1、 2-8 定積分定積分 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設曲邊梯形是由連續曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 S .?A)(xfy 1. 定積分的概念定積分的概念矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bah?S1xix1ixxabyo解決步驟解決步驟 :在區間 a , b 中任意插入 n 1 個分點bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;(2)近似代替近似代替在第i 個窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩形, 并以此小矩形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積,iS得1()(iiiiiixxxxfS

2、),2, 1,nii(1) 分割分割(3) 求和求和niiSS1niiixf1)(4) 取極限取極限.1 (max1中最大者是其中nixxiini則曲邊梯形面積niiSS1niiixxf10max)(limxabyo1xix1ixi前頁前頁結束結束后頁后頁解解 (1) 分割分割變力做功變力做功 在在 插入插入n個分點個分點0121 innassssssb , a b 設質量為設質量為m的物體沿直線運動。假定它所受的力可的物體沿直線運動。假定它所受的力可 以表示為它到初始點的距離以表示為它到初始點的距離s的函數的函數f(s).求物體自求物體自s=a 到到s=b外力所做的功外力所做的功W.將閉區間

3、將閉區間a,b分成分成n個小區間個小區間:011211 , ,iinns ss sssss 1 (1,2, )iiisssin 小區間的長度小區間的長度(2)近似代替近似代替 在每一個小區間在每一個小區間 上任取一點上任取一點 ,把把 做為做為質點在小區間上受力的近似值質點在小區間上受力的近似值,于是于是,力力F在小區間在小區間 上對質點所做的功的近似值為上對質點所做的功的近似值為1,iiss i 1,iiss )(ifiisf)()(1iiissf), 2 , 1(ni (3) 求和求和 把各小區間上力把各小區間上力f 所做的功的近似值加起來所做的功的近似值加起來,即得到即得到在區間在區間

4、上所做功的近似值上所做功的近似值,即即 ,a b (4)取極限取極限iniisfW)(1 令所有小區間的最大長度令所有小區間的最大長度 時時,和式和式 的極限即為變力在區間的極限即為變力在區間 上對物體所做的功上對物體所做的功,即即 ,a b0maxisiniissfWi)(lim10max0121011211 ( ) , , 1: : , : , ,nniinnf xa ba bnTaxxxxxba bnx xx xxxxx設函數定義在上，在中任意插入個分點 分割把區間分成 個小區間定義定義各小區間的度為：各小區間的度為：., 2 , 11nixxxiii, 2 , 1|max)T(nixi

5、令;, 2 , 1,)(nixfii作乘積：上任在,1iixx，意取一點i并作并作和式；和式；niiixf1)(（稱作積分和或黎曼和）（稱作積分和或黎曼和）.abxoi1xix1ix前頁前頁結束結束后頁后頁baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分下限被積函數被積表達式積分變量積分和稱為積分區間,ba 根據定積分的定義，前面所討論的兩個引例就可根據定積分的定義，前面所討論的兩個引例就可 以用定積分概念來描述：以用定積分概念來描述： 曲線曲線 、x軸及兩條直線軸及兩條直線x=a,x=b所圍所圍成的曲邊梯形面積成的曲邊梯形面積S等于函數等于函數f(x)在區間在區間a,b上的定積上的定積

6、分，即分，即)0)()(xfxfbadxxfS)( 如果函數如果函數f(x)在區間在區間a,b上的定積分存在，則稱函上的定積分存在，則稱函數數f(x)在區間在區間a,b上可積上可積. 質點在變力質點在變力f(s)作用下作直線運動，由起始位置作用下作直線運動，由起始位置a移動到移動到b，變力對質點所做之功等于函數，變力對質點所做之功等于函數f(s)在在a,b上的定積分，即上的定積分，即 可以證明可以證明:閉閉區間區間上的上的連續連續函數或單調函數或單調函數函數或只有有或只有有限個第一類間斷點限個第一類間斷點的函數的函數, ,在該在該閉閉區間上可積區間上可積.(.(證明略證明略) )可積函數一定有

