1、2.3.22.3.2離散型離散型隨機變量的方差隨機變量的方差溫故而知新溫故而知新1、離散型隨機變量、離散型隨機變量 X 的的均值均值（數學期望）（數學期望）1()niiiE Xx p2、均值的性質、均值的性質()E aXbaEXb3、兩種特殊分布的均值、兩種特殊分布的均值（1）若隨機變量若隨機變量X服從兩點分布，則服從兩點分布，則()E Xp（2）若若 ，則，則( , )XB n p()E Xnp反映了離散型隨機變量取值的反映了離散型隨機變量取值的平均水平平均水平.二、探究二、探究要從兩名同學中挑選出一名，代表班級參加射擊比賽要從兩名同學中挑選出一名，代表班級參加射擊比賽.根據以往的成績記錄，

2、第一名同學擊中目標靶的環數根據以往的成績記錄，第一名同學擊中目標靶的環數 的分布列為的分布列為1X1XP56789100.030.090.200.310.270.10第二名同學擊中目標靶的環數第二名同學擊中目標靶的環數 的分布列為的分布列為2X2XP567890.010.050.200.410.33請問應該派哪名同學參賽？請問應該派哪名同學參賽？1,EX 2EX 88發現兩個均值相等發現兩個均值相等因此只根據均值不能區分這兩名同學的射擊水平因此只根據均值不能區分這兩名同學的射擊水平.（一）、隨機變量的方差（一）、隨機變量的方差（1）分別畫出分別畫出 的分布列圖的分布列圖.12,XXO5 6 7

3、1098P1X0.10.20.30.40.5O5 6 798P2X0.10.20.30.40.5（2）比較兩個分布列圖形，哪一名同學比較兩個分布列圖形，哪一名同學的成績更穩定？的成績更穩定？ 除平均中靶環數以外，還有其他除平均中靶環數以外，還有其他刻畫兩名同學各自射擊特點的指標嗎？刻畫兩名同學各自射擊特點的指標嗎？1 1、定性分析、定性分析第二名同學的成績更穩定第二名同學的成績更穩定2 2、定量分析、定量分析怎樣定量刻畫隨機變量的穩怎樣定量刻畫隨機變量的穩定性？定性？樣本的穩定性是用哪個量刻畫樣本的穩定性是用哪個量刻畫的？的？方差方差方差反映了這組方差反映了這組數據的波動情況數據的波動情況 在

4、一組數：在一組數：x1 1, ,x2 2 , , ,xn 中，各數據的中，各數據的平均數為平均數為 ，則這組數據的方差為：，則這組數據的方差為：x 222212211()()() 1nniiSxxxxxxnxxn 類似于這個概念類似于這個概念, ,我們可以定義隨機變量的方差我們可以定義隨機變量的方差 復習復習 離散型離散型隨機變量取值的方差和標準差隨機變量取值的方差和標準差: :22211( ) ()()()iinnDxEpxEpxEp 則稱則稱為隨機變量為隨機變量 的方差的方差. .21()niiixEp 一般地一般地, ,若離散型隨機變量若離散型隨機變量 的概率分布列為：的概率分布列為：P

5、1xix2x1p2pipnxnp 稱稱D 為隨機變量為隨機變量 的標準差的標準差. . 定義定義 3 3、對方差的幾點說明、對方差的幾點說明（1 1）隨機變量的方差和標準差都反映了隨機）隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值變量取值偏離于均值的平均程度偏離于均值的平均程度. .方差或標準差方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小. .（2 2）隨機變量的方差與樣本的方差有何聯系與）隨機變量的方差與樣本的方差有何聯系與區別？區別？隨機變量的方差是常數隨機變量的方差是常數，而，而樣本的方差樣本的方差是隨是隨著樣本的不同而著樣本的不同而變化變化

6、的，因此樣本的方差是的，因此樣本的方差是隨機變量隨機變量. .對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加，對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來越接近總體方差，因此樣本方差越來越接近總體方差，因此常用樣常用樣本方差來估計總體方差本方差來估計總體方差. . 1. 已知隨機變量已知隨機變量x的分布列的分布列x01234P0.10.20.40.20.1求求D（ ）和和（ ）. ( )0 0.1 1 0.22 0.43 0.24 0.12E 解：解：22222( )(02)0.1 (12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.11.2D ( )( )1.21.095D 2. 若隨機變量若

7、隨機變量x 滿足滿足P（xc）1，其中，其中c為常數，為常數，求求Ex 和和 Dx.E(x)c1cD(x)（cc）210 練習練習 結論結論1： 則則 ; ;,ab 若若( )( )EaEb 結論結論2：若：若B(n，p)，則，則E()= np.2()( )則 D aba D 3( ,)( )1若，則（)B n pDnpp 結論結論 1,若ab結論結論3：若若 服從兩點分布，則服從兩點分布，則E( )p（2）若若 服從兩點分布，則服從兩點分布，則( )(1)Dpp1.已知隨機變量已知隨機變量x的分布列，則的分布列，則E（x）與與D（x）的的值為值為( ) (A) 0.6和和0.7 (B)1.7

