1、機 械 振 動第三章第三章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng) 的強迫振動的強迫振動 在自由振動中，作用于振動物體上的力只有恢復(fù)力與阻尼力，二者都隨物體的運動而改變，振動頻率與系統(tǒng)的固有頻率相同。研究自由振動的目的是獲得系統(tǒng)的固有特性。實際工程問題中，系統(tǒng)都是在某些激勵作用下發(fā)生相應(yīng)的響應(yīng)，對激勵的響應(yīng)是振動分析的另一個重要課題。系統(tǒng)在持續(xù)的隨時間變化的激勵力或激勵位移、激勵速度下發(fā)生的振動稱為強迫振動。作用力和位移激勵本質(zhì)上可能是簡諧形式、非簡諧但為周期性形式、非周期或隨機形式。其中簡諧激勵下系統(tǒng)的響應(yīng)稱為簡諧響應(yīng)。非周期激勵可能經(jīng)歷或長或短的一段時間。系統(tǒng)對突加非周期激勵的響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng)。 在本章

2、討論的系統(tǒng)是時不變、集中參數(shù)的線性系統(tǒng)。對于線性系統(tǒng)，疊加原理成立，即各激勵力共同作用所引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)H向應(yīng)為各激勵力單獨作用時引起的系統(tǒng)各穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和，這一點是分析任意周期激勵的基礎(chǔ)。由于簡諧激勵比較簡單，而其得到的結(jié)論具有重要的工程應(yīng)用價值，并且任意的周期形式的激勵都可以通過諧波分析分解為若干簡諧激勵，因此本章先討論單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵 的響應(yīng)（其中 為激勵力的幅值， 為激勵頻率，由外界條件決定，與物體本身的振動無關(guān)），通常取 =0 。簡諧激勵下的強迫振動包含穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)，其中瞬態(tài)響應(yīng)與系統(tǒng)固有頻率相同的振動，由于阻尼的存在而逐漸衰減至零，它只在有限的時間內(nèi)存在，通常可以不加以考慮

3、；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻率與激勵頻率相同，與激勵同時存在。由單自由度簡諧激勵下的響應(yīng)獲得了頻率響應(yīng)函數(shù)、機械阻抗等基本概念。將單自由度簡諧振動的模型用于求解旋轉(zhuǎn)失衡、轉(zhuǎn)子旋曲、基礎(chǔ)激勵、測振儀等實際應(yīng)用場合。在簡諧激勵的基礎(chǔ)上，通過傅里葉級數(shù)晨開求得任意周期激勵作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；由單自由度系統(tǒng)單位脈沖激勵的響應(yīng)推廣到求解任意激勵響應(yīng)的卷積積分或Duhamel積分，并簡單介紹了沖擊響應(yīng)。系統(tǒng)在沖擊之后的振動是自由振動，因此只要求得沖擊結(jié)束瞬間的系統(tǒng)位移和速度，以后的振動就可以按照自由振動求解。）（tsin0FF0F第二章 單自由度系統(tǒng)的自由振動3.1 簡諧激勵作用下的響應(yīng) 3.2 頻率響應(yīng)函數(shù) 3.3 機

4、械阻抗的基本概念 3.4 結(jié)構(gòu)阻尼和庫侖阻尼 3.5 等效阻尼3.6 旋轉(zhuǎn)失衡3.7 轉(zhuǎn)子旋曲與臨界轉(zhuǎn)速3.8 基礎(chǔ)激勵與隔振 3.9 測振儀原理 3.10 任意周期激勵下的穩(wěn)態(tài) 響應(yīng) 3.11 任意激勵作用下的瞬態(tài) 響應(yīng) 3.12 沖擊響應(yīng)3.1 3.1 簡諧激勵作用下的響應(yīng)考慮如左圖所示的單自由度系統(tǒng)受簡諧激勵的力學(xué)模型。根據(jù)牛頓運動定律，質(zhì)量在受到彈簧恢復(fù)力-kx，粘性阻尼力 和外力 作用下的運動微分方程為 （3-1）式中，m為質(zhì)量；c為阻尼系數(shù)；k為剛度系數(shù)。上式是一個非齊次二階微分方程，在一般情況下，還要考慮初始條件 的作用為研究系統(tǒng)的運動規(guī)律，需確定上式的解。解由齊次方程的通解和非