7、界可積函數一定有界badttfW)( 關于定積分的概念，應注意兩點關于定積分的概念，應注意兩點: (1)定積分定積分 是積分和式的極限，是一個數是積分和式的極限，是一個數值，定積分值只與被積函數值，定積分值只與被積函數f(x)及積分區間及積分區間a,b有關，而與積分變量的記法無關有關，而與積分變量的記法無關.即有即有.d)(d)(d)( bababauufttfxxfxxfbad )(2)在定積分在定積分 的定義中，總假設的定義中，總假設 ，為了，為了 今后的使用方便，對于今后的使用方便，對于 時作如下規定：時作如下規定：xxfbad )(ba baba ，.d )(d )( ,0d )( x

8、xfxxfbaxxfbabaabba時當；時，當 如果在如果在a,b上上 ，此時，此時由曲線由曲線y=f(x)，直線，直線x=a，x=b及及x軸所圍成的曲邊梯形位于軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的軸的下方，則定積分下方，則定積分 在幾何在幾何上表示上述曲邊梯形的面積上表示上述曲邊梯形的面積A的相反數的相反數.定積分的幾何意義：定積分的幾何意義： 如果在如果在a,b上上 ，則，則 在幾何上表在幾何上表示由曲線示由曲線y=f(x)，直線，直線x=a，x=b及及x軸所圍成的曲邊梯形的面積軸所圍成的曲邊梯形的面積.0)(xfbaxxfd)( )0f x( )dbaf xxax( )yf x oybax(

9、)yf x oyb 如果在如果在a,b上上f(x)既可取正值又可取負值，則定既可取正值又可取負值，則定積分積分 在幾何上表示介于曲線在幾何上表示介于曲線y=f(x)，直線，直線x=a，x=b及及x軸之間的各部分面積的代數和軸之間的各部分面積的代數和.baxxfd)(1324( )d()()baf xxAAAA 1234AAAAx y= f (x)aboyA4A3A2A1() dbaAfxx前頁前頁結束結束后頁后頁o1 xyni例例 利用定義計算定積分.d102xx解解將 0,1 n 等分, 分點坐標為,11nx ,nii取),2, 1(ni2xy , 00 x,22nx ,11niix,nii

10、x ,. 1nnnx將閉區間將閉區間0,1分成分成n個小區間個小區間:,2,1nn,1, 0n,1nini,.1 ,1nn各小區間的長度為：各小區間的長度為：., 2 , 1,1ninxi),1(iixninii作為的右端點個區間取第前頁前頁結束結束后頁后頁iinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniiiixxf2)(則32ninni1)(2iniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nno1 xyni2xy ), 2 , 1(ni前頁前頁結束結束后頁后頁注注 利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nn

11、nn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233兩端分別相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n性質性質 兩個函數代數和的定積分等于它們定積分的代數兩個函數代數和的定積分等于它們定積分的代數和，和，即即 ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxg xx 定積分的性質定積分的性質 設下面函數設下面函數 f (x) 及及 g(x) 在在 a,b 上可積上可積.推論推論 有限個函數的代數和的定積分等于各函數的積有限個函數的代數和的定積分等于各函數

12、的積分的代數和，即分的代數和，即1212( )( )( )d ( )d( )d( )d .bnabbbnaaafxfxfxxfxxfxxfxx , ( )0a bf x 如果在區間上恒有，則性質性質1(0.)dbaf xx 如果積分區間如果積分區間a,b被分點被分點c分成區間分成區間a,c和和c,b, 則則( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx性質性質5 性質性質5 表明定積分對表明定積分對積分區間具有可加性積分區間具有可加性，這個，這個性質可以用于求分段函數的定積分性質可以用于求分段函數的定積分.性質性質4 4 被積函數的常數因子可以提到積分號外被積函數的常數因子可以提

13、到積分號外. . ( )d( )d ().bbaakf xxkf xxk是任意常數性質性質3 , ( )( )a bf xg x如果在區間上恒有，則 ( )d( )d .bbaaf xxg xx前頁前頁結束結束后頁后頁 當當c在區間在區間a,b 之外時，上面表達式也成立之外時，上面表達式也成立.證證: 當bca時,因)(xf在,ba上可積 ,所以在分割區間時, 可以永遠取 c 為分點 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(前頁前頁結束結束后頁后頁abc當 a , b , c 的相對位置任意時, 例如,cba則有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)