8、和和0.3 (C) 0.3和和0.7 (D)1.7和和0.212.已知已知xB(100,0.5),則則E(x)=_, D(x)=_(x)=_. E(2x-1)=_, D(2x-1)=_, (2x-1)=_ 12P0.30.7D50 25599100103、有一批數量很大的商品，其中次品占、有一批數量很大的商品，其中次品占1，現，現從中任意地連續取出從中任意地連續取出200件商品，設其次品數為件商品，設其次品數為X，求，求EX和和DX.2，1.98 練習練習 4.若隨機變量若隨機變量 服從二項分布，且服從二項分布，且E( )=6， D( )=4,則此二項分布則此二項分布是是 。設設二項分布為二項

9、分布為 B(n,p) ,則則E =np=6D =np(1-p)=4n=18p=1/3 試比較兩名射手的射擊水平試比較兩名射手的射擊水平.如果其他對手的如果其他對手的射擊成績都在射擊成績都在8環左右，應派哪一名選手參賽？環左右，應派哪一名選手參賽？如果其他對手的射擊成績都在如果其他對手的射擊成績都在9環左右，應派哪環左右，應派哪一名選手參賽？一名選手參賽？ 例例1 1、已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，、已知甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環數所得環數x x1 1、x x2 2的分布列如下：的分布列如下：x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4 如果對手如果對手在在

10、8環左右環左右,派派甲甲. 如果對手如果對手在在9 9環左右環左右, ,派派乙乙. .例例2 2隨機拋擲一枚質地均勻的骰子隨機拋擲一枚質地均勻的骰子, ,求求向上一面的點數的均值、方差和標準差向上一面的點數的均值、方差和標準差. .解：拋擲散子所得點數解：拋擲散子所得點數X X 的分布列為的分布列為161616161616P6 65 54 43 32 21 1X1111111234563.5666666EX 2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5)2.9266DX 從而從而;1.71XDX.例例3:3:有甲乙兩個單位都

11、愿意聘用你有甲乙兩個單位都愿意聘用你, ,而你能而你能獲得如下信息：獲得如下信息：甲單位不同職位月工資甲單位不同職位月工資X1/元元1200140016001800獲得相應職位的概率獲得相應職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工資乙單位不同職位月工資X2/元元1000140018002200獲得相應職位的概率獲得相應職位的概率P20.40.30.20.1根據工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？根據工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？解：解：1400,140021 EXEX112000,4000021 DXDX 因為因為 ，所以兩家單位的工資均，所以兩家單位的工資均值相

12、等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散這樣，如果你希望不同職位的工資職位的工資相對分散這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位差距大一些，就選擇乙單位1212,EXEXDXDX小結小結2、求離散型隨機變量、求離散型隨機變量X的方差、標準差的一般的方差、標準差的一般步驟：步驟： X根據方差、標準差的定義求出根據方差、標準差的定義求出 DX理解理解X 的意義，寫出的意義，寫出X 可能取的全部值；可能取的全部值；

13、求求X X取各個值的概率，寫出分布列；取各個值的概率，寫出分布列；根據分布列，由期望的定義求出根據分布列，由期望的定義求出 EX EX； 1、熟記方差計算公式、熟記方差計算公式21()niiiDXxEXp2()E XEX22()EXEX5 5、對于兩個隨機變量、對于兩個隨機變量 和和 在在 與與 相等或相等或很接近時，比較很接近時，比較 和和 ，可以確定哪個隨，可以確定哪個隨機變量的性質更適合生產生活實際，適合人們機變量的性質更適合生產生活實際，適合人們的需要的需要.1X2X1EX2EX1D X2D X4 4、掌握方差的線性變化性質、掌握方差的線性變化性質2()D aXba DX3、能熟練地直

14、接運用兩個特殊分布的、能熟練地直接運用兩個特殊分布的方差公式方差公式（1 1）若）若 X X 服從兩點分布，則服從兩點分布，則(1)DXpp（2）若若 ，則，則 ( , )XB n p(1)DXnpp課本第課本第68頁習題頁習題2.3 A組第組第1，5題題課后作業課后作業機動練習機動練習117100.8 ppnBX,n1.6,DX8,EX),(1則則，、已知、已知 DD則則，且，且、已知、已知,138132 3. 3.有場賭博，規則如下：如擲一個骰子，有場賭博，規則如下：如擲一個骰子，出現出現1 1，你贏，你贏8 8元；出現元；出現2 2或或3 3或或4 4，你輸，你輸3 3元；出元；出現現5

