1、線線角及線面角考點 1 直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫作這條直線和這個平面所成 的角 一條直線垂直于平面，該直線與平面所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則此直線與平面所成的角是 0 的角.考點二、直線和平面所成的角典例 2 女口圖，DC 丄平面 ABC,EB / DC,AC=BC=EB=2DC=2,/ ACB=120 ,P,Q 分別為 AE,AB 的中點.（1 證明:PQ /平面 ACD;（2 求 AD 與平面 ABE 所成角的正弦值.解題思路（1 利用中位線可證；（2/ DAP 為 AD 和平面 ABE 所成的角.解題過程（1 證明：因為 P,Q

2、分別為 AE,AB 的中點,所以 PQ / EB.又 DC /EB,因此 PQ / DC,從而 PQ /平面 ACD.（2 如圖，連結(jié) CQ,DP.因為 Q 為 AB 的中點，且 AC=BC,所以 CQ 丄 AB.因為 DC 丄平面 ABC,EB / DC,所以 EB 丄平面 ABC.因此 CQ 丄 EB,故 CQ 丄平面 ABE.由（1 有 PQ / DC,又 PQ= 12EB=DC,所以四邊形 CQPD 為平行四邊形.故 DP / CQ.因此 DP丄平面 ABE. / DAP 為AAD 和平面 ABE 所成的角.在 Rt DPA 中,DP=1,sin /因此 AD 和平面 ABE易錯點撥求

3、斜線和平面所成的角，一般是在斜線上取一點向平面作垂線，從而 形成由平面 的斜線、垂線、斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形，然后在這個 直角三角形中求角變式如圖，在正三角形 ABC 中,E、F、P 分別是 AB、AC、BC 邊上的點,滿足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2（如圖甲。將三角形 AEF 沿 EF 折起到三角形 EFA1的位置，使二面角 BEFA -1成直二面角，連結(jié) BA、PA1（如圖乙（乙（1 求證:丄E1(2 求直線 EA1與平面 BP1所成的角的大小；點撥可利用邊的關(guān)系求得丄EEF，線面垂直立即得證；求線面角最終都可轉(zhuǎn)化為線線 角（甲（乙答案（1 在圖甲中,取 BE

4、的中點 D ,連結(jié) DF。因為AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2,所以 AF=AD=2,而 o60=/A ,所以三角形 ADF 式正三角形，又 AE=DE=1,所以 EF 丄 AD。在圖乙中，丄 E A 1EF , BE 丄 EF 所以 EB A 1 /為二面角 B EF A -1 的平面 角。由題設(shè)條 件知此二面角為直二面角,所以丄 E A 1BE。又 BE ? EF=E,所以 丄 E A 1 平面 BEF ,即丄 E A 1 平面 BEF。（2 在圖乙中，因為 E A 1 不垂直于 B A 1,所以 E A 1 是平面 BP A 1 的斜線。又丄 E A 1 平面 BEP 所以丄

5、E A 1BP ,從而 BP 垂直于 E A 1 在平面 BP A 1 內(nèi) 的射影。設(shè) E A 1 在平面 BP A 1 內(nèi)的射影為 Q A 1,且 Q A 1 交 BP 于點 Q ,則 Q EA 1/就是 EA 1 與平面 BP A 1 所成的角，且 BP 丄 Q A 1。在三角形 EBP 中，因為 BE=BP=2, o60=/ EBP ,所以三角形 EBP 是等邊三角形，所以 BE=EP。又 丄 E A 1 平面BEP 所以 P A B A 11=,故 Q 為 BP 的中點，且3=EQ。又 1 仁 E A ,在直角三角形 EQ A 1 中,t a n11=/EA EQE QA ,所以 o

6、60 仁/ E QA ,所以直線 E A 1 與平面 BP A 1 所成的角為 o 60 突破 1線線角、線面角與棱錐結(jié)合考查如圖，四棱錐 P A B C D -的底面是正方形,P D A B C 丄底面，點 E 在棱 PB 上.(I求證：平面 AEC PDB 丄平面；(U當(dāng) PD =且 E 為 PB 的中點時，求 AE 與平面 PDB 所成的角的大小【解答】本題主要考查直線和平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.(IV四邊形 ABCD 是正方形，二 AC丄 BD ,VPD ABCD 丄底面, PD 丄 AC ,二 AC 丄平面 PD

7、B ,二平面 AEC PDB 丄平面.(U設(shè) ACnBD=O,連接 0E ,由(I知 AC 丄平面 PDB 于 0,/ AEO 為 AE 與平面 PDB 所的角，二 0 , E 分別為 DB、PB 的中點，二OE/PD, 12OE PD =，又VPD ABCD 丄底面，二 0E 丄底面 ABCD , 0E 丄 A0 ,在 Rt AOE中,120E PD AB A0 =41=, 45AOE ?/ =，即 AE 與平面 PDB 所成的角的大小為 45?.突破 2 線線角、線面角與棱柱結(jié)合考查1如圖,已知正四棱柱 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，底面邊長 A B =2,側(cè)棱 BB 1 的長

