1、飄藍工作室出品版權(quán)所有 P 精英數(shù)學（2012 年中考數(shù)學二輪專題幾何圖形的歸納，猜想，證明問題第一部分真題精講【例 1】2011 海淀，一模如圖,n +1 個邊長為 2 的等邊三角形有一條邊在同一直線上,設(shè) 211B D C ?的面積為 1S , 322B D C ?的面積為 2S ,，1 n n n B D C +的面積為 n S 則 2S n S n 的 式子表示.C 5C 4C 3C 2C 1B B B 2B A【思路分析】 拿到這種題型，第一步就是認清所求的圖形到底是什么樣的。本 題還好，將陰影部分標出，不至于看錯。但是如果不標就會有同學誤以為所求的面積 是22B AC ?, 33B

2、 AC ?這種的,第二步就是看這些圖形之間有什么共性和聯(lián)系.首先2S所代表的三角形的底邊2C 2D是三角 形2AC2D 的底邊，而這個三角 形和 3AC 3B 是相似的.所以邊長的比例就是 2AC 與 3AC 的比值.于是212223S =接下來通過總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)所求的三角形有一個最大的共性就是高相等B 點，將陰影部分放在 反過來的等邊三角形中看。那么既然是求面積，高相等，剩下的自然就是底邊的問題了。我們發(fā)現(xiàn)所有的 B,C 點連線的邊都是平行的，于是自然可以得出 n D 自然是所在邊上的 n+1 等分點.例如 2D 就是 2B 2C 的一個三等 分點.于是 1121 n nn D C n +-

3、=? +(n+1-1 是什么意思？為什么要減1?11122n n n B D C n n S D C +?=【例 2】2011 山西，一模在平面直角坐標系中，我們稱邊長為 1 且頂點的橫縱坐標均為整數(shù)的正方形為 單位格點 正方形，如圖，菱形 ABCD 的四個頂點坐標分別是(80 -, , (04 , , (80 , , (04 - ,，則菱形 ABCD 能覆蓋的單位 格點正方形的個數(shù)是 _個;若菱形 n n n n A BC D 的四個頂點坐標分別為(20 -, n , (0 , n , (20 , n , (0 -, n (n 為正整數(shù)，則菱形 n n n n AB C D 能覆蓋的單位格點

4、正方形的個數(shù)為 _(用含有 n 的式子表示.飄藍工作室出品版權(quán)所有 P 精英數(shù)學(【思路分析】此題方法比較多，例如第一空直接數(shù)格子都可以數(shù)出是 48（笑。 這里筆者提供一種方 法，其他方法大家可以自己去想想看。因為求的是菱形包涵的 正方形個數(shù)，所以只需求出被 X,Y 軸所分的四個三角形包涵的個數(shù)，再乘以 4 即 可。比如我們來看第二象限那個三角形。第二象限菱形那條邊過（-2 n,0 （0, n,自然可以寫出直線解析式為12y x n =+,斜率 12意味著什么？看上圖，注意箭頭標注的那些空白三角形，這些 RT 三角形一共 有 2門/2=門個,他們的縱直角邊與橫直角邊的比是不是就是12?而且這些

5、直角三角形都是全等的，面積均為兩個單位格點正方形的一半.那么整個的 AOB 的面積自然就是 122n n ? ?,所有 n 個空白小三角形的面積之和為1212n ?,相減之后自然就是所有格點正方形的面積 2n n -,也就是數(shù)量了 .所以整個菱形的正方形格點就是 244n n -.【例 3】2011 平谷，一模如圖,45AOB / =?，過 OA 上到點 0 的距離分別為 1357911. ,的點作 0A的垂線與 0B 相交，得到并標出一組黑色梯形,它們的面積分別為 1234S SS S ,.則第一個黑色梯形的面積1S =觀察圖中的規(guī)律，第 n (n 為正整數(shù)個黑色梯形的面積 n S =飄藍工

6、作室出品版權(quán)所有P 精英數(shù)學(1311975310【思路分析】 本題方法也比較多樣。所有陰影部分都是一個直角梯形，而因為45AOB /二？，所以梯形的上下底長度分別都對應(yīng)了垂足到 0 點的距離,而高則是 固定的 2。第一個梯形上底是 1,下底是 3,所以（1113242S =? +?=.第二個梯形面積（21572122S =? +?=,第三個是（319112202S =? +?=,至此，我們發(fā)現(xiàn)本題中梯形面積數(shù)值上其實就是上下底的和.而且各個梯形的上底都是前一個梯形上底加上 4。于是第 n 個梯形的上底就是 1+4（ n-仁 4n-3,（第一個梯形的上底 1 加上（n-1 個 4.下底自然就是

7、 4n-1,于是 n S 就是 8n-4.【例 4】2011，豐臺，一模在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點稱為整點請你觀察圖中 正方形A 1B 1C 1D 1, A 2B 2C 2D 2, A 3B 3C 3D 3 每個正方形四條邊上的整點 的個數(shù)按此規(guī)律推算出正方形 A 10B 10C 10D 10 四條邊上的整點共有 個.【思路分析】此題看似麻煩，但是只要把握住 正方形”這個關(guān)鍵就可以了。對于 n n n nA B C D 來說，每條邊的長度是 2n,那么自然整點個數(shù)就是 2n+1,所以四條邊上整點一共有（2n+1x4-4=8n（個（要減去四個 被重復算的頂點,于是 10101

