1、二、實數的絕對值及其基本性質定義定義1.1的絕對值定義為的絕對值定義為是一個實數，則是一個實數，則設設xx的幾何意義是：的幾何意義是：絕對值絕對值 x 時時，當，當時時當當00,xxxxx.,0axaxa距離小于等于距離小于等于到原點的到原點的表示點表示點不等式不等式設設 .的距離的距離到到表示點表示點Oxx.之間的距離之間的距離與點與點則表示點則表示點而而yxyx 絕對值有以下一些基本性質：絕對值有以下一些基本性質：;0.1 x. )0(.8 yyxyx;.4xxx ;.2xx ;.5yxyx ;.6yxyx ;.7yxxy | , 0. 9axaxaxxa 若若| , 0.10axxaxx

2、axxa 若若;.32xx ;.),(bxaxba 開區間開區間區間的表示及含義：區間的表示及含義：. ),(baba和和間間類似地還有半開半閉區類似地還有半開半閉區.,bxaxba 閉區間閉區間OxabOxab.稱為區間的長度稱為區間的長度ab 三、區間與鄰域,baba 為實數，且為實數，且設設;),axxxaxa ;),(axxaxxa OxaOxa.R),( xx端點為無限的區間表示及其含義：端點為無限的區間表示及其含義：鄰域的概念鄰域的概念,)(,000鄰域鄰域的的為為我們稱我們稱設設 xxO ),()(000 xxxO.)()(000的半徑的半徑稱為稱為的中心點，的中心點，稱為稱為其

3、中其中xOxOx .),(),()(0000000去心鄰域去心鄰域的的稱為稱為 xxxxxxxO 0 xO)(0 xO x.),(),(000000的右鄰域的右鄰域稱為稱為的左鄰域，的左鄰域，稱為稱為其中其中xxxxxx 表表示示什什么么？例例：5 . 0|2| xx為為半半徑徑的的空空心心領領域域？為為中中心心，以以例例13.0 x)2(5 . 0O)4 , 3()3 , 2( 一、變量與函數一、變量與函數 在某一變化過程中始終保持不變的量稱為在某一變化過程中始終保持不變的量稱為常量常量( (a,b,c).).在某一過程中不斷變化的量稱為在某一過程中不斷變化的量稱為變量變量( (x,y,z)

4、. .,上的一個函數上的一個函數為定義在實數集合為定義在實數集合則則應法應法與之對應，則稱這個對與之對應，則稱這個對，都有唯一的一個實數，都有唯一的一個實數，使得對于每一個，使得對于每一個則（也說對應規則）則（也說對應規則）如果存在一個確定的法如果存在一個確定的法集合集合屬于某實數屬于某實數變量變量與與設有兩個變量設有兩個變量DfyDxfDxyx 定義定義1.2Dxxfy , )(記作記作.稱為因變量稱為因變量通常稱為自變量，通常稱為自變量，yx1.2 函數概念 )(),()(fDxxfyyfR 即即. )( fRf 的值域，記為的值域，記為函數函數全體函數值的集合稱為全體函數值的集合稱為:)

5、1( 函數的兩個要素函數的兩個要素.)(ffD和對應法則和對應法則定義域定義域兩個函數相同：定義域和對應法則都相同兩個函數相同：定義域和對應法則都相同 .)( fD通常記為通常記為.的定義域的定義域稱為稱為 fD說明：說明：是否為函數？是否為函數？與與yxxy)2+arcsin(=2是否為相同的函數？是否為相同的函數？與與xxyxy32=.,)2(母母表表示示無無關關自自變變量量與與因因變變量量也也與與字字等等表表示示也也可可用用其其他他符符號號對對應應法法則則hgFf學學式式子子。可可換換成成其其他他的的字字母母或或數數施施用用于于表表示示將將法法則則函函數數xxfxf,)()3(?)(?)

