1、精品文檔2009 年上海市高中數學競賽(新知杯)試卷(20092009 年 3 3 月 2222 日星期日上午 8 8: 30103010: 3030)【說明】解答本試卷不得使用計算器 一、填空題(本題滿分 6060 分，前 4 4 小題每小題 7 7 分，后 4 4 小題每小題 8 8 分)2009|2009L.20091設,L。(1,)，則-Og0江 的最小值是 _ 。l0gaL ai02x12 2已知x,y N *，且12 L y 1 9 92L 9，則將y表示成x的函數，其解析式是y _。3 3已知函數f(x) |x22|，若f(a) f(b)，且0 a b，則ab的取值范圍是 _13

2、4.4. 滿足方程log22cos2(xy)2y2y的所有實數對(x, y) _，2cos (xy)425.5. 若a表示不超過實數a的最大整數，則方程tanx 2sin x的解是_6.6. 不等式22x3 2x4 22 x的解集是_。7.7.設A是由不超過2009的所有正整數構成的集合，即A 1,2,L ,2009，集合L A， 且L中任意兩個不同元素之差都不等于4,則集合L元素個數的最大可能值8.8. 給出一個凸10邊形及其所有對角線，在以該凸10邊形的頂點及所有對角線的交點為頂點的三角形中，至少有兩個頂點是該凸10邊形頂點的三角形有 _ 個。二、解答題9.9. (本題滿分 1414 分)

3、設函數f (x)定義于閉區間0,1，滿足f (0)0, f (1) 1，且對任意x y22x, y 0,1, x y，都有f ()(1 a )f(x) a f(y)，其中常數a滿足0 a 1，10.10.(本題滿分 1414 分)如圖，直線分別與雙曲線的右支交于點這樣的定點，精品文檔2求a的值。2x2A是雙曲線y 1的右頂點，過點A的兩條互相垂直的4M ,N，問直線MN是否一定過x軸上一定點？如果不存在精品文檔3，11.11.(本題滿分 1616 分)設 代B是集合44283,3485的兩個不同子集，使得 子集，B也不是A的子集，求不同的有序集合對(A,B)的組數。12.12.(本題滿分 16

4、16 分)設正整數構成的數列kN*恒成立。記該數列若干連續項的和證：所有S(i,j)構成的集合等于N*。A不是B的19對一切且i j。求an使得a10k 9a10k 8L ajap為S(i, j)，其中i, j N*p i 1精品文檔1 1、5 5、9 9、2009 年上海市高中數學競賽(新知杯)試卷參考答案100；2 2、3X23 3、(0,2)；4、(k+-2，2(k Z)-(k,l4Z)；6 6、0,4；7 7、1005;8 8、960。解:f(3)因為討)11今)10 1f(RfG)0 f (-a2f所以ff(21(1 a2)f(ya2f(1)2a2(1)34)(1 a2)fG)a2f

5、2a63a4642a 3a,而0 a 1,1010、解法一：A(2,0)，將y軸向右平移2個單位，使點A成為新直角坐標系的原點，在新所以a1414 分由此得a2坐標系下，雙曲線的方程為空y21，即4y2x24x 0(*)44 444若MN x軸，則kAM1，即1AM: y X，代入(* *)式可得M(,)，進而N(,)。3 333所以P(4，。)，則點P在原坐標系中的坐標為(扣。若MN不垂直x軸，設lMN: y kx t(t 0)，則y嚴1,2y于是(* *)可以改寫成4y2x24x1kx0,t該方程的兩個根k1, k2既是AM , AN的斜率。4k t因為AM AN，所以k1k2込一t1,4

6、t444所以t k，故lMN: y kx k k(x)3334所以過定點P(,0)，則點P在原坐標系中的坐標為3即4t24k t1010 分10(亍0)。10綜上所述，直線MN過x軸上的定點P(100)1414 分精品文檔3，精品文檔51111、解：集合ai,a2,a3, a4,a5有2個子集，不同的有序集合對B的有序集合對(代B)有8 8 分1010 分所以，滿足條件的有序集合對(代B)的組數為25(251) 2(3525) 570組。1212、證明：顯然S(i,j) N*2 2 分下證對任意n0N *,存在S(i, j)n0用Sn表示數列an的前n項和，考慮10n。10個前n項和：S S2

7、L Sn010(1)由題設S10n010(a1a2La10)(anLa20)L伽01La10Q)10)6 6 分另外，再考慮如下10n010個正整數：顯然Son。10n020n0191010 分,X24y48k22 4k2k284k由M(2)，同理得N(牙yk(x 2)4k21 4k214 k24 k1010當k1時，XMXN，所以過(,0)8 8 分33當k1,k2,k-時,由直線MN的方程得，y k(x10 )23所以，10直線MN過x軸上的定點P(,0)1414 分解法二：設直線AM的斜率為k(k 0,k12，k 2)1010 分2)若A B，并設B中含有k(1 k555Cs(2k1)C：2kC5kk 1k 0k 0(代B)有25(251)組。5)個元素，則滿足A3525組1616 分S|nS2n LS10n010n2 2)式中各數也兩兩不等,S(i, j)2 2 分同理，滿足B A的有序集合對(代B)也有3525組。精品文檔3，這樣(1 1)，(