15、 5或或6 6，不輸不贏這場賭博對你是否有利，不輸不贏這場賭博對你是否有利? ? 1111830 .6236E 對你不利對你不利! !勸君莫參加賭博勸君莫參加賭博. .830P161213解：輸贏金錢為隨機變量解：輸贏金錢為隨機變量 則有分布列為：則有分布列為：4隨機變量隨機變量X的分布列如下：的分布列如下： 其中其中a，b，c成等差數列若成等差數列若E(X) ，則，則D(X)的值是的值是 _X101Pabc解析：解析：abc1.又又2bac，故故b由由E(X)故故aD(X)答案：答案：11,33ac , ,得得補充作業：一廠家向用戶提供的一箱產品共補充作業：一廠家向用戶提供的一箱產品共10件

16、，其中有件，其中有n件次品，用戶先對產品進行抽檢以決定是否接收抽檢規件次品，用戶先對產品進行抽檢以決定是否接收抽檢規則是這樣的：一次取一件產品檢查則是這樣的：一次取一件產品檢查(取出的產品不放回箱子取出的產品不放回箱子)，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產品；若前三若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產品箱產品(1)若這箱產品被用戶接收的概率是若這箱產品被用戶接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的條件下，記抽檢的產品件數為的條件下，記抽檢的產品件數為X，求，

17、求X的分布列和的分布列和數學期望數學期望 對隨機變量對隨機變量X的均值的均值(期望期望)的理解：的理解：(1)均值是算術平均值概念的推廣，是概率意義上的平均；均值是算術平均值概念的推廣，是概率意義上的平均；(2)E(X)是一個實數，由是一個實數，由X的分布列唯一確定，也就是說隨的分布列唯一確定，也就是說隨機變量機變量X可以取不同的值，而可以取不同的值，而E(X)是不變的，它描述的是是不變的，它描述的是 X取值的平均狀態；取值的平均狀態；(3)E(X)的公式直接給出了的公式直接給出了E(X)的求法的求法 (2010衡陽模擬衡陽模擬)一廠家向用戶提供的一箱產品共一廠家向用戶提供的一箱產品共10件，

18、其中有件，其中有n件次品，用戶先對產品進行抽檢以決定是否件次品，用戶先對產品進行抽檢以決定是否接收抽檢規則是這樣的：一次取一件產品檢查接收抽檢規則是這樣的：一次取一件產品檢查(取出的產取出的產品不放回箱子品不放回箱子)，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且箱產品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產品用戶拒絕接收這箱產品(1)若這箱產品被用戶接收的概率是若這箱產品被用戶接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的條件下，記抽檢的產品件數為的條件下，記抽檢的產品件數為X，求，

19、求X的分布列和的分布列和數學期望數學期望（1）利用古典概型易求）利用古典概型易求.（2）X的取值為的取值為1、2、3，求出分布列代入期望，求出分布列代入期望 公式公式.【解】【解】(1)設設“這箱產品被用戶接收這箱產品被用戶接收”為事件為事件A，n2.(2)X的可能取值為的可能取值為1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=X的概率分布列為：的概率分布列為：X123P1828109()123.5454545E X 1(2010河南六市聯考河南六市聯考)甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的招聘面試公司規定面試合格者可簽約甲、乙面試合格招聘面試公司

20、規定面試合格者可簽約甲、乙面試合格 就就簽約；丙、丁面試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽簽約；丙、丁面試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽約設每人面試合格的概率都是約設每人面試合格的概率都是 ，且面試是否合格互不，且面試是否合格互不影響求：影響求： (1)至少有三人面試合格的概率；至少有三人面試合格的概率； (2)恰有兩人簽約的概率；恰有兩人簽約的概率； (3)簽約人數的數學期望簽約人數的數學期望解：解：(1)設設“至少有至少有3人面試合格人面試合格”為事件為事件A，則則P(A)(2)設設“恰有恰有2人簽約人簽約”為事件為事件B，“甲、乙兩人簽約，丙、丁兩人都不簽約甲、乙兩人簽約，丙、丁兩人都不

21、簽約”為事件為事件B1；“甲、乙兩人都不簽約，丙、丁兩人簽約甲、乙兩人都不簽約，丙、丁兩人簽約”為事件為事件B2；則：則：BB1B2P(B)P(B1)P(B2)(3)設設X為簽約人數為簽約人數X的分布列如下：的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=X01234P52024161620()01234.81848181819E X (2010貴陽模擬貴陽模擬)有甲、乙兩個建材廠，都想投標有甲、乙兩個建材廠，都想投標參加某重點建設，為了對重點建設負責，政府到兩建材參加某重點建設，為了對重點建設負責，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的