8、010A B C D 就是 80 個.【例 5】2011 河北，一模如圖,ABC 中，/ ACB=90 AC=BC=1,取斜邊的中點，向斜邊做垂線，畫出一個新的等腰直角三角形，如此繼續(xù)下去,直到所畫直角三角形的斜邊與 ABC 的 BC 邊重疊為止,此時飄藍工作室出品版權(quán)所有 P 精英數(shù)學（這個三角形的斜邊長為 _.【思路分析】 本題依然要找出每個三角形和上一個三角形之間的規(guī)律聯(lián)系。 關(guān)鍵詞 中點”垂線”等“腰直角”。這就意味著每個三角形的銳角都是 45 度，并且 直角邊都是上一個三角形直角邊的一半。繞一圈 是 360 度,包涵了 8 個 45于是 繞到第八次就可以和 BC 重疊了，此時邊長為A

9、BC 的81，故而得解。【例 6】2010，上海，二模如圖,以等腰三角形 AOB 的斜邊為直角邊向外作第 2 個等腰直角三角形 1ABA ,再以等腰直角三角形1ABA 的斜邊為直角邊向外作第個等腰直角三角形11A BB ,如此作下去 若1OA OB =,則第 n 個等腰直角三角形的面積 nS =_ （n 為正整數(shù).B 1A 1BOA【思路分析】和上題很類似的幾何圖形外延拓展問題。還是一樣慢慢找小三角 形面積的規(guī)律。由題可得123124222S S S =,分子就是 1,2,4,8,16 這樣的數(shù)列。于是 22n n S =【總結(jié)】幾何圖形的歸納總結(jié)問題其實就包括了代數(shù)方面的數(shù)列問題，只不過 需

10、要考生自己找出圖形 與圖形之間的聯(lián)系而已。對于這類問題，首先就是要仔細讀 題，看清楚題目所求的未知量是什么，然后找出各個未知量之間的聯(lián)系，這其中就包括 了尋找未知量的拓展過程中，哪些變了，哪些沒有變。最后根據(jù) 這些聯(lián)系列出通項去 求解。在遇到具體關(guān)系很難找的問題時，不妨先寫出第一項，第二項，第三項然后去 找 數(shù)式上的規(guī)律，如上面例 6 就是一例,如果糾結(jié)于幾何圖形當中等腰三角形直角邊的 平方，反而會使問 題復雜化,直接列出前幾項的面積就可以大膽的猜測出來結(jié)果了。 這類題目計算量往往不大，重在思考和 分析的方法，還請考生細心掌握。第二部分發(fā)散思考飄藍工作室出品版權(quán)所有P 精英數(shù)學(【思考 1】2

11、011 浙江，二模如圖，在平面直角坐標系 xOy 中,1B (0,1,2B (0,3, 3B (0,6,4B (0,10,以 12B B 為對角線作第一個正方形 1112A B C B ,以 23B B 為對角線 作第二個正方形 2223A B C B，以 34B B 為對角線作第三個正方形 3334A B C B ,如果所作正方形的對角線 1n n B B +都在y 軸上，且 1n n B B +的長度依次增加 1 個單位，頂點 n A 都在第一象限內(nèi)(n 且 n 為整數(shù).那么 1A 的縱坐標為；用 n的代數(shù)式表示 nA 的縱坐標：.【思考 2】2011 朝陽，一模如圖,在平面直角坐標系中，

12、一顆棋子從點 P 處開始跳動，第軸的對稱點 1P 處,接著跳到點 1P 關(guān)于 y 軸的對稱點 2P 處第三次再跳到點 2P 關(guān)于原點的對稱點處,跳動第 2009 次時,棋子落點處的坐標是.【思考 3】2011 昌平，一模對于大于或等于 2 的自然數(shù) n 的平方進行如下 分裂”，分裂成 n 個連續(xù)奇數(shù)的和，則自然數(shù) 72的分次跳到點 P 關(guān)于 x如此循環(huán)下去當裂數(shù)中最大的數(shù)是，自然數(shù) n 的分裂數(shù)中最大的數(shù)是【思考 4】2011 湖北，一模一個質(zhì)點在第一象限及 x 軸、y 軸上運動,在第一秒鐘,它從原點運動到（01 , 然后接著按圖中箭頭 所示方向運動,即（00 （01（11（10,且每秒移動一個單位，那么第 35 秒時質(zhì)點所在位置的坐標是_1 31 3 5本站部分資源網(wǎng)友上傳，來源于網(wǎng)絡(luò)，如果涉及版權(quán)問題，請及時聯(lián)系我站，我們會第一時間刪除， 精英部落 QQ 群：172077288 y 3 2 1 0 1 2 3 , x【思考 5】2011，海淀，二模如圖，將邊長為 1 n2 的正方形紙片從左到右順次擺放， 其對應(yīng)的正方形的中心依 1.2.3. 次為 A1, A2, A3,.若擺放前 6 個正方