8、為4,過點 B 作 B 1C 的垂線交側(cè)棱 CC 1 于點 E，交 B 1C 于點 F,求證:A 1C 丄平面 BDE ;求 A 1B 與平面 BDE 所成角的正弦值。【解答】由三垂線定理可得，A 1C 丄 BD , A 1C 丄 BE ? A 1C 丄平面 BDE以 DA、DC、DD 1 分別為 x、y、z 軸，建立坐標(biāo)系，則1(2,0,4 A , (0,2, 0 C , (2,2, 0 B / 1(2,2, 4 AC =- , 1(0,2,4 A B =- 11111cos , AC A B AC A B AC A B ? =,設(shè) A 1C 平面 BDE =K ,由可知,ZA1BK 為 A

9、 1B 與平面 BDE所成角，二 111sin cos , A BK A C A BZ=近近1、 若平面a外的直線 a 與平面a所成的角為B則B的取值范圍是(A 2J0(n(B 2J0n(C 2J0(n(D 2J0n2、 在正方體 ABCD-A 1B 1C 1D 1,0 是底面 ABCD 的中心，M、N 分別是棱DD 1、D 1C 1 的中點，則直線 0M (A 是 AC 和 MN 的公垂線 B 垂直于 AC 但不垂直于 MN C 垂直于 MN ,但不垂直于 AC D 與 AC、MN 都不垂直3、設(shè)正四棱錐 S ABCD 的側(cè)棱長為 2,底面邊長為 3, E 是 SA 的中點，則異面 直線 B

10、E 與 SC 所成的角是（A . 30 B. 45C . 60 D . 90 4、（2010 全國直三棱柱 111C B A ABC -中，若 o90=ZBAC , 1AA AC AB =,則異面直線 1BA 與 1AC 所成的角等于（A. o30 B. o45 C. o60 D. o90 5、正方體 1111D C B A ABCD -中,1BB 與平面 1ACD 所成角的余弦值為（A.32 B. 32 C. 3 D. 36&若一條直線與一個正四棱柱各個面所成的角都為a則=acos7、正四面體 ABCD 中，E、F 分別是 AB、CD 的中點，則 EF 與 AC 所成的角 等于。8、如圖,二

11、面角Bd的大小為 o60,線段 ABa? , l B J AB 與 I 所成的角為 o麻訓(xùn)編運:730,則 AB 與平面B所成的角的正弦值是 _。1、在正方體 1111ABCD A B C D -中，下列幾種說法正確的是（A、11AC 丄 AD B、11D C 丄 AB C、1AC 丄 DC 成 045 角 D、11AC 與 1BC 成 060 角 2、在正方體 AC 1 中，過它的任意兩條棱作平面，則能作得與 A 1B 成 300 角的平面的個數(shù)為（A、2 個 B、4 個 C、6 個 D、8 個 3、正六棱柱 ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面邊長是 1 面對角線 E

12、 1D 與BC 1 所成的角是（A . 90oB . 60oC . 45oD . 30o4、 在空間四邊形 ABCD 中,AB丄 CD , BC 丄 DA ,那么對角線 AC 與 BD 的位 置關(guān)系是5、點 AB 到平面a距離距離分別為 12, 20 若斜線 AB 與a成 030 的角，則 AB 的長等于6 如圖：已知直三棱柱 ABC A 1B 1C 1, AB =AC , F 為棱 BB 1 上一點,BF : FB 1=2 : 1, BF =BC =2a。(I 若 D 為 BC 的中點,E 為 AD 上不同于 A、D 的任意一點，證明 EF 丄 FC 1;(II 試問:若 AB=2a，在線段

13、 AD 上的 E點能否使 EF 與平面 BB 1C 1C 成 60 角,為什么？證明你的結(jié)論。7、如圖,四棱錐 P-ABCD 的底面是 AB=2, BC =2 的矩形,側(cè)面 PAB 是等邊三角形,且側(cè)面PAB 丄底面 ABCD.(I證明：BC 丄側(cè)面 PAB;(H證明：側(cè)面 PAD 丄側(cè)面 PAB;(川求側(cè)棱 PC 與底面 ABCD 所成角的大小；8、設(shè) ABC 內(nèi)接于OO ,其中 AB 為OO 的直徑，PA 丄平面 ABC 如圖,3:4:, 65cos =/ PB PA ABC 求直線 PB 和平面 PAC 所成角的大小超越訓(xùn)編1、如圖，四面體 ABCS 中，SA , SB , SC 兩兩垂直，/ SBA=45,ZSBC=60M為 AB 的中點，求：(1 BC 與平面 SAB 所成的角；(2 SC 與平面 ABC 所成角的正弦值。2、A 是厶 BCD 所在平面外的點，/ BAC= / CAD= / DAB=60 , AB=3, AC=AD=2.(I求證:AB 丄 CD ;(U求 AB 與平面 BCD 所成角的余弦值.3、在四棱錐 P -ABCD 中，PD 丄底面 ABCD , AB / CD , 12PDCD AD AB =, / AD C