22、抗廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗拉強度指標，其分布列如下：拉強度指標，其分布列如下：舉一反三舉一反三1. 1. 某有獎競猜活動設有某有獎競猜活動設有A A、B B兩組相互獨立的問題，答對問題兩組相互獨立的問題，答對問題A A可贏得可贏得獎金獎金3 3萬元，答對問題萬元，答對問題B B可贏得獎金可贏得獎金6 6萬元萬元. .規定答題順序可任選，但只規定答題順序可任選，但只有一個問題答對后才能解答下一個問題，否則中止答題有一個問題答對后才能解答下一個問題，否則中止答題. .假設你答對假設你答對問題問題A A、B B的概率依次為的概率依次為 、 . .若你按先若你按先A A后后B

23、B的次序答題，寫出你的次序答題，寫出你獲得獎金的數額獲得獎金的數額的分布列及期望值的分布列及期望值E.E.1213039p解析：解析： 若按先若按先A A后后B B的次序答題，獲得獎金數額的次序答題，獲得獎金數額的可取值為的可取值為0,3(0,3(萬元萬元) )，9 9（萬元）（萬元）. .PP（=0=0）= , P= , P（=3=3）= ,= ,P P（=9=9）= . = . 的分布列為的分布列為111221111233111236121316題型二題型二 求隨機變量的方差求隨機變量的方差【例【例2 2】編號】編號1 1，2 2，3 3的三位學生隨意入座編號的三位學生隨意入座編號1 1，

24、2 2，3 3的三個的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生人數座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生人數是是X.X.（1 1）求隨機變量）求隨機變量X X的概率分布列；的概率分布列；（2 2）求隨機變量）求隨機變量X X的期望與方差的期望與方差. .的數學期望為的數學期望為E E（）= = 1110392.5236 分析分析 （1 1）隨機變量）隨機變量X X的意義是對號入座的學生個數，所有取的意義是對號入座的學生個數，所有取值為值為0,1,3.0,1,3.若有兩人對號入座，則第三人必對號入座若有兩人對號入座，則第三人必對號入座. .由排列與由排列與等可能事件概率易求

25、分布列等可能事件概率易求分布列; ;（2 2）直接利用數學期望與方差公式求解）直接利用數學期望與方差公式求解. .X013P解解 （1 1）P P（X=0X=0）= ,P= ,P（X=1X=1）= ,= ,P P（X=3X=3）= ,= ,故故X X的概率分布列為的概率分布列為 (2)E(X)= (2)E(X)= D(X)= D(X)= 33213A133312CA33116A1312161110131326 2221110 11 13 11326舉一反三舉一反三2. 2. 設在設在1515個同類型的零件中有個同類型的零件中有2 2個次品，每次任取個次品，每次任取1 1個，共取個，共取3 3次

26、，次，并且每次取出后不再放回并且每次取出后不再放回. .若用若用X X表示取出次品的個數表示取出次品的個數. .（1 1）求）求X X的分布列；的分布列；（2 2）求）求X X的均值的均值E(X)E(X)和方差和方差D(X).D(X).學后反思學后反思 求離散型隨機變量求離散型隨機變量X X的方差的步驟：的方差的步驟：（1 1）寫出）寫出X X的所有取值；的所有取值；（2 2）計算）計算P P（X=xX=xi i）; ; (3) (3)寫出分布列，并求出期望寫出分布列，并求出期望E(X)E(X)；（4 4）由方差的定義求出）由方差的定義求出D(X).D(X).解析：解析： (1)P(X=0)=

27、 , P(X=1)= , (1)P(X=0)= , P(X=1)= ,P(X=2)= .P(X=2)= .故故X X的分布列為的分布列為 (2)X(2)X的均值的均值E(X)E(X)和方差和方差D(X)D(X)分別為分別為E(X)= ;E(X)= ;D(X)= D(X)= 3133152235CC122133151235C CC21213315135C CCX012P135123522352212120123535355 2222222122152012535535535175題型四題型四 期望與方差的綜合應用期望與方差的綜合應用【例【例4 4】(14(14分分) )（20082008廣東）隨機抽取某廠的某種產品廣東）隨機抽取某廠的某種產品200200件，經質件，經質檢，其中有一等品檢，其中有一等品126126件，二等品件，二等品5050件，三等品件，三等品2020件，次品件，次品4 4件件. .已知已知生產生產1 1件一、二、三等品獲得的利潤分別為件一、二、三等品獲得的利潤分別為6 6萬元、萬元、2 2萬元、萬元、1 1萬元，而萬元，而生產生產1 1件次品虧損件次品虧損2 2萬元，設萬元，設1 1件產品的利潤（單位：萬元）為件產品的利潤（單位：萬元）為.(1)(1)求求的分布列；的分布列；（2 2）求）求1 1件產品的平均利潤（即件產