，有著深厚的文化底蘊(yùn)。中國(guó)人特別講究親情，特別珍視團(tuán)圓，中秋節(jié)尤為甚。中秋，是一個(gè)飄溢親情的節(jié)日;中秋，是一個(gè)彌漫團(tuán)圓的時(shí)節(jié)。這個(gè)時(shí)節(jié)，感受親情、釋放親情、增進(jìn)親情;這個(gè)時(shí)節(jié)，盼望團(tuán)圓、追求團(tuán)圓、享受團(tuán)圓這些，都已成為人們生活的主旋律。同學(xué)們，一定能背誦出許多關(guān)于中秋的千古佳句，比如“舉頭望明月，低頭思故鄉(xiāng)”、“但愿人長(zhǎng)久，千里共嬋娟”、“海上生明月，天涯共此時(shí)”這些佳句之所以能穿透歷史的時(shí)空流傳至今，不正是因?yàn)槲覀內(nèi)祟?lèi)有著的共同信念嗎。中秋最美是親情。一家人團(tuán)聚在一起，講不完的話，敘不完的情，訴說(shuō)著人們同一個(gè)心聲

21、：親情是黑暗中的燈塔，是荒漠中的甘泉，是雨后的彩虹中秋最美是思念。月亮最美，美不過(guò)思念;月亮最高，高不過(guò)想念。中秋圓月會(huì)把我們的目光和思念傳遞給我們想念的人和我們牽掛的人，祝他們沒(méi)有憂愁，永遠(yuǎn)幸福，沒(méi)有煩惱，永遠(yuǎn)快樂(lè)! 一、活動(dòng)主題：游名校、賞名花，促交流，增感情二、活動(dòng)背景：又到了陽(yáng)春三月，陽(yáng)光明媚，微風(fēng)吹拂，正是踏青春游的好時(shí)節(jié)。借春天萬(wàn)物復(fù)蘇之際，我們?nèi)嗑奂谝黄穑舜硕嘁稽c(diǎn)接觸，多一點(diǎn)溝通，共話美好未來(lái)，與此同時(shí)，也可以緩解一下緊張的學(xué)習(xí)壓力。 相信在這次春游活動(dòng)中，我們也能更親近的接觸自然，感悟自然，同時(shí)吸收萬(wàn)物之靈氣的同時(shí)感受名校的人文氣息。三、活動(dòng)目的：1. 豐富同學(xué)們的校園生

22、活，陶冶情操。2. 領(lǐng)略?xún)?yōu)美自然風(fēng)光，促進(jìn)全班同學(xué)的交流，營(yíng)造和諧融洽的集體氛圍。 3. 為全體同學(xué)營(yíng)造一種輕松自由的氣氛，又可以加強(qiáng)同學(xué)們的團(tuán)隊(duì)意識(shí)。 4. 有效的利用活動(dòng)的過(guò)程及其形式，讓大家感受到我們班級(jí)的發(fā)展和進(jìn)步。四、活動(dòng)時(shí)間：XX年3月27日星期四五、活動(dòng)參與對(duì)象：房產(chǎn)Q1141全體及“家屬”六、活動(dòng)地點(diǎn)：武漢市華中農(nóng)業(yè)大學(xué)校內(nèi)七、活動(dòng)流程策劃：1、27日8點(diǎn)在校訓(xùn)時(shí)集合，乘車(chē)2、9點(diǎn)前往華農(nóng)油菜基地、果園，賞花攝影       喜歡一個(gè)人或許真的沒(méi)有理由吧，這個(gè)不清楚。但是我們都很清楚的是那一年我們突然就喜歡干一件讓老師頭痛的事情逃課。焦躁的日子總會(huì)被我們顛覆。那個(gè)倒計(jì)時(shí)牌將我們壓得喘不過(guò)起來(lái)的時(shí)候，我們便開(kāi)始逃避，隨心所欲的上課法成了那時(shí)我們唯一的樂(lè)趣。一群大小孩，就這樣開(kāi)始了交接班式的逃課。       我們已經(jīng)很輕易的就可以越過(guò)那扇希望之門(mén)。而門(mén)外，那一路公車(chē)就成了我們的生命線。       喜歡一直坐公車(chē)直到盡頭，喜歡盡頭的那條馬路，喜歡那條馬路邊的一簇簇綠茵。那里沒(méi)有城