5、齊次方程的特解組成。xc-tsin0Ftsinkxxcxm0F0 x0 x）（0 x0 x）（對于小阻尼系統(tǒng)，齊次方程的通解為 （3-2）式中， 為阻尼比， 為固有頻率， 為有阻尼自由振動頻率，A和B是由初始條件確定的常數(shù)。非齊次方程的特解為 （3-3）為了求出振幅X和相位角 ，將激勵力和響應(yīng)均表示為復(fù)數(shù)形式 （3-4） （3-5）可得采用復(fù)數(shù)表示的振動方程為 （3-6）（tBsintcosexddt-1nAmk2cmknn2d-1）（-tsinx2X）（tisintcose0ti0 FF）（）（）（-tisin-tcose- ti XXti0ekxxcxmF將復(fù)數(shù)形式的響應(yīng)代入式（3-6）可

6、得由式（3-8）右端的復(fù)數(shù)表達式，可得振幅和相角為于是式(3-1)的非齊次方程的特解可以表示為從而得到式(3-1)的完整解為ti0ekxxcxmF （3-6）0-i2eicm-kFX）（icm-ke20i -）（FX2220cm-k）（）（FX2m-kcarctan22202cm-k-tsinx）（）（）（F2220ddt-21cm-k-tsintsintcosexxxn）（）（）（）（FBA (3-12)式(3-12)右端的第一部分代表衰減的自由振動，因隨時間增加不斷減小，最終趨于零而稱為瞬態(tài)響應(yīng)。第二部分代表與外力激振頻率相同的簡諧振動，即阻尼振動系統(tǒng)在簡諧力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。把初始條件

7、代入式(3-12)，便可求出常數(shù)A和B，得到系統(tǒng)在簡諧激勵力作用下的響應(yīng)。單自由度有阻尼系統(tǒng)在簡諧力作用下的瞬態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和完整解如圖3-2所示。 (1)系統(tǒng)的運動是頻率為 和頻率為 的簡諧運動的組合； (2)頻率為 的自由振動由于阻尼 的存在而逐漸衰減至零，它只在有限的時間內(nèi)存在，故叫做瞬態(tài)振動； (3)頻率為 的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不因阻尼而衰減，其振幅和相角與初始條件無關(guān)。2220ddt-21cm-k-tsintsintcosexxxn）（）（）（）（FBA0 x0 x）（0 x0 x）（dd例 3-1 設(shè)一機器可簡化為一單自由度系統(tǒng)，其參數(shù)如下：m=10kg， ，k= ， =0.01m， =0

8、根據(jù)以下條件求系統(tǒng)的響應(yīng)：（1）作用在系統(tǒng)的外激勵為 ，其中 = 100N，=100 （2） =0 時的自由振動。解：（1）根據(jù)已知參數(shù)可得ms20cNm4000 N）（0 x）（0 x）（sdra20104000mkn05. 0104000220mk2c97.192005. 0-1-12n2dtcost0FF）（0Fsdra）（tF5 . 02010rn8 . 30.5-10.505. 02arctanr-1r2arctan22）（m025. 04000100k00FX）（）（）（）（）（m0333. 005. 05 . 020.05-1025. 0r2r-12222220XX根據(jù)式（3-1

9、2）和初始條件可得2220dn02220cm-ksin-xcm-kcos0 x）（）（）（）（）（FBAFA將 =0.01m， =0 代入上式可得 A=-0.0233m，B=-0.00117m）（0 x）（0 x（2）對于自由振動，其響應(yīng)表達式為代入初始條件可得）（tsintcosexddt-nBAd0n00 xxxBA，）（），（m0005. 097.1901. 02005. 00m01. 0BA可見，兩種情況求出的A和B是不一樣的。 對于一特定系統(tǒng)，X和 是外力 和激勵頻率 的函數(shù)，只要 和 保持不變，則X和 是常值。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的位移與各力之間的關(guān)系可以用圖3-3所示的矢量表示：物體的慣性力