6、(?)1(,)(:2 xffafxfxxf則則若若例例;)1()1(2 xxf解：解： 4222)()(xxxfxff ;)(2aaf .)4(有有意意義義的的自自變變量量的的集集合合一一般般定定義義域域是是指指使使函函數數.ln111的定義域的定義域例：確定例：確定xexy , 0ln10 xx且且解：只需解：只需.0exx 且且因此因此),(), 0(0| eeexxxD且且故定義域為故定義域為.)3ln(112的的定定義義域域練練習習：確確定定 xxy二、函數的表示法二、函數的表示法函數的表示法：函數的表示法：例例1 1如下表所示：如下表所示：年代世界人口增長情況年代世界人口增長情況世紀

7、世紀6020表格法、圖示法和解析法（公式法）表格法、圖示法和解析法（公式法）. .公元公元年份年份/t百萬百萬人口人口/n196019611962196319641965196619671968297230613151321332343285335634203483.24.示示的氣溫變化曲線如圖所的氣溫變化曲線如圖所小時小時設某天設某天化情況化情況變變記錄儀記錄某地的氣溫記錄儀記錄某地的氣溫某氣象站用溫度自動某氣象站用溫度自動例例2 2OtC0TtTP10203024 有些函數在它的定義域的不同部分有些函數在它的定義域的不同部分, ,其表達式其表達式不同，亦即用多個解析式表示函數，這類函數稱不

8、同，亦即用多個解析式表示函數，這類函數稱為為分段函數分段函數. . 0,0,xxxxxy當當當當,xy 取整函數取整函數,3,2,1,0,1, nnxnnxyOxyxy 例如，絕對值函數例如，絕對值函數例如例如, ,即即的最大整數的最大整數表示不超過表示不超過,xx.關系的方法稱為解析法關系的方法稱為解析法用解析表達式表示函數用解析表達式表示函數1 xxx注意：注意：1. 分段函數的定義域是其各段子區間的并集；分段函數的定義域是其各段子區間的并集；,:x對任意的實數對任意的實數可以證明可以證明-4-224-4-224xyOy=x有不等式有不等式2. 分段函數在其整個定義域上是一個函數，而分段函

9、數在其整個定義域上是一個函數，而不是幾個函數不是幾個函數. . 0201)(2xxxxxf例：例：)1(),1( ff求定義域及求定義域及; 011)1( f1)1()1(2 fKey:).2(,22211211)( xfxxxxxxxf求求例：設函數例：設函數,0015213)2( xxxxxxxfKey:)2 ,(2| xxD定義域定義域1.3 函數的幾何特征一、單調性二、有界性三、奇偶性四、周期性上有定義，上有定義，在實數集在實數集設函數設函數Dxf )(定義定義1.3一、單調性.減函數統稱為單調函數減函數統稱為單調函數單調遞增函數或單調遞單調遞增函數或單調遞當當,21Dxx21xx 時

10、時, )()(21xfxf若若稱稱 )(xf為為 D上的上的單調遞增函數單調遞增函數 ;, )()(21xfxf若若稱稱 )(xf為為 D上的上的單調遞減函數單調遞減函數 ., )()(21xfxf若若稱稱 )(xf為為 D 上的上的嚴格單調減函數嚴格單調減函數 .二、有界性定義定義1.4,0 M使使,)(Mxf 稱稱 )(xfM 使使,)(Mxf 稱稱 )(xf為為D上上有界函數有界函數.在在 D上有上界上有上界. 使使,)(Mxf 稱稱 )(xf在在 D上有下界上有下界. ,Dx ,Dx 上有定義，上有定義，在實數集在實數集設函數設函數Dxf )(即有上界又有下界。即有上界又有下界。有界有

11、界)()(xfxf例例2xy 函數函數.), 0(內是嚴格單增的內是嚴格單增的在在 .),(內不是單調函數內不是單調函數但在但在 ;)0,(內是嚴格單減的內是嚴格單減的在在 yx2xy O11內有界，內有界，在在例如，函數例如，函數),(sin xyOxybAy aBy .所示所示軸的直線之間，如下圖軸的直線之間，如下圖在兩條平行于在兩條平行于有界函數的圖形完全落有界函數的圖形完全落x幾何特征幾何特征時無界。時無界。時有界；在時有界；在在在)1 , 1(), 11-xxxy 論的區間有關。論的區間有關。注：函數有界性與所討注：函數有界性與所討一一嗎嗎？問問題題：有有界界函函數數的的界界唯唯不唯