10、- 、彈性力kX 、阻尼力 和外力 平衡。由力的平衡關(guān)系也可以得到式(3-9)和式(3-10)。 X2mXic0F0F0FkX0FX2mXic3-3 單自由度有阻尼系 統(tǒng)的強迫振動矢量圖22220r-1r2arctanr2)r1 (1）（XXk00FXnr0XX為便于進一步討論，將式(3-9)和式(3-10)無量綱化，分子分母同除以k，可得式中， 稱為等效靜位移，m; 為頻率比； 為動力放大因子，表示強迫振動的振幅隨頻率比r、阻尼比 變化的規(guī)律。圖3-4中給出了放大因子 與 隨頻率比r（橫軸）和阻尼比 的變化曲線圖。0XX從圖3-4可見：(1)當(dāng)激勵頻率很低，即r0時， 1，與阻尼無關(guān)，即外力

11、變化很慢時，在短暫時間內(nèi)幾乎是一不變的力，振幅與靜位移相近，相角 很小。rl時，0 1時， 0 ，也與阻尼無關(guān)，即外力方向改變過快，振動物體由于慣性來不及跟隨，相角 接近于 。r1時， ；若 =0 ，則 = ，表明激勵力和響應(yīng)反相位。此時慣性力很大，外力幾乎完全用于克服慣性力，這一頻率區(qū)域稱為質(zhì)量控制區(qū)。 X2mxc0XX180900XX18090180(3)當(dāng)激勵頻率與系統(tǒng)的固有頻率接近時，即r1時，強迫振動的幅值很大；若 =0 ，則理論上 ，振幅的制約因素是阻尼。此時相角 等于 ，表明響應(yīng)和激勵力的相位差為 。r=1時，若 = 0，則 從0突變到 ;此時振幅很大，慣性力與彈簧力平衡，外力用

12、于克服阻尼力，這一頻率區(qū)域稱為阻尼控制區(qū)。 (4)當(dāng)r=1時，即 時的頻率稱為共振頻率，且有 （3-15）共振時的振幅比值也稱為Q系數(shù)或系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)。在設(shè)計機器或結(jié)構(gòu)物時，通常要避免共振，使固有頻率偏離激勵頻率一定量（如20%）。但振幅的最大值并不在r=1處，而是在 處，并且有 （3-16） (3-17)在振動測試時，若測得了響應(yīng)的最大幅值，則系統(tǒng)的阻尼比可通過式(3-17)來確定。 90nn00max0c221FXXQXX，）（22-1r2max02-121）（XX0XX90180(5)從式（3-16）可知，若 ，則 =0 ，即振幅最大值發(fā)生在 =0處，即靜止時位移最大。由此可以得到以下結(jié)

13、論：當(dāng) 時，不論r為何值，X/X。1；當(dāng) 時，對于很小或很大的r值，阻尼對響應(yīng)的影響可以忽略。對圖3-1所示的系統(tǒng)，若粘性阻尼力為0，則運動方程式(3-1)簡化為 （3-18）齊次方程的通解為 （3-19） 式中，C1和C2是任意常數(shù)。假設(shè)無阻尼系統(tǒng)強迫振動方程式（3-18）的特解為 式中X是振幅。 （3-20） 22maxr2222）（ tsinFkxxm0）（）（tcostsinxn2n11CC）（ tsinx2X將式（3-20）代入（3-18）可得 （3-21）對式（3-21）無量綱化，可得系統(tǒng)的幅頻特性為 （3-22）應(yīng)用初始條件 得到系統(tǒng)的總響應(yīng)為 （3-23）202020r-11r

14、-11km-kXFFX20r-11XX00 x0 xx0 x）（，）（）（）（）（）（tsinm-ktcosxtsinm-k-xxxx20n0nn20n021FF 圖3-5中給出了 隨頻率比r的變化曲線圖。從圖3-5中可見： (1)0rl時，式(3-22)的分母為負(fù)值；此時系統(tǒng)的強迫響應(yīng)與外力反相，即響應(yīng)和激勵有 的相角差，此外，當(dāng)r時，X0，系統(tǒng)的響應(yīng)趨近于0。0XX180 (3) r=1時，由圖3-5可知此時系統(tǒng)的強迫響應(yīng)趨近于無窮大，此時系統(tǒng)發(fā)生共振。為求此條件下的響應(yīng)，將式(3-23)重新整理為 (3-24) 當(dāng) 時，最后一項為0/0型不定式，由洛必達法則求得式(3-24)的響應(yīng)為 (