12、一不唯一!定義定義1.6三、奇偶性,Dx 且有且有,Dx 若若, )()(xfxf 則稱則稱 f (x) 為為偶函數偶函數;若若, )()(xfxf 則稱則稱 f (x) 為為奇函數奇函數. 上有定義，上有定義，在實數集在實數集設函數設函數Dxf )(說明說明:)()2(xf若若在在 x = 0 有定義有定義 ,. 0)0( f則當則當必有必有(1)奇奇,偶函數的定義域必須對稱于坐標原點偶函數的定義域必須對稱于坐標原點.)(xf為奇函數時為奇函數時, 0, 1e0,e1)()2( ;11ln)()1(xxxgxxxfxx-偶偶性性：例例：判判別別下下列列函函數數的的奇奇奇函數奇函數偶函數偶函數

13、.如圖所示如圖所示軸對稱軸對稱數的圖形關于數的圖形關于對稱，而偶函對稱，而偶函奇函數的圖形關于原點奇函數的圖形關于原點y幾何特征幾何特征)( xf yx)(xfO)(xfy x xyx)( xf )(xfy O)(xfx x定義定義1.7. )( ,)( )(, , , )( 為周期函數為周期函數則稱則稱成立成立且且恒有恒有對任意的對任意的，使得，使得非零常數非零常數如果存在如果存在內有定義內有定義在集合在集合設函數設函數xfxfTxfDTxDxTDxf . )( 0簡稱周期簡稱周期基本周期，基本周期，稱為，稱為滿足上式的最小正數滿足上式的最小正數xfT四、周期性.相同相同的兩個相鄰區間上圖形

14、的兩個相鄰區間上圖形圖形特征：長度為圖形特征：長度為T定義定義1.8.)()(, )(,)(, )()(, )(, )(, )()(1的反函數的反函數并稱其為函數并稱其為函數記作函數為記作函數為為自變量的函數為自變量的函數上以上以是定義在是定義在則則與之對應且滿足與之對應且滿足都有唯一確定的都有唯一確定的如果對每一個如果對每一個是是值域值域的定義域是的定義域是設函數設函數xfyfRyyfxyfRxxfyfDxfRyfRfDxfy .)()()1(1的值域和定義域的值域和定義域的定義域和值域分別是的定義域和值域分別是反函數反函數xfyyfx -)(),()()2(11fRxxfyyfx -常記為

15、常記為反函數反函數說明：說明：1.4 反函數xyO.)()()4(1對稱對稱圖形關于直線圖形關于直線的的的圖形與其反函數的圖形與其反函數函數函數xyxfyxfy )(xfy 直接函數直接函數),(abQ),(baP)(1xfy 反函數反函數xy 直線直線 .;)3(一一一一對對應應函函數數有有反反函函數數數數嚴嚴格格單單調調函函數數必必有有反反函函?), 0(?),(:2呢呢在在上有反函數嗎上有反函數嗎在在例例 xy由原函數可解得由原函數可解得 yyyfx22)1(21)(1將將x與與y互換互換,得反函數得反函數 212211)1(21)(1xxxxxfy11y21 y例：求例：求 的反函數及

16、其定義域。的反函數及其定義域。21)2(210122xxxxy解：解：求反函數的過程求反函數的過程)(xfy )(1yfx )(1xfy 定義定義1.9)(),(),()(),(),(gRugDxxgufRyfDuufy 已知函數已知函數.,稱為中間變量稱為中間變量而而稱為自變量稱為自變量稱為因變量稱為因變量其中其中uxy.)()()()(),(,)()(復合而成的復合函數復合而成的復合函數和和為由函數為由函數則稱函數則稱函數（空集）（空集）如果如果xguufyfDxgxxxgfygRfD .)()()(的的定定義義域域為為復復合合函函數數稱稱xgfyfDxgx 1.5 復合函數例例.cos)

17、(),1ln()()2(;ln)(, 1)()1(.2xxguuufyxxguuufy 其定義域其定義域可以，求出復合函數及可以，求出復合函數及復合成復合函數，若復合成復合函數，若討論下列各組函數可否討論下列各組函數可否解解,1)()1( uufD因因于是于是1)()( uugRfD可以復合成復合函數，可以復合成復合函數，與與所以所以xuuufln1)( 其表達式為其表達式為, 1ln xy.e,1ln1 xxxx即即定義域為定義域為,)( uugR, ,11)()2( uuuufD因因所以所以注意注意).(xgfy 復合函數復合函數故此兩函數不能復合成故此兩函數不能復合成,11)( uugR