15、3-25)可見，共振時系統(tǒng)的響應(yīng)將隨著時間線性增大。許多機器在正常運轉(zhuǎn)速度時，其激勵頻率通常遠遠大于固有頻率，因此在開車和停車過程中都要穿越共振頻率，由于共振時幅值的增大需要一定時間，只要加速或減速進行得比較快，一般可以順利通過共振，而不致發(fā)生過大的幅值。 2nnn0n0nn0-1tsin-tsintcosxtsinxx）（）（）（）（）（）（X）（）（）（）（tcos2t-tsinxtcos2xxnn0nn0n00XXn 例3-2 證明在小阻尼的情況下，阻尼比可以表示為 式中， 分別是半功率點對應(yīng)的頻率。 解：由半功率點的定義可知 在半功率點的頻率比r滿足n1212122-21和22120Q

16、XX221r2)r1 (1222）（ 因此可求得對于小阻尼情況兩式相減可得因此可以通過測量半功率帶寬 估算阻尼比 。并且可見：阻尼越小，半功率帶寬越小，共振峰越尖。22222221122-1r12-2-1r，21r2-1r2221，n1212121212212222rr4rr2rrrrr-r）（）（）（）（12-3.2 3.2 頻率響應(yīng)函數(shù) 頻率響應(yīng)函數(shù)是以頻率為自變量的函數(shù)，它描述了系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入在不同頻率時的對應(yīng)關(guān)系，包含幅值信息和相位信息，一般以復(fù)數(shù)形式表示。對于單自由度有阻尼系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)函數(shù) 為 （3-26） 式中 （3-27） 頻響函數(shù)描述了振動系統(tǒng)的特性，它與振動系統(tǒng)的運動微

17、分方程以及傳遞函數(shù)是等價的。若已經(jīng)測得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，則其響應(yīng)可由頻率響應(yīng)函數(shù)和輸入得到。頻率響應(yīng)函數(shù)為系統(tǒng)的位移輸出與力輸入之比，閑此也被稱為動柔度。系統(tǒng)速度響應(yīng)與力輸入之比被稱為速度導(dǎo)納，系統(tǒng)加速度響應(yīng)與力輸入之比被稱為加速度導(dǎo)納。）（H2222i -20r-1r2arctan2r-1k1er2ir-1k1）（）（）（）（）（）（HHFXH3.3 3.3 機械阻抗的基本概念 機械阻抗是頻率響應(yīng)函數(shù)的倒數(shù)。以簡諧激勵為例，機械阻抗即為激勵力與其所引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之比。對于單自由度有阻尼系統(tǒng)，其機械阻抗為 (3-28)式中， (3-28) 由以上定義，頻率響應(yīng)函數(shù)和機械阻抗都是以頻率為自變量

18、的復(fù)函數(shù)，都是頻域函數(shù)，而不是時域函數(shù)。上述定義是廣義的機械阻抗概念，確切地說，機械阻抗指的是力輸入與系統(tǒng)的速度響應(yīng)之比，是速度導(dǎo)納的倒數(shù)。系統(tǒng)的力輸入與位移響應(yīng)之比被稱為動剛度。力輸入與系統(tǒng)的加速度響應(yīng)之比，被稱為視在質(zhì)量。三種基本元件的阻抗和導(dǎo)納如表31所示。2222i20r - 1r2arctanr2r - 1keic)m-k (，）（）（）（）（）（ZZXFZ表3-1 三種基本元器件的機械阻抗阻抗頻率響應(yīng)函數(shù)動剛度阻抗視在質(zhì)量動柔度速度導(dǎo)納加速度導(dǎo)納質(zhì)量 -mm彈簧k阻尼器 icc互換規(guī)律i113.4 3.4 結(jié)構(gòu)阻尼和庫侖阻尼 前幾節(jié)分析所采用的阻尼為粘性阻尼，阻尼力和振動速度成正比