18、,)()( gRfD, 2sin,e3, xvvuyu以及以及個函數個函數由由例如例如非空是必要的，非空是必要的，中要求中要求定義定義)()(9 . 1)1(gRfD.e2sin xy復合構成復合函數復合構成復合函數復復合合函函數數否否則則，函函數數不不能能復復合合成成(2)可以由多個函數復合構成復合函數可以由多個函數復合構成復合函數.)1(sin)4(;ln)3();3ln(sin)2();5tan()1(:2222xxyxyxyxy- 合過程合過程例：寫出下列函數的復例：寫出下列函數的復Key:22221,sin,)4(;ln,)3(; 3,sin,ln)2(; 5tan)1(xxwwvv

19、uuyxvvuuyxwwvvuuyxuuy 與與與與與與與與復合函數分解到每個函數都是由基本初等函數的四則復合函數分解到每個函數都是由基本初等函數的四則運算所得的函數即可。運算所得的函數即可。例例. )(,)1(xfxxf求求設設 解解,1)(xxuu 令令.)1()(2 xxf)1()1()(2 uuuf即即于是于是.)1(2 ux則則).(),()(),(,2)(,)(:2xxfxfxffxxxfx 求求已已知知例例 xxxf222)()( 42)()(xxfxff 222)()(xxfxf xxx2)(22)( 解解)(1),1(,1)(xffxfxxf 和和求求三、已知三、已知.tan

20、, 1,ln)2( ; 1,)1(2xvvuuyeuuyx 域：域：成的復合函數并求定義成的復合函數并求定義二、求給定函數復合而二、求給定函數復合而)4();12(ln)3();arctan()2(;log)1(:222xxyeyxyxa 合過程合過程一、寫出下列函數的復一、寫出下列函數的復練習練習45lg2xxy 1.6 初等函數一、基本初等函數二、初等函數三、隱函數1常數函數常數函數.,為常數為常數CCy 一、基本初等函數一、基本初等函數( (必須掌握函數的圖象與定義域必須掌握函數的圖象與定義域 ) ) 常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和

21、反三角函數稱為三角函數和反三角函數稱為基本初等函數基本初等函數.).,(其定義域為其定義域為,如圖如圖OxyCy .軸的直線軸的直線它是一條平行于它是一條平行于x2 2冪函數冪函數.,是實數是實數 xy .的的不不同同而而相相異異定定義義域域隨隨 .)1 , 1(), 0(點點圖形均經過圖形均經過內有定義，并且內有定義，并且總在總在取何值，取何值，不論不論 xy特征：特征：11yOxxy 3xy xy 3xy 2xy 11yOx2 )0( xy21 1 3 3指數函數指數函數),1, 0( aaayx).,( 其其定定義義域域為為為嚴格單減函數，為嚴格單減函數，時，時，當當xaya 10為嚴格

22、單增函數，為嚴格單增函數，時，時，當當xaya 11yOxx10 x2x 101xex e1x 21axaxeeaxlnln4 4對數函數對數函數).1, 0(log aaxya.的反函數的反函數指數函數指數函數xay )., 0( 其定義域為其定義域為1yOxx21logxe1logx101logx10logxelogx2log5 5三角函數三角函數正弦函數正弦函數xysin ).,( 定義域均為定義域均為Oxxysin 2yxycos 2 xycos 余弦函數余弦函數.2最小正周期均為最小正周期均為正切函數正切函數xxxycossintan xxxysincoscot 余切函數余切函數.Z

23、,2 kkxx定義域均為定義域均為.最小正周期均為最小正周期均為Oxxytan 2yxycot 2 232.Z, kkxx定義域為定義域為正割函數正割函數xxycos1sec xxysin1csc 余割函數余割函數.2最小正周期均為最小正周期均為.Z, kkxx定義域為定義域為.Z,2 kkxx定義域為定義域為Oxxysec 2yxycsc 2 23弧度弧度2360o .:是以弧度為單位的是以弧度為單位的三角函數的自變量三角函數的自變量注意注意x關系是：關系是：弧度與度數之間的換算弧度與度數之間的換算.1801o 弧度弧度或或弧度弧度或或1801o 6 6反三角函數反三角函數xyarcsin)

24、1( 反反正正弦弦函函數數Oxxyarcsin 2y11 2 ,1 , 1 定義域為定義域為.2,2 值域為值域為xyarccos)2( 反余弦函數反余弦函數,1 , 1 定義域為定義域為., 0值域為值域為Oxxyarccos 2y11 xyarctan)3( 反正切函數反正切函數),( 定義域為定義域為.2,2 值域為值域為Oxxyarctan 2y2 xycotarc)4( 反反余余切切函函數數),( 定義域為定義域為.), 0(值域為值域為Oxxycotarc 2y二、 初等函數 由基本初等函數經過由基本初等函數經過有限次有限次四則運算和四則運算和有限次有限次復合，并且在其定義域內具有

25、復合，并且在其定義域內具有統一統一的解析表達式，的解析表達式，這樣的函數統稱為這樣的函數統稱為初等函數初等函數. ., 1ln2 xy例如，例如，,ecossinxxy xylnarcsin 都是初等函數都是初等函數 分段函數分段函數一般不是一般不是初等函數。初等函數。但例如但例如: : y但但0, xx0, xx為初等函數為初等函數. .,2xy 可表示為可表示為),0(e,ln xxxxx例如例如，因為因為)(ln)()(ln)(ee)()(xfxgxfxgxgxf ),01(e)1()1ln(11 xxxxx.)0(elnsinsin均為冪指函數均為冪指函數 xxxxx所以冪指函數也是初

26、等函數所以冪指函數也是初等函數., 0)(),)(),()()(稱之為冪指函數稱之為冪指函數其中其中是初等函數是初等函數的函數的函數形如形如 xfxgxfxfxg.)(的函數稱為顯函數的函數稱為顯函數形如形如xfy DxxfxF , 0)(,(則必有恒等式則必有恒等式1=+yx2)1()(xxfy- .)(=0=),(稱為隱函數稱為隱函數上的函數上的函數所確定了一個定義在所確定了一個定義在由二元方程由二元方程xfyDyxF,2xy ,ln xy ,12arcsin2xxy 01 2 -xy例如例如22)1(xy 隱函數可顯化隱函數可顯化 0),( exyeyxFy隱隱函函數數不不易易顯顯化化三

27、、隱函數三、隱函數.確定隱函數確定隱函數注：不是任意方程都能注：不是任意方程都能0422 yx例：例：1.7 簡單函數關系的建立一、簡單函數關系的建立(自學)二、經濟學中常見的函數關系二、經濟學中常見的函數關系1.1.總成本函數、總收入函數和總利潤函數總成本函數、總收入函數和總利潤函數 生產和經營活動中，人們所關心的問題是生產和經營活動中，人們所關心的問題是產品產品的成本、銷售收入（又稱為收益）和利潤的成本、銷售收入（又稱為收益）和利潤 產品的成本產品的成本就是生產產品的總投入，它包括固就是生產產品的總投入，它包括固定成本（又稱為不變成本）和可變成本定成本（又稱為不變成本）和可變成本 銷售收入

28、銷售收入是指產品出售后所得的收入，而利潤是指產品出售后所得的收入，而利潤就是收入扣去成本后的余額就是收入扣去成本后的余額.稱為經濟變量稱為經濟變量和利潤和利潤，收入，收入通常把成本通常把成本LRC的單增函數；的單增函數；總成本是產量總成本是產量 x；即即乘積，乘積，與銷售單價與銷售單價是銷售量是銷售量總收入總收入PxxRPxxR )()().()()()(xCxRxLxL 即即，等于總收入減去總成本等于總收入減去總成本總利潤總利潤 )(xC總成本總成本 a固定成本固定成本可變成本可變成本管理費管理費, ,維修費維修費原料費原料費, ,勞力費勞力費,x記產品產量為記產品產量為. 3,20 例例P

29、2.2.需求函數與供給函數需求函數與供給函數需求函數需求函數(demand),)(bPaPfQdd-線性需求函數線性需求函數 為最大銷售價。為最大銷售價。求量，求量，為價格為零時的最大需為價格為零時的最大需baa/供給函數供給函數(supply)(supply)。其中其中線性供給函數線性供給函數0,)( dcdPcPfQss-,的的價價格格稱稱為為均均衡衡價價格格使使得得sdQQ .0P記為記為, 0,ba其中其中它是價格的單調減少函數它是價格的單調減少函數它它 是價格的單調增加函數是價格的單調增加函數.直接相關直接相關場供給量和產品的價格場供給量和產品的價格產品的市場需求量與市產品的市場需求量與市例例. .2504501500500數數求該產品的