19、，對應(yīng)的系統(tǒng)運動微分方程是線性的。實際的阻尼形式種類較多，常見的還有結(jié)構(gòu)阻尼（滯后阻尼）和庫侖阻尼。結(jié)構(gòu)阻尼由材料分子的內(nèi)摩擦耗能引起。考慮結(jié)構(gòu)阻尼的振動系統(tǒng)如圖3-6所示，在簡諧力 作用下，其運動微分方程為 (3-29)式中， 表示阻尼力； 為材料的損耗因子。在簡諧力激勵作用下 ，則有 (3-30) 被稱為復(fù)剛度。tsin0F）（ tsinFxkxkxm0 xk）（xixti0exi1kxmF）（）（i1k橡膠材料即具有這種阻尼形式，其損耗因子通常在0.10.4范圍內(nèi)，隨環(huán)境溫度、硫化工藝和填充材料不同而變化。計算式(3-30)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，其振幅為 (3-30) 式中， 表示靜變形。與粘性阻

20、尼的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅比較可知，在共振頻率即r=1 時，有 。雖然在其他頻率這一關(guān)系并不成立，但考慮到阻尼主要在共振區(qū)附近起作用，故在時域分析計算中可以利用 將結(jié)構(gòu)阻尼轉(zhuǎn)化為粘性阻尼處理。 22202220)r1 (k)m-k(XFX）（k00 FX2220)2()1 (rrXX22具有庫侖阻尼的單自由度系統(tǒng)如圖3-7所示，在受到簡諧激勵力 的作用下，其運動微分方程為 (3-32)式中， 是庫侖摩擦力；sgn是符號函數(shù)； 為動摩擦系數(shù)；N為正壓力。 該系統(tǒng)只有在彈簧的恢復(fù)力大于摩擦力的情況下才能夠發(fā)生運動。由第2章的分析可知，自由振動時每經(jīng)過半個振動周期振幅衰減 ，因此彈簧的恢復(fù)力也將逐漸減小。當(dāng)彈

21、簧的恢復(fù)力與摩擦力相差無幾時，振動呈現(xiàn)粘滯狀態(tài)。tsin0F）（tsinkxxm0fFFNF）（xsgnfk2fF3.5 3.5 等效阻尼對于各種不同的阻尼類型，穩(wěn)態(tài)振動時每個振動循環(huán)的力位移曲線將形成一個封閉圈，這個封閉圈稱為滯回曲線。對于粘性阻尼來說，滯回曲線呈橢圓，其面積正比于每一循環(huán)阻尼消耗的能量：式中， 是阻尼力。對粘性阻尼系統(tǒng)， = 。穩(wěn)態(tài)振動的位移和速度為 阻尼力每個循環(huán)消耗的能量為 可見，粘性阻尼耗能E隨頻率而變。dxdFEdFxc）（），（-tcosxx-tsinxx002020220dxcdt-tcosxcdtxxcdxxcdx）（FEdF 為了簡化分析計算，利用等效粘性阻

22、尼的概念可以將不同的阻尼當(dāng)作粘性阻尼處理。阻尼等效的原則是，在一個振動周期中不同阻尼所消耗的能量與粘性阻尼在一個周期中所消耗的能量相等。 對于結(jié)構(gòu)阻尼，其在一個循環(huán)內(nèi)消耗的能量可以表示為 （3-35） 可見，結(jié)構(gòu)阻尼每個循環(huán)的能量消耗和頻率無關(guān)。其等效粘性阻尼系數(shù)為 （3-36） 對于庫侖阻尼材料，若振動的幅值用 表示，則干摩擦力在1/4個循環(huán)中的能量消耗為 ，因此在一個完整循環(huán)中因干摩擦導(dǎo)致的能量消耗為 （3-37） 其等效阻尼系數(shù)為 （3-38）2020220dxkdt-tcosxkdtxxkdx）（FEkceq0 x0 xN0 x4 NE0eqx4cN 例3-3 當(dāng)振動物體在流體介質(zhì)中高速運動時，所遇到的阻尼力通常假定為與速度平方成正比，阻尼力表示為 ，式中，a是常數(shù)， 是阻尼器中的相對速度，正號對應(yīng)于 0 ，求解其等效粘性阻尼系數(shù)和其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的值。 解：在簡諧運動 的一個周期中，所消耗的